精品解析：2024年河北省张家口市联考中考二模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 4. 月球到地球近地点的距离约为千米，则是（ ） A. 4位数 B. 5位数 C. 6位数 D. 7位数 5. “嘉嘉和琪琪从甲地到乙地，嘉嘉以的速度用时30分钟，琪琪以的速度用时x小时．”在这个问题中，求x的值时，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 7. 一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在四边形中，，平分，平分，，则四边形的形状（ ） A. 一定是平行四边形 B. 一定是矩形 C. 一定是菱形 D. 不确定 9. （m，n为整数），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 11. 如图，若x是数轴上第①段中（不含端点）的数，则代数式的值在（ ） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 12. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A B. C. D. 13. 6名同学参加舞蹈比赛，通过抽签决定出场顺序，小华先抽，她从号中随机抽取一签（标号即为出场次序），则她抽到前2位出场的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（ ） A. 嘉嘉先完成 B. 琪琪先完成 C. 嘉嘉、琪琪同时完成 D. 无法判断 15. 如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 14 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分） 17. 若，则____________． 18. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，当时，____________；当时，则符合条件的x的一个整数值可以是____________． 19. 如图，中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，，过点D作直线，分别交，于点E，F，则与之间的距离最大为____________；当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为____________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某校数学小组的一次知识竞赛活动，共准备了25道题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分． （1）若小明答对18道题，答错3道题，则小明得了多少分？ （2）小亮所有题都答了，他说他正好得了69分，请列方程分析小亮的说法是否正确． 21. 学校播音室拟招新纳才，共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图的比例计算出每人的综合成绩． 小强试播新闻稿和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小强打出的分数如下：83，79，79，80，84．这组数据的中位数是____________分，平均数是____________分； （2）请你计算小强的综合成绩；学校决定根据综合成绩择优选拔5名小播音员，试分析小强能否入选，并说明理由． 22. 同学们在学习整式运算时，嘉嘉发现了一个结论：差为2的两个正整数的积与1的和等于这两个正整数的平均数的平方． （1）请通过计算验证：____________；若设差为2的两个正整数中较小的数为a，请验证嘉嘉发现的结论． （2）琪琪说：差为12的两个正整数的积与一个数x的和等于这两个正整数的平均数的平方．这样的数x是否存在？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 24. 如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成）的半径是，水面（看成直线）与交于A，B两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动的时间为t秒，解决下列问题： （1）求的长以及扇形的面积；（结果保留） （2）当时，求点P到直线的距离； （3）若接水槽所在的直线是的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第一次恰好在所在直线上时，求t的值． 25. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 26. 如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值； （3）当的面积为4时，求m的值； （4）连接，若是等腰三角形，直接写出符合条件的m值的个数和其中一种情况下m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误； B、不能合并，原选项计算错误； C、，正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 3. 计算的结果是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查有理数的乘除法混合运算，按照从左到右的顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：， 故选：D 4. 月球到地球近地点的距离约为千米，则是（ ） A. 4位数 B. 5位数 C. 6位数 D. 7位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记数法的表示方法，将变成原数，然后进行求解即可． 【详解】解：∵变成原数为， ∴是6位数． 故选：C． 5. “嘉嘉和琪琪从甲地到乙地，嘉嘉以的速度用时30分钟，琪琪以的速度用时x小时．”在这个问题中，求x的值时，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，从题意中抽象出方程是解题关键，根据两人所走的路程相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 6. 如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键． 根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角和边b与的角和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等， 故选：B． 7. 一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可． 【详解】结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个． 所以图中的小正方体最多5块． 故选C． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键. 8. 如图，在四边形中，，平分，平分，，则四边形的形状（ ） A. 一定是平行四边形 B. 一定是矩形 C. 一定是菱形 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和角平分线的计算，设与交于点O，根据题意得出，再由角平分线确定，得出，利用平行四边形的判定即可证明，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键 【详解】解：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：A 9. （m，n为整数），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，根据题意得，然后计算，最后对应位置数字相等即可得出，代入求解即可，熟练掌握二次根式的化简及加减运算是解题关键 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 11. 如图，若x是数轴上第①段中（不含端点）的数，则代数式的值在（ ） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值及不等式的性质，先将分式化为最简，然后根据题意得出，再利用不等式的性质即可得出结果，熟练掌握分式的化简是解题关键 【详解】解： ∵x是数轴上第①段中（不含端点）的数， ∴， ∴， ∴， 代数式的值在第②段， 故选：B 12. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 13. 6名同学参加舞蹈比赛，通过抽签决定出场顺序，小华先抽，她从号中随机抽取一签（标号即为出场次序），则她抽到前2位出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率等于可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：小华从号中随机抽取一签，抽到的数字签共6种情况，她抽到前2位出场的有2种情况， ∴抽到前2位出场的概率是． 故选：B． 14. 嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（ ） A. 嘉嘉先完成 B. 琪琪先完成 C. 嘉嘉、琪琪同时完成 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵攀爬点都是某个圆的八等分点． ∴由图得，， ∴比较与的大小即可， 在中，， ∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程， ∵他们同时出发且攀岩速度相同， ∴琪琪先完成， 故选：B． 15. 如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质及函数图象、平行线分线段成比例定理及勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键，首先得出，和当时，，进而求出，根据勾股定理求出即可求出周长． 【详解】解：由图可知，当点P与点A重合时，， 此时，， ， 在矩形中，， 由图2可知，当时，， 点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为14， 故选：D． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答． 【详解】过作轴于点E，如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ∴， ∴根据旋转可知点A对应点在所在的直线上， ∵， ∴， ∴在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分线段，， ∴在等边中，， ∴， ∴根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴点A的对应点的横坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识， 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分） 17. 若，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】题目主要考查同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 18. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，当时，____________；当时，则符合条件的x的一个整数值可以是____________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质，根据题意先确定，然后再代入计算求解即可． 【详解】解：反比例函数（k为常数，）的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，； 当时，， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵，每个象限随的增大而增大， ∴， ∴x的一个整数值可以是， 故答案为：；（答案不唯一）． 19. 如图，中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，，过点D作直线，分别交，于点E，F，则与之间的距离最大为____________；当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 过点A作于点G，结合图形得出当时，即点G与点B重合时，与之间的距离最大为的长，然后利用勾股定理即可得出结果；分三种情况分析：当时，时，当时，当，时，分别结合图形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∴， 当时，即点G与点B重合时，与之间的距离最大为的长， ∵，， ∴； ∴与之间的距离最大为； 当时，时，如图所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴相似比为； 当，时，如图所示： 相似比为； 当，时， 相似比为； 综上可得：k的值为或， 故答案为：；或． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某校数学小组的一次知识竞赛活动，共准备了25道题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分． （1）若小明答对18道题，答错3道题，则小明得了多少分？ （2）小亮所有题都答了，他说他正好得了69分，请列方程分析小亮的说法是否正确． 【答案】（1）小明得分 （2）小亮的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题关键， （1）根据题意列出算式解决即可； （2）正确理解题意，列出方程并解方程，根据解的情况说明答案． 【小问1详解】 解：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分，小明答对18道题，答错3道题， 则小明得分； 【小问2详解】 解：设小亮答对x道题，则答错道题， ， 解得：（不合题意）， 小亮的说法不正确． 21. 学校播音室拟招新纳才，共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图的比例计算出每人的综合成绩． 小强试播新闻稿和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小强打出的分数如下：83，79，79，80，84．这组数据的中位数是____________分，平均数是____________分； （2）请你计算小强的综合成绩；学校决定根据综合成绩择优选拔5名小播音员，试分析小强能否入选，并说明理由． 【答案】（1）80；81 （2）小强的综合成绩是分，小强能入选，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了中位数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． （1）将数据按大小排序，找出中位数，算出平均数； （2）将三项的测试成绩按比例计算出的总评成绩，结合频数分布直方图结合题意确定能否入选即可． 【小问1详解】 解：五位评委给小强打出的分数按大小顺序排列如下：84，83，80，79，79， 这组数据的中位数是80分， 平均数是分， 故答案为：80；81； 【小问2详解】 由扇形统计图可得试播新闻稿所占比例为， 小强试播新闻稿和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，自我介绍测试中小强得分是81分， 小强的综合成绩是（分）， 从这10名学生的综合成绩频数分布直方图来看，成绩不低于90分的有2人，成绩不低于80分的有3人，学校决定根据综合成绩择优选拔5名小播音员，小强的综合成绩是分， 小强能入选． 22. 同学们在学习整式运算时，嘉嘉发现了一个结论：差为2的两个正整数的积与1的和等于这两个正整数的平均数的平方． （1）请通过计算验证：____________；若设差为2的两个正整数中较小的数为a，请验证嘉嘉发现的结论． （2）琪琪说：差为12的两个正整数的积与一个数x的和等于这两个正整数的平均数的平方．这样的数x是否存在？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；证明见解析； （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键． （1）根据题意直接计算即可得出结果；设较小的正整数为a,则另一个正整数为，根据题意列出代数式化简即可； （2）设较小的正整数为k，则另一个正整数为，它们的积与x的和为，然后利用完全平方式化简即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 故答案为：12； 设较小的正整数为a,则另一个正整数为， 这两个数积与1的和为 ∴ , ∵， ∴原式为这两个正整数的平均数的平方． 【小问2详解】 存在，理由如下： 设较小的正整数为k，则另一个正整数为， 它们的积与x的和为 ∴ ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）3 （3）或或 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，：，：，，然后分两种情况：当在点P左侧时，当在点P右侧时，根据轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵与x轴交于点C， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 联立直线与得：， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 根据题意得，当时，：，：， ∴， 分两种情况：当在点P左侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，不符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，符合题意； 当在点P右侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，不符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，不符合题意； 综上可得：或或． 24. 如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成）的半径是，水面（看成直线）与交于A，B两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动的时间为t秒，解决下列问题： （1）求的长以及扇形的面积；（结果保留） （2）当时，求点P到直线的距离； （3）若接水槽所在的直线是的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第一次恰好在所在直线上时，求t的值． 【答案】（1），扇形的面积为 （2） （3）42秒 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求，然后利用垂径定理可得的长；求出，然后利用扇形面积公式计算即可； （2）连接，过点P作，垂足为D，根据题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （3）延长交于点C，则点C为最高点，可知当点P在上，此时点P是切点，连接，则，然后分在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的度数，最后利用平角定义进行计算即可解答． 【小问1详解】 ∵在中， ， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【小问2详解】 连接，过点P作，垂足为D， 由题意得： ， 中， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴3秒后，点P到直线的距离是； 【小问3详解】 延长交于点C，则点C为最高点， ∵点P在上，且与相切， ∴当点P在上，此时点P是切点，连接，则， 在中，， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ∴当竹筒P第一次恰好在所在直线上时，t的值为42秒． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 【答案】（1） （2）①；对称轴为：；②， 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线L的解析式为经过点， ∴， 整理得：； 【小问2详解】 ①∵着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ∴， ∴， 由（1）得， ∴抛物线的解析式为：， ∵水流恰好经过着火点A， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：； ②∵消防员对距着火点A水平距离范围内继续进行喷水，， ∴当抛物线经过点时， ，解得：； 当抛物线经过点时， ，解得：； 综上可得：， ∵，， ∴c随b的增大而增大， ∴当时，c取得最小值为， ∴c的最小值为． 26. 如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值； （3）当的面积为4时，求m的值； （4）连接，若是等腰三角形，直接写出符合条件的m值的个数和其中一种情况下m的值． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） （4）有4个符合条件的m值，或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形及折叠的性质得出，即可求解； （2）根据题意得出P，E，C三点在一条直线上，然后利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解； （3）过点E作的平行线，分别交于点G、F，根据矩形的判定和性质得出，，利用三角形等面积法确定，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （4）分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出相应图形，然后利用矩形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形纸片，， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵沿折叠得， ∴，， ∵P，E，C三点在一条直线上， ∴， 即， ∴， ∵矩形纸片， ∴, ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 过点E作的平行线，分别交于点G、F，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：，， ∵, ， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； 【小问4详解】 连接，是等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，过点E作的平行线，分别交于点G、F，过点E作于点M，如图所示： ∴四边形为矩形，点M为的中点， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 由（3）得， ∴即， 解得：； 当时， （i）过点E作的平行线，分别交于点G、F，过点E作于点H，如图所示： ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴即， 解得：（不符合题意，舍去）； （ii）过点E作的平行线，分别交于点G、F，如图所示： ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴即， 解得：； 当时， （i）如图4，连接，当，且点位于上方时， 过点作，交于点，则四边形为菱形，连接，交于点，将向两边延长分别交，于点，，连接． ， ， ， ． ，，， ， ， ， ． ∵， ． 过点作，的垂线分别交于点，，则， ， ，， ． ， ， ， 解得． （ii）如图5，连接，当，且点位于下方时， 同（i）中的方法可知，． 综上所述，的值为或或． 【点睛】题目主要考查矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用相似三角形及等腰三角形的性质进行分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $