专题04 分式（5重点+17种题型+复习提升）（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪科版

专题04 分式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 分式 分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 1）分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0； 2）分式判断的易错点： ①分式可看成是两个整式的商，如可以表示为x÷y，但x÷y不满足分式的形式，它不是分式； ②判断一个代数式是否是分式的方法： a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式. 对于分式来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可） 知识点 2 分式的性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 知识点 3 分式的运算 1.分式的约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 2.分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 3.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 4.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 5.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 ①分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． ②分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 知识点 4 解分式方 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 2）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点 5 分式方程与实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1 分式的识别】 高妙技法 判断一个代数式是否是分式的方法： a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式. 例：π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式. b.判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看，如是分式，不是整式. 1．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津和平·阶段练习）下列各式：，，，，，，其中分式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行分析判断，注意是数字． 【详解】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有个． 故选：． 【题型2 分式有意义、无意义、值为0的条件】 高妙技法 对于分式来说 条件 示例 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 使有意义的条件使x≠-5，x的取值范围为x≥0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可） 使值为0的条件为x=1 【易错】分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，据此判断即可， 当分母不为0时，分式有意义． 【详解】解：由题意可得， 且， 且． 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 5．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零时，分子为零且分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 【题型3 求分式的值】 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案． 【详解】解：设，则，，； 则， 解得， 进而可得，， 代入分式可得， 故答案为：． 8．（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是先求倒数． 先将已知的式子化为倒数形式，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件式推出，再把整体代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（20-21八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 【题型4 分式的性质】 高妙技法 1）恒等变形必须是分子分母乘以或除以同一个式子（不能是加减）； 2）进行恒等变形时，乘以或除以同一个代数式时，需要注意一定要保证这个代数式不能为0，否则就不是恒等变形. 11．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质举例判断即可． 【详解】解：A、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； B、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； C、分式的分子、分母同时除以，分式的值不变，故此选项符合题意； D、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质，即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 13．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 14．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果分式中的字母都扩大为原来的2倍，那么分式的值等于（   ） A．原来的4倍 B．原来的2倍 C．原来的 D．原来的 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：， 故选：D． 15．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质：①分式的分子分母都乘以 可得答案；②分式的分子分母都乘以可得答案；③分式的分子分母都乘以 可得答案；④分式的分子分母都乘以 可得答案； 【详解】解：①， ②， ③， ④ 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的各项系数化为整数，掌握变形的方法是解题的关键. 【题型5 最简分式和最简公分母的识别】 高妙技法 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解及最简分式的判断，掌握因式分解的方法以及最简分式的判断依据是解题的关键，把每个分式分子分母分解因式，再根据最简分式的定义“分子分母中不含有公因式，不能再约分”，进行判断即可． 【详解】解：A. ，能约分，不是最简分式； B. ，能约分，不是最简分式； C. ，能约分，不是最简分式； D. ，不能约分，是最简分式； 故选：D． 18．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键． 如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解． 【详解】解：是最简分式， ，原分式不是最简分式， 是最简分式， 是最简分式， ∴最简分式的有3个， 故选：C ． 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键在于能够熟记最简公分母的定义． 根据最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的乘积，进行求解即可 【详解】解：根据题意可得：分式的最简公分母是， 故选：B． 20．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的最简公分母；先把各分式的分母进行因式分解，找出所有因式的最高次幂的乘积即是最简公分母． 【详解】解：， 故最简公分母为：； 故答案为：． 【题型6 约分与通分】 高妙技法 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （5）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 22．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【题型7 分式恒等变形】 23．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 24．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 【题型8 分式加减法】 高妙技法 式的加减法法则： 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 【注意】分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分. 26．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握因式分解法，分式的性质，分式的混合运算法则是关键． 根据因式分解法，分式的性质及分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 27．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 【题型9 分式乘除法】 高妙技法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键．根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）直接约分即可； （2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可； （3）先计算分式的乘方运算，再约分即可； （4）先把除法化为乘法，再约分即可. 【详解】（1）解：， （2） ； （3） ； （4） ； 31．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 32．（2024七年级上·上海·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练分式的混合运算顺序和方法是解答的关键． 原括号内先通分并用同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式进行化简，最后利用除法法则变形，最后约分即可． 【详解】解： ． 【题型10 分式的化简求值】 高妙技法 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 步骤：①处理已知条件，得整体关系；②整体代入所求代数式化简求值. 33．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从、0、1、2中选取一个使分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 34．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，根据乘除加减的互逆关系做等式变形，是解决问题的关键． （1）用代替中的化简，根据，取限定的，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得； （2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的． 【详解】（1） ， ∵， ∴， ∴从，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴ ， 则被墨水遮住的式子是． 35．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，解一元一次不等式组，得出的取值范围，结合分式有意义的条件得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：， ∵，， ∴，0，， ∴当时，原式． 【题型11 分式运算的应用】 36．（22-23八年级上·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． 37．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算和代数式作差法比较大小，关键是运用相应的运算法则正确计算． 计算，先通分再加减得，再根据判断出，从而判断出结论． 【详解】 = = = ∵ ∴ ∴ ∴ 39．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 40．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 【题型12 与分式运算有关的新定义问题】 41．（24-25七年级上·上海·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 42．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 43．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【题型13 分式方程的识别】 高妙技法 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 44．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 45．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【题型14 解分式方程】 高妙技法 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 46．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】无解 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解，解分式方程注意要检验． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程无解． 47．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，注意要验根． 将原方程化为，方程两边都乘以，得到，再解整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， 方程两边都乘以， 得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是分式方程的解， 原方程的解是． 48．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，解二元一次方程组，设，，可得，解分式方程可得，，即得，再解方程组即可求解，利用换元法解答是解题的关键． 【详解】解：设，， 则方程组可变为， ，得， 解得，把代入①，得， ∴， ∴， 解得． 【题型15 根据分式方程解的情况求参数】 高妙技法 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 49．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 50．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 51．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 52．（24-25八年级上·全国·单元测试）当为何值时，关于的方程的解小于零． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，求解，再根据解小于0列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以去分母得， ， 整理得，， 解得， 方程的解小于零， 且， 解得且． 【题型16 列分式方程】 53．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程即可； 【详解】解：由题意可知：装裱后的宽度（单位：米）为：， 装裱后的长度（单位：米）为：， ∵装裱后，整幅图画宽与长的比是， ∴， 故选：D 54．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 55．（24-25八年级下·上海·期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天修米，则实际每天修米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米， 由题意得：， 故答案为：． 【题型17 分式方程与实际应用】 56．（24-25八年级下·上海静安·期中）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．求单独处理需要多少小时？ 【答案】单独处理需要小时 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得，即， 整理得：， 解得：或， 由题意得，则， 经检验，是原分式方程的解， 答：单独处理需要小时． 57．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 【答案】在大桥的现有条件下还可以再提高限速 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时，根据提速后汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟建立方程求出提速前的限速即可得到结论． 【详解】解：设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵， ∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速． 58．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 【答案】接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 【分析】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品． 根据题意，得． 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 经检验：是原方程的解， 答：接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 59．（24-25八年级下·上海金山·期中）上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客，乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？ 【答案】甲种套装每块积木的平均价格为12元，则乙种套装每块积木的平均价格为10元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种套装每块积木的平均价格为x元，则乙种套装每块积木的平均价格为元，根据花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等建立方程求解即可． 【详解】解：设甲种套装每块积木的平均价格为x元，则乙种套装每块积木的平均价格为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种套装每块积木的平均价格为12元，则乙种套装每块积木的平均价格为10元． 60．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 提升专练 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了约分．观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可． 【详解】解：，，都是最简分式，不符合题意； ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 移项合并得：， 解得：， 检验：将代入， ∴原方程无解． 故选：D． 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式解题的关键，根据解分式方程去分母的方法求解即可． 【详解】解：分式方程的两边同时乘以，约去分母，得，即为． 故选：D． 7．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式即可，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 【详解】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、，不符合题意． C、，符合题意． D、，不符合题意． 故选：C． 10．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义及分式的基本性质和分式值为零的条件，熟练掌握相关定义，性质是解题的关键．直接根据因式分解的定义，分式值为零的条件及分式的基本性质逐项判断即可得解． 【详解】根据将一个多项式化为几个整式积的形式的过程为因式分解，左边为多项式，右边是整式积的形式可判断①不是因式分解；②不是整式积的形式，是分式积的形式，也不是因式分解；根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式，分式值不变，可知③正确；④不正确，分子不为零，分式值不可能为零． 因此正确的只有1个， 故选：B 11．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于这的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的方程无解， ∴当整式方程无解时，，解得， 当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法，将分式方化为整式方程，设，则方程可化为，进而去分母和移项即可求解，掌握将分式方化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设，则方程可化为， 方程两边乘以，得， ∴， ∴得到关于的整式方程是， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值运算，适当变形后整体代入是解题的关键．将变形为，再将变形为整体代入求解． 【详解】解：，即， ∴原式． 故答案为：4． 16．（2025·上海普陀·三模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 【答案】①；，0 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算以及代数求值，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误； 原式 当时，原式． 17．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解方程组，根据方程组的特点设则原方程组为，根据加减消元法得出，，进而即可求解． 【详解】解：设 ∴原方程组为 ①②得， 解得： 将代入②的 解得： ∴， ∴ 18．（24-25八年级下·上海闵行·期中）先化简，再求值：，且x是满足的整数． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先将除法化为乘法计算，再进行分式的加减计算，然后根据分式有意义的条件以及x是满足的整数确定的值，再代入即可． 【详解】解：原式 ， ∵x是满足的整数， ∴可取， ∵分式有意义， ∴， ∴， ∴原式． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 20．（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 真题感知 1．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：C． 2．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 3．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 4．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 7．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为，，，进一步即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 9．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）   （2）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，解题的关键是： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集． （2）原式 ． 当时，， 原式 10．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 11．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 分式 分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 1）分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0； 2）分式判断的易错点： ①分式可看成是两个整式的商，如可以表示为x÷y，但x÷y不满足分式的形式，它不是分式； ②判断一个代数式是否是分式的方法： a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式. 对于分式来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可） 知识点 2 分式的性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 知识点 3 分式的运算 1.分式的约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 2.分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 3.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 4.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 5.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 ①分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． ②分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 知识点 4 解分式方 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 2）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点 5 分式方程与实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1 分式的识别】 高妙技法 判断一个代数式是否是分式的方法： a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式. 例：π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式. b.判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看，如是分式，不是整式. 1．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·天津和平·阶段练习）下列各式：，，，，，，其中分式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 分式有意义、无意义、值为0的条件】 高妙技法 对于分式来说 条件 示例 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 使有意义的条件使x≠-5，x的取值范围为x≥0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可） 使值为0的条件为x=1 【易错】分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【题型3 求分式的值】 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 8．（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ． 9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 10．（20-21八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【题型4 分式的性质】 高妙技法 1）恒等变形必须是分子分母乘以或除以同一个式子（不能是加减）； 2）进行恒等变形时，乘以或除以同一个代数式时，需要注意一定要保证这个代数式不能为0，否则就不是恒等变形. 11．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（  ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 14．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果分式中的字母都扩大为原来的2倍，那么分式的值等于（   ） A．原来的4倍 B．原来的2倍 C．原来的 D．原来的 15．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 【题型5 最简分式和最简公分母的识别】 高妙技法 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）分式，，的最简公分母为 ． 【题型6 约分与通分】 高妙技法 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 21．（23-24八年级上·全国·单元测试）约分： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 22．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，；(2)，，． 【题型7 分式恒等变形】 23．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 24．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，其中A、B为常数，求的值． 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知是恒等式，请分别求、的值． 【题型8 分式加减法】 高妙技法 式的加减法法则： 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 【注意】分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分. 26．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 27．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【题型9 分式乘除法】 高妙技法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 29．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)；(2) 30．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 31．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 32．（2024七年级上·上海·专题练习）化简：． 【题型10 分式的化简求值】 高妙技法 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 步骤：①处理已知条件，得整体关系；②整体代入所求代数式化简求值. 33．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 34．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 35．（2024·上海·模拟预测）先化简，再从不等式组的解集中选择合适的整数解代入求值 【题型11 分式运算的应用】 36．（22-23八年级上·福建福州·期末）已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 37．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 39．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 40．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【题型12 与分式运算有关的新定义问题】 41．（24-25七年级上·上海·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 42．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 43．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【题型13 分式方程的识别】 高妙技法 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 44．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【题型14 解分式方程】 高妙技法 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 46．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 47．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 48．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 【题型15 根据分式方程解的情况求参数】 高妙技法 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根. 3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 49．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 50．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 51．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 52．（24-25八年级上·全国·单元测试）当为何值时，关于的方程的解小于零． 【题型16 列分式方程】 53．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级下·上海·期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ． 【题型17 分式方程与实际应用】 56．（24-25八年级下·上海静安·期中）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．求单独处理需要多少小时？ 57．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 58．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 59．（24-25八年级下·上海金山·期中）上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客，乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？ 60．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 提升专练 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于这的方程无解，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 16．（2025·上海普陀·三模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 17．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组． 18．（24-25八年级下·上海闵行·期中）先化简，再求值：，且x是满足的整数． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 20．（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 真题感知 1．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 7．（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 9．（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 10．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 11．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$