精品解析：2024年黑龙江省大庆市靓湖学校中考二模数学试题

大庆市靓湖学校九年数学中考模拟试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，对任意实数a都成立的是 （ ） A. B. C. D. 若，则 4. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 6. “五一”劳动节期间，某快餐店统计了5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），并绘制成如图所示的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数6 B. 众数是7 C. 中位数是5 D. 方差是8 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 如图，点从正方形的顶点出发，运动到某一点后沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，已知点运动时随变化的关系图象如图所示，则正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 已知二次函数，当时，x取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则s的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式______________． 12. 函数，中自变量的取值范围是______． 13. 已知，则________． 14. 有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 15. 若是不等式的解，但不是不等式的解，则实数a的取值范围是______． 16. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为______． 17. 如图，在正方形中，点E为上一点，点F为对角上一点，，若，则的长为______． 18. 如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___． 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程：． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面的高度恰好相等，C点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 23. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表. 分数段 频数 频率 74.5～79.5 2 0.05 79.5～84.5 m 0.2 84.5～89.5 12 0.3 89.5～94.5 14 n 94.5～99.5 4 0.1 (1)表中m＝__________，n＝____________； (2)请在图中补全频数直方图； (3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内； (4)选拔赛中，成绩在94.5分以上选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率. 24. 如图，在中，，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使，连接BE、BF、CF、AD． （1）求证：四边形BFCE是菱形； （2）若，，求AD的长． 25. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 26. 如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数的图象相交于点A（4，n），与轴相交于点B． (1) 填空：n的值为　　，k的值为　　； (2) 以AB为边作菱形ABCD，使点C在轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； (3) 考察反比函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围． 27. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E， 过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）求证：； （3）若 ，的半径为2，，求的长． 28. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年数学中考模拟试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 3. 下列各式中，对任意实数a都成立的是 （ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A、当a为负数时，无意义，故该选项不符合题意； B、当a为负数时，无意义，故该选项不符合题意； C、当时，，当时，， 对任意实数a，都成立，该选项符合题意； D、当a，b为负数时，，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键． 根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求； B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求； 故选：A． 5. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 6. “五一”劳动节期间，某快餐店统计了5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），并绘制成如图所示的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是5 D. 方差是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法进行求解． 详解】由折线图知：1日用水5吨，2日用水7吨，3日用水11吨，4日用水3吨，5日用水9吨， 数据5、7、11、3、9的平均数是， 中位数是7， 由于各数据都出现了一次，故其众数为5、7、11、3、9、 方差． 综上只有选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的计算，熟悉各个概念是解题的关键． 7. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 C. 点关于x轴的对称点坐标是 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意； B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意； C、点关于x轴的对称点坐标是，故该选项是正确的，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意； 故选：C． 8. 已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，把式子变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 9. 如图，点从正方形的顶点出发，运动到某一点后沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，已知点运动时随变化的关系图象如图所示，则正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、正方形的性质、勾股定理、垂线段最短，由图可得：当时，不变，则点从点出发的轨迹是以为半径的，且，，当时，连接，此时为直线，当时，最小，得出，作于，由垂线段最短可得，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图所示： ， 由图可得：当时，不变，则点从点出发的轨迹是以为半径的，且， ， 当时，连接，此时为直线，当时，最小， ， ， 作于， 由垂线段最短可得， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则s的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当 时，解集为 ， 说明二次函数开口向下（），且对称轴为， ， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即，整理得． ∴当时，有， 解得， 当时，有， 解得， 综上：或． 故选：A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质不一样，答案也不一样． 【详解】解：答案不唯一，如等， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 函数，中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 故答案为：． 13. 已知，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算等知识，先计算，再根据即可得到，从而求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆、扇形、圆锥、锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、扇形的性质、圆周角定理、锐角三角函数、弧长公式是解题的关键．连接，延长交于点，连接、，根据扇形性质，得，根据在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的弧相等，可得，结合圆周角定理，得，进而得到，通过三角函数计算，求得，根据弧长公式，计算得，由此即可得解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接、， 扇形 ， ， ， 为直径， ， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 若是不等式的解，但不是不等式的解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据不等式的性质求不等式组的解集． 把代入，求出a的取值范围，把代入，求出a去取值范围，再根据不是不等式的解，可得，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∵不是不等式的解， ∴， 综上：， 故答案为：． 16. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据输出的结果发现从第3次输出的结果开始按，循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 开始输入的的值为， 所以第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； ， 依次类推，从第3次输出的结果开始按，循环出现， 又， 所以第2024次输出的结果为； 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，点E为上一点，点F为对角上一点，，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，过点F作，，垂足分别为点G、H，构造全等三角形是解题的关键． 过点F作，，垂足分别为点G、H，证明即可，设，得到，，由正方形得：，列出方程，求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点F作，，垂足分别为点G、H， ∴， ∵ 四边形是正方形， ∴ ， ∴ ，四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 矩形是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 设， ∴ ， ∵， ∴， 由正方形得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴， 故答案为：5． 18. 如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___． 【答案】5 【解析】 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据乘方的意义、立方根、二次根式的性质，完全平方公式计算，然后合并即可，熟练掌握其性质是解决此问题的关键． 【详解】 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，然后检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面的高度恰好相等，C点的仰角为，若小冬的眼睛与地面的距离为米，请计算风筝离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，分别过点、作于点，于点，设米，则米，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，分别过点、作于点，于点． 由题意得，，，米， 设米，则米， 在中，， 米； 在中，， 米， ，解得；  米， 米． 答：风等离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表. 分数段 频数 频率 74.5～79.5 2 0.05 79.5～84.5 m 0.2 84.5～89.5 12 0.3 89.5～94.5 14 n 94.5～99.5 4 0.1 (1)表中m＝__________，n＝____________； (2)请在图中补全频数直方图； (3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内； (4)选拔赛中，成绩在94.5分以上选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4). 【解析】 【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值； (2)根据m的值补全直方图即可； (3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案； (4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可. 【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35， 故答案为8，0.35； (2)补全图形如下： (3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5， ∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内， 故答案为89.5～94.5； (4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率为. 【点睛】本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键. 24. 如图，在中，，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使，连接BE、BF、CF、AD． （1）求证：四边形BFCE是菱形； （2）若，，求AD的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质得到，即可得出四边形是菱形； （2）先证四边形是平行四边形，得，再求出，由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是边的中点， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得：，四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【答案】（1）；； （2）10m （3）168000元 【解析】 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m， ∴花卉A的面积为：， 花卉B的面积为：， 花卉C的面积为：， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元， ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴， ∴， 解方程得（舍去）或， ∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等； 小问3详解】 解：∵花卉A与B的种植面积之和为：， ∴， ∴， ∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y随x的增加而减小， ∴当时，y最大，且（百元）， 故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式． 26. 如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数的图象相交于点A（4，n），与轴相交于点B． (1) 填空：n的值为　　，k的值为　　； (2) 以AB为边作菱形ABCD，使点C在轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标； (3) 考察反比函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)3，12；(2) (4+，3)；(3)或 【解析】 【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数，得到k的值为12； （2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标； （3）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，可得n=×4-3=3； 把点A（4，3）代入反比例函数，可得3=， 解得k=12． （2）∵一次函数y=x-3与x轴相交于点B， ∴x-3=0， 解得x=2， ∴点B的坐标为（2，0）， 如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F， ∵A（4，3），B（2，0）， ∴OE=4，AE=3，OB=2， ∴BE=OE-OB=4-2=2， 在Rt△ABE中， AB=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD=BC=，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCF， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴∠AEB=∠DFC=90°， 在△ABE与△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）， ∴CF=BE=2，DF=AE=3， ∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+， ∴点D的坐标为（4+，3）． （3）当y=-2时，-2=，解得x=-6． 故当y≥-2时，自变量x的取值范围是x≤-6或x＞0． 27. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E， 过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）求证：； （3）若 ，半径为2，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）； 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后求出，根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，取中点，连接，根据等腰三角形的三线合一可得，，，再根据圆周角定理可得，从而可得，证明，根据相似三角形的性质求解即可得； （3）根据前面的结论，可以求出，然后证明是等边三角形，从而可得，即可求得，利用锐角三角函数，设，则，，，在中，利用勾股定理得，，然后解方程即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 为直径， ，即， ，即， ， 故与相切． 【小问2详解】 证明：连接，取中点，连接，如图所示， ，为中点， ，，， 根据圆周角定理，得：， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问3详解】 解： ，的半径为2，， ， 根据第（2）问结论，， ，解得， 第（1）问已证与相切，即，又， ， ，即是等边三角形， ， 为直径， ， ， ， 在中，，， 设，则，，， 在中，利用勾股定理得，， ， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） 的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、一元二次方程的应用等知识，作出合适辅助线，构造相似三角形是解题关键． 28. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，为定值4． 【解析】 【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线解析式为， 设，由于动点P在直线下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． 【小问3详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $