精品解析：山西省太原某校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

2025～2026学年度第二学期期中学业诊断 八年级数学 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 下列城市地铁标识图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. x的2倍与1的差是非负数，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题：直角三角形中至少有一个锐角小于或等于．应先假设（ ） A. 直角三角形中两个锐角都大于 B. 直角三角形中两个锐角都小于 C. 直角三角形中有一个锐角大于 D. 直角三角形中有一个锐角小于 6. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（ ） A. 平分和 B. 垂直平分 C. D. 8. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 和都是底角为的等腰三角形，和分别是底边，图中可以绕点A通过怎样的旋转得到．（ ） A. 逆时针旋转 B. 顺时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 八边形的内角和为________度． 12. 如图，已知，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（不另外添加字母） 13. 太原站乒乓球赛刚刚落下帷幕，为推广乒乓球运动、普及赛事知识，学校举办了乒乓球知识竞赛，共20道题．竞赛规则为：答对1题得5分，答错或不答1题扣1分．小明同学想要拿到80分及以上的成绩，才能获得赛事纪念品，小明至少要答对________道题． 14. 如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，村庄A和学校M位于一条河的两侧（两侧河岸线平行，为东西走向），河宽60米，A到河岸a的距离为130米，M到河岸b的距离为50米，且A和M的东西方向距离为150米．为保障村庄A的学生上学安全，镇政府决定修建一座“爱心桥”，桥长与河宽相同．要求“爱心桥”与河岸线垂直，且使学生所走路线最短，则学生从A到M最少要走________米（不考虑地面到桥面的高度）． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 解不等式组，并写出它的最小整数解． 17. 下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： （1）第一步的依据是___________________； （2）在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； （3）原不等式的正确解集为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将向右平移6个单位长度得到，和关于原点O成中心对称． （1）请画出和； （2）若将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是________． 19. 如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 20. 2026春晚《武》表演团队的人形机器人圈粉无数，展示了中国的科技实力．已知购买1台型人形机器人20万元，购买1台型人形机器人30万元．某公司计划购买型人形机器人和型人形机器人共10台，总费用不超过240万元，问最多可以购买型人形机器人多少台？ 21. 综合与实践 活动方案： 五一假期即将来临，中油好客特推出“乐购享五一，好客伴你行”活动，现有如下图所示的两种方式的优惠方案． 方式一 汽油满减券：满200减20 方式二 汽油折扣券：95折 优惠方案使用规则：单笔消费汽油满220元可使用一张券，最高可享50元折扣优惠；同一用户每日限使用一种优惠方式． 方案选择： 某游客给汽车加油，加油机显示所加汽油的总金额为元（）．结合以上信息分析，该游客选择哪种方式加油更省钱？ 22. 下面是小熠同学探究角平分线后的数学日记，请认真阅读并完成相关问题． 对二等分角和三等分角的思考 多法作图：我和同学们对如何“用尺规作角平分线”展开探究活动，收集到如下方法． 分析方法： 1．图1和图2都是借助构造全等三角形，得到对应角相等，从而证明射线是角平分线． 2．图3的证明过程如下： 由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线， 又， 点O在上（依据①） 即， 射线是的平分线（依据②） 3．图4的证明过程如下： …… 联想拓展： 进一步提出问题：是否能用尺规三等分角？ 经过动手操作、查阅资料知道不能用尺规三等分任意角，但通过合理构造，可用尺规实现将某些角三等分． （1）请补全图3证明过程中的依据①和依据②． （2）结合图4，求证：射线是的平分线． （3）如图5，，请用尺规将三等分． 23. 问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． （1）旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） （2）初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． （3）深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中学业诊断 八年级数学 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 下列城市地铁标识图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故选项不符合题意． 2. x的2倍与1的差是非负数，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确“非负数”的定义，即大于或等于0的数，按题意逐步转化为不等式即可得到结果． 【详解】解：∵的2倍可表示为，的2倍与1的差可表示为， 又∵非负数是指大于或等于0的数， ∴根据题意可得不等式． 3. 如果，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可． 【详解】对A选项，不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，∴A选项不符合题意； 对B选项，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得，∴B选项不符合题意； 对C选项，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，∴C选项不符合题意； 对D选项，不等式两边先乘，不等号方向改变，可得，两边再同时加1，不等号方向不变，可得，∴D选项符合题意． 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律为：左右平移改变横坐标，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加，上下平移改变纵坐标，向下平移纵坐标减，向上平移纵坐标加，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：将点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点Q的坐标是即． 5. 用反证法证明命题：直角三角形中至少有一个锐角小于或等于．应先假设（ ） A. 直角三角形中两个锐角都大于 B. 直角三角形中两个锐角都小于 C. 直角三角形中有一个锐角大于 D. 直角三角形中有一个锐角小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法的第一步为假设原结论不成立，即假设结论的反面成立． 原命题结论为“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于”， “至少有一个锐角小于或等于”的反面是“两个锐角都大于”， ∴ 应先假设直角三角形中两个锐角都大于． 6. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由作法可知，是的平分线，得，由作法可知，是线段的垂直平分线，得，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（ ） A. 平分和 B. 垂直平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可．  【详解】解：，，   点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中，    ，  ，，  平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ，  ， 在和中，    ，  ，故C选项正确 ； 与长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 8. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线交点的横坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为． 9. 和都是底角为的等腰三角形，和分别是底边，图中可以绕点A通过怎样的旋转得到．（ ） A. 逆时针旋转 B. 顺时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理可得，再由旋转的性质可直接求解． 【详解】解：∵和都是底角为的等腰三角形，和分别是底边， ∴， ∴图中的可以看成由绕着点A逆时针旋转得到的． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 如图，已知，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（不另外添加字母） 【答案】（答案不唯一，或或） 【解析】 【详解】解：∵，， ∴添加或，根据“”可以证明； 添加或，根据“”可以证明． 13. 太原站乒乓球赛刚刚落下帷幕，为推广乒乓球运动、普及赛事知识，学校举办了乒乓球知识竞赛，共20道题．竞赛规则为：答对1题得5分，答错或不答1题扣1分．小明同学想要拿到80分及以上的成绩，才能获得赛事纪念品，小明至少要答对________道题． 【答案】 【解析】 【分析】设小明要答对道题，则答错或不答道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分要大于或等于80分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小明要答对道题，则答错或不答道题， 依题意，得：， 解得：， 又∵为整数， ∴可取的最小值为17， ∴小明至少要答对道题． 14. 如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ． 15. 如图，村庄A和学校M位于一条河的两侧（两侧河岸线平行，为东西走向），河宽60米，A到河岸a的距离为130米，M到河岸b的距离为50米，且A和M的东西方向距离为150米．为保障村庄A的学生上学安全，镇政府决定修建一座“爱心桥”，桥长与河宽相同．要求“爱心桥”与河岸线垂直，且使学生所走路线最短，则学生从A到M最少要走________米（不考虑地面到桥面的高度）． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作，且，过作于，可得，此时最短，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作，且，过作于，连接， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 当在上时，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 此时最短， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， ∴学生从A到M最少要走米． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 解不等式组，并写出它的最小整数解． 【答案】不等式组的解集为，最小整数解为 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为． 17. 下面是某同学解不等式过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： （1）第一步的依据是___________________； （2）在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； （3）原不等式的正确解集为________． 【答案】（1）不等式的基本性质2 （2）二；移项时未改变符号 （3） 【解析】 【分析】（）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【小问1详解】 解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质; 【小问2详解】 解：在解答过程中，从第二步开始出错，错误原因是移项时未改变符号； 【小问3详解】 解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 的系数化成，得， 故原不等式的正确解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，将向右平移6个单位长度得到，和关于原点O成中心对称． （1）请画出和； （2）若将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是________． 【答案】（1）解：如图，和即为所求. （2） 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C分别平移，然后顺次连接即可；找出点、、关于原点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）连接，，，交于一点即为旋转中心，直接读出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，，交点为， 将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是. 19. 如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出，利用三角形的外角性质求解即可； （2）利用等角对等边得到，利用含30度的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的面积． 20. 2026春晚《武》表演团队的人形机器人圈粉无数，展示了中国的科技实力．已知购买1台型人形机器人20万元，购买1台型人形机器人30万元．某公司计划购买型人形机器人和型人形机器人共10台，总费用不超过240万元，问最多可以购买型人形机器人多少台？ 【答案】最多可以购买型人形机器人4台 【解析】 【分析】设购买型人形机器人x台，依题意列出一元一次不等式，求出，即可解答． 【详解】解：设购买型人形机器人x台，依题意，得 ， 解得， 答：最多可以购买型人形机器人4台． 21. 综合与实践 活动方案： 五一假期即将来临，中油好客特推出“乐购享五一，好客伴你行”活动，现有如下图所示的两种方式的优惠方案． 方式一 汽油满减券：满200减20 方式二 汽油折扣券：95折 优惠方案使用规则：单笔消费汽油满220元可使用一张券，最高可享50元折扣优惠；同一用户每日限使用一种优惠方式． 方案选择： 某游客给汽车加油，加油机显示所加汽油的总金额为元（）．结合以上信息分析，该游客选择哪种方式加油更省钱？ 【答案】当时，两种优惠方式共费相同；当时，选择方式一更省钱；当时，选择方式二更省钱． 【解析】 【分析】分别列出两种优惠后实际付款金额，分三种情况比较和大小即可求解． 【详解】解：方式一（满200减20）：实际付费； 方式二（95折）：实际付费； ①当时，，解得， 即时，两种优惠方式花费相同； ②当时，，解得， 结合，则时，选择方式一更省钱； ③当时，，解得， 即时，选择方式二更省钱； 综上，当时，两种优惠方式花费相同；当时，选择方式一更省钱；当时，选择方式二更省钱． 22. 下面是小熠同学探究角平分线后的数学日记，请认真阅读并完成相关问题． 对二等分角和三等分角的思考 多法作图：我和同学们对如何“用尺规作角平分线”展开探究活动，收集到如下方法． 分析方法： 1．图1和图2都是借助构造全等三角形，得到对应角相等，从而证明射线是角平分线． 2．图3的证明过程如下： 由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线， 又， 点O在上（依据①） 即， 射线是的平分线（依据②） 3．图4的证明过程如下： …… 联想拓展： 进一步提出问题：是否能用尺规三等分角？ 经过动手操作、查阅资料知道不能用尺规三等分任意角，但通过合理构造，可用尺规实现将某些角三等分． （1）请补全图3证明过程中的依据①和依据②． （2）结合图4，求证：射线是的平分线． （3）如图5，，请用尺规将三等分． 【答案】（1）到线段两端距离相等点在线段的垂直平分线上，三线合一 （2）证明：由作图可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）所作图形如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据SSS证明三角形全等； （2）根据角平分线的定义证明即可； （3）在射线上取点，作等边，再作出的平分线即可． 小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． （1）旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） （2）初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． （3）深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 【答案】（1）解：用量角器在右侧画，且，连接交于，作图如下： （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）用量角器在右侧画，且，连接交于，从而可完成作图． （2）如图，延长交于，由旋转可得：，可得，，再证明即可． （3）如图，当三点共线时，结合旋转可得：，，，过作于，可得，进一步结合勾股定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由旋转可得：，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上：或. ②如图，当三点共线时， 由旋转可得：，，，， ∴，， 过作于， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $