精品解析：2025年山东省威海市环翠区中考一模数学试题

二○二五年初中学业考试模拟训练数学 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图几何体由8个完全相同的小正方体构成，其三视图中为轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 主视图和俯视图 C. 俯视图 D. 俯视图和左视图 2. 已知一个水分子的质量约为克，请用科学记数法表示0.6千克的水中所含水分子的个数（ ） A. B. C. D. 3. 点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．若点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》记载了一道题：今有木，不知长短，引绳度之，绳余四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出四尺五寸；将这根绳子对折来量，绳子差一尺．这根木材有多长？（1尺寸，设木材长寸，绳子长寸，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6 9. 定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（ ） ①； ②； ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A. ②③ B. ②④⑤ C. ②③④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 若是一个完全平方式，则的值为______． 12. 在函数中，的取值范围_____． 13. 计算：_____． 14. 图，菱形，，，反比例函数图象与菱形交于点，，点是边中点，点，分别为，上的动点，且．点关于的对称点刚好落在反比例函数图象上，则点坐标为_____． 15. 已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 16. 如图，点，分别是正方形边，上的点且，延长至点，使，连结分别交，于点，，连接，分别交，于点，．下列五个结论正确的有_____．（只填序号） ①；②，，三点共线；③；④；⑤． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. “五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 18. 如图，四边形各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，且与各边交于点I，J，K，L．若四边形是矩形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，则_____． 19. 甲醛是装修常见污染物，沸点低（），易溶于水，温度升高会加速其挥发，挥发周期可达3－15年，对人体危害极大，长期接触低浓度甲醛可能引发咽喉炎、皮肤过敏、免疫力下降，长期接触高浓度可能诱发白血病等恶性疾病． 某家庭新装修后测得甲醛浓度为（国际标准），尝试三种治理方案，每周检测数据及折线图如下： 治理方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 仅通风 0.28 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 通风+活性炭 0.25 0.22 0.20 0.18 0.16 0.15 0.14 通风+光触媒 0.20 0.18 0.15 0.12 0.10 0.08 0.06 表1 某机构调查了若干装修家庭（每户），统计了七种甲醛治理方案，记录了7天后浓度、总成本（初期购买以及一个周的费用和）、使用户数以及使用比例，数据如下： 治理方案 7天后浓度（） 总成本（元） 使用户数（户） 使用占比（%） A仅通风 0.21 0 25 B通风+活性炭 0.14 370 C通风+光触媒 0.06 1500 15 D绿植吸附 0.28 600 10 E空气净化器 0.19 2150 12 F甲醛清除剂 0.17 1000 8 G专业治理公司 0.04 6000 表3 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2和图4中的统计图补充完整，并直接写出表1中通风+光触媒的极差以及，的值； （2）假如小丽家装修完想除甲醛，请你多角度分析为其提一条合理化建议； （3）若甲，乙两个家庭分别从，，，四种治理方案中选择一种，请通过画树状图或者列表法求两个家庭选中同一种方案的概率． 20. 某学校九年级数学兴趣小组开展了“多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度”的活动．具体活动内容和数据如下表： 活动主题 多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度 方案 方案一 方案二 方案三 测量工具 皮尺、镜子、激光笔 皮尺、测角仪、计算器等 无人机（带高度传感器）、标记物等 活动过程 模型抽象 利用镜面反射原理 利用仰角解直角三角形原理 利用俯角解直角三角形原理 测算过程与数据信息 ①，，在同一条直线上，于点，于点．乙同学在点处放置镜子，使得站在处的甲同学能在镜子中看到雕像顶点； ②用皮尺测得的长度有：米，米，甲同学身高米． ①在水平地面取两点，，使得点，，在同一条直线上； ②用皮尺测得米； ③在点，处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：；；；；；． ①无人机在距离地面米的高度水平飞行； ②在点处测得处的俯角为，飞行了米到达了点处，此时测得处的俯角为． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）方案一中的_____（结果用，，表示）；方案三中的_____；（结果用，，，表示） （2）根据方案二中提供的数据，求．（结果保留整数） 21. 如图，是的直径，线段，与相切于点，，点是圆上一点，，，三点在同一条直线上，且．过点作于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）证明：； （3）若，的半径为1，则弧的长度为_____．（结果保留） 22. 综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 23. 抛物线，顶点为点． （1）顶点坐标_____； （2）当时， ①的值总大于4，求取值范围； （3）当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． （1）求点坐标；（提示：，的中点坐标） （2）若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； （3）已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年初中学业考试模拟训练数学 1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图几何体由8个完全相同的小正方体构成，其三视图中为轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 主视图和俯视图 C. 俯视图 D. 俯视图和左视图 【答案】B 【解析】 【分析】由题意观察图形先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义进行分析即可求解．本题考查简单组合体的三视图以及轴对称图形，解题的关键是得到该几何体的三视图以及掌握轴对称图形的定义． 【详解】解：由如图所示的几何体可知： 该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是， 其中主视图和俯视图是轴对称图形． 故选：B． 2. 已知一个水分子的质量约为克，请用科学记数法表示0.6千克的水中所含水分子的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3. 点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．若点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：点坐标为，则点的坐标为， ∴点的坐标为：； 故选C． 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由数轴可得： ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴ ∴，故B正确，不符合题意； ∵ ∴，故C正确，符合题意， ∵ ∴，故D错误，符合题意， 故选： D． 5. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算等知识，根据同底数幂相除法则，分式的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故不符题意； B．，故符合题意； C． ，故不符题意； D． ，故不符题意； 故选：B． 6. 已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 《孙子算经》记载了一道题：今有木，不知长短，引绳度之，绳余四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出四尺五寸；将这根绳子对折来量，绳子差一尺．这根木材有多长？（1尺寸，设木材长寸，绳子长寸，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．用一根绳子去量一根木条，绳子剩余四尺五寸可知：；绳子对折再量木条，绳子差一尺可知：；组成方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解直角三角形等有关知识．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 【详解】解：如图，连接；过点O作于点G． ∵是正六边形的一边， ∴，是等边三角形， 在中，，， ∵， ∴， ∴这个正六边形的面积． 故选：B． 9. 定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 10. 已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（ ） ①； ②； ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A. ②③ B. ②④⑤ C. ②③④⑤ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解不等式等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵不论取何值，都有， ∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标为， ∴，故①正确； ∵二次函数过点，， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为，， ∴，， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴无法判断与0的大小关系，故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 又， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故答案为：． 12. 在函数中，的取值范围_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了函数有意义的条件，二次根式的性质和分式的定义．根据二次根式中被开方数非负及分式中分母不为零的性质进行解答即可． 【详解】解：要使函数有意义， 则，， ∴且， 故答案为：且． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 图，菱形，，，反比例函数图象与菱形交于点，，点是边中点，点，分别为，上的动点，且．点关于的对称点刚好落在反比例函数图象上，则点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过A作于M，过G作于N，解直角三角形求出，，则可求A的坐标，根据中点坐标公式求出D的坐标，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，证明是等边三角形，得出，根据翻折的性质，得出，，则可证，设，则，解直角三角形求出，，则点H的横坐标为，纵坐标为，把H的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可解答． 【详解】解：过A作于M，过G作于N， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是边中点， ∴， 设反比例函数解析式为， 则， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ∴点H的横坐标为，纵坐标为， ∴， 代入，得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 15. 已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数．不等式组整理后，由有且仅有3个整数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再找出符合条件的整数求和即可得答案． 【详解】解：, 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值可为：、， ， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 16. 如图，点，分别是正方形边，上的点且，延长至点，使，连结分别交，于点，，连接，分别交，于点，．下列五个结论正确的有_____．（只填序号） ①；②，，三点共线；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的高的性质，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键；证明，，进而可得，即可判断①；证明四点共圆得出，即可判断②，不一定成立，故③不正确，证明得出，根据不一定成立，故不一定成立，故④不正确；根据三角形的高线交于一点，作的高，则经过点，即，即可得出⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴故①正确； ∵, ∴， 又∵ ∴垂直平分 ∴ 又∵ ∴四点共圆 ∴ 又∵是正方形的对角线，即 ∴， ∴在上，即，，三点共线；故②正确 ∵不一定成立，则不一定成立，即不一定成立，故③不正确 设，则 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵不一定成立，故不一定成立，故④不正确； ∵ 如图，作的高， ∵交于点 ∴经过点， ∴,故⑤正确 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. “五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【答案】元或元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际经济问题中的应用，涉及到根据价格和销量的变化关系建立数学模型．解题的关键在于正确设出变量，准确表示出变化后的门票价格和游客人数，从而建立起正确的方程，再通过求解方程并结合实际意义得到门票价格．本题可通过设门票价格的变化量，根据门票价格变化与游客人数变化的关系，建立门票总收入的方程，进而求解出使门票总收入为万元的门票价格． 【详解】解：设门票价格提高了个元．原来门票价格为元，当为正数时表示价格提高，为负数时表示价格降低，那么现在的门票价格为元．由题意可得， ． ． 所以或， 解得，． 当时，门票价格为（元）； 当时，门票价格为（元）； 答：票价定为元或元（以元为调整单位）时，能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元 18. 如图，四边形各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，且与各边交于点I，J，K，L．若四边形是矩形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，则_____． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，推出，进而得到，角平分线推出，得到，同理推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，进而求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形各角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 同理：， ∴， ∴． 19. 甲醛是装修常见污染物，沸点低（），易溶于水，温度升高会加速其挥发，挥发周期可达3－15年，对人体危害极大，长期接触低浓度甲醛可能引发咽喉炎、皮肤过敏、免疫力下降，长期接触高浓度可能诱发白血病等恶性疾病． 某家庭新装修后测得甲醛浓度为（国际标准），尝试三种治理方案，每周检测数据及折线图如下： 治理方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 仅通风 0.28 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 通风+活性炭 0.25 0.22 0.20 0.18 0.16 0.15 0.14 通风+光触媒 0.20 0.18 0.15 0.12 0.10 0.08 0.06 表1 某机构调查了若干装修家庭（每户），统计了七种甲醛治理方案，记录了7天后浓度、总成本（初期购买以及一个周的费用和）、使用户数以及使用比例，数据如下： 治理方案 7天后浓度（） 总成本（元） 使用户数（户） 使用占比（%） A仅通风 0.21 0 25 B通风+活性炭 0.14 370 C通风+光触媒 0.06 1500 15 D绿植吸附 0.28 600 10 E空气净化器 0.19 2150 12 F甲醛清除剂 0.17 1000 8 G专业治理公司 0.04 6000 表3 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2和图4中的统计图补充完整，并直接写出表1中通风+光触媒的极差以及，的值； （2）假如小丽家装修完想除甲醛，请你多角度分析为其提一条合理化建议； （3）若甲，乙两个家庭分别从，，，四种治理方案中选择一种，请通过画树状图或者列表法求两个家庭选中同一种方案的概率． 【答案】（1）补全统计图见解析，，， （2）合理即可 （3） 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图和折线统计图获取信息，画树状图或列表法求解概率，极差，读懂题意是解题的关键． （1）根据“通风+光触媒”的数据即可补全折线统计图，找出数据的最大值和最小值，即可求解极差，先由“仅通分”的户数除以占比求出总户数，再乘以“通风+活性炭”的占比求出此户数，再减去其余的户数，即可求“专业治理公司”的户数，即可求解占比，继而补全条形统计图； （2）可以从不同角度分析，合理即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：补全折线统计图，如图： 总户数：，则，， ∴， 极差， ∴补全条形统计图，如图： 【小问2详解】 解：从甲醛的性质角度分析：易溶于水，可以借助接满水的脸盆或者加湿器保持屋内湿度高；温度高加速挥发，可借助暖气或者空调，提高屋内温度；从成本角度，可以选择B，D，F方案；从最终效果角度，可以考虑C，G（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两个家庭选中同一种方案的结果数有4种， ∴两个家庭选中同一种方案的概率是， 20. 某学校九年级数学兴趣小组开展了“多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度”的活动．具体活动内容和数据如下表： 活动主题 多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度 方案 方案一 方案二 方案三 测量工具 皮尺、镜子、激光笔 皮尺、测角仪、计算器等 无人机（带高度传感器）、标记物等 活动过程 模型抽象 利用镜面反射原理 利用仰角解直角三角形原理 利用俯角解直角三角形原理 测算过程与数据信息 ①，，在同一条直线上，于点，于点．乙同学在点处放置镜子，使得站在处的甲同学能在镜子中看到雕像顶点； ②用皮尺测得的长度有：米，米，甲同学身高米． ①在水平地面取两点，，使得点，，在同一条直线上； ②用皮尺测得米； ③在点，处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：；；；；；． ①无人机在距离地面米的高度水平飞行； ②在点处测得处的俯角为，飞行了米到达了点处，此时测得处的俯角为． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）方案一中的_____（结果用，，表示）；方案三中的_____；（结果用，，，表示） （2）根据方案二中提供的数据，求．（结果保留整数） 【答案】（1）， （2）15米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）根据反射定律得到，进而得到，列出比例式求出方案一中的长，对于方案三，延长交于点，易得，，，，解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可； （2）设，分别解和，根据为定值，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于方案一：由题意，得：， 由反射定律，得：， ∴， ∴，即：， ∴； 对于方案三：延长交于点，则：由题意，得：，，，， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则：， 在中， ， ． 同理，在中，． ． ． 21. 如图，是的直径，线段，与相切于点，，点是圆上一点，，，三点在同一条直线上，且．过点作于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）证明：； （3）若，的半径为1，则弧的长度为_____．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定以及切线长定理，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，证明得出，根据是的切线，是半径可得出则，即可得证； （2）证明，得出，根据则，同理可证，，根据平行线分线段成比例得出，即可得出则； （3）先求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， ，，， ． ． 是的切线，是半径， ． ． 是半径， 是的切线． 【小问2详解】 由（1）已证． ，． ． ． ． ， ． ． ， ． ． 同理可证，． ，是的切线， ． ． ， 同理可证，， ． ． ． ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ，是的切线， ∴ ∵的半径为1，则弧的长度为 故答案为：． 22. 综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484 （2）否；100；200 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，据此计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； 【小问2详解】 解：∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； 【小问4详解】 解：如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 23. 抛物线，顶点为点． （1）顶点坐标_____； （2）当时， ①的值总大于4，求取值范围； （3）当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为． ②点以每秒1个单位的速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由； ③④任选一道做即可 ③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____； ④点是线段上一动点，则的最小值为_____． 【答案】（1）； （2）①的取值范围是； （3）②的面积存在最大值，取得最大值．点坐标为． ③；④12． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线顶点坐标公式，将抛物线中的系数代入，求出顶点的坐标． （2）①先确定抛物线对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出的最小值，让最小值大于，从而确定的取值范围． （3）② 先求出抛物线平移后的解析式及相关点坐标，通过相似三角形得到与面积关系，设出点坐标，进而表示出面积关于某一变量的函数，根据函数性质求最大值及此时点坐标．③ 通过构造辅助圆，利用圆周角性质，找到使得最大时的点位置，再根据直线解析式求出点坐标．④ 通过作辅助线将进行转化，再根据垂线段最短求出的最小值． 【小问1详解】 解：在抛物线中，，，． ∴，． ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①∵顶点坐标为． ∴抛物线的对称轴为直线． 当时： 在，随的增大而增大． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提， ∴． 当时， 当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴，即，此方程无实数解． 当时， 在时，随的增大而减小． ∴当时，取得最小值，． ∵的值总大于， ∴， 解得． 结合前提，此时无解． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 解：②当时，抛物线向下平移个单位，得到． 令，则， ∴， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入 ，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 同理得直线的解析式为． ∵， ∴， ∴． 设（），则，，． ∵． ∴． ∵ ， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值． 此时点坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入 ，得， ∴， ∴． 联立， 解得， ∴点坐标为． ③以为弦作圆，当圆与直线相切时，切点即为使得最大的点． ∵时， ∴原抛物线， ∴顶点， 由（）②得直线的解析式：． 又，，． ∴中点坐标为， ∵，， ∴直线为， ∴设的垂直平分线为， ∴ 把代入得， ∴的垂直平分线为． 设圆心坐标为，连接， ∵圆与直线相切， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在直线上， 联立， 解得，， ∴； ④作直线，过作于，设为与轴的交点，连接， ∵，， ∴，，， ∴． ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值，即取最小值， 如图， 此时，即 ∴， ∴取最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标的求解、函数在某区间内的最值问题，还涉及到相似三角形的判定与性质、直线解析式的求解、圆的相关性质以及利用几何变换求最值等知识点．解题的关键在于熟练运用二次函数的各种性质，针对不同问题合理构造辅助线或辅助图形，通过建立函数关系或利用几何定理进行求解． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． （1）求点坐标；（提示：，的中点坐标） （2）若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； （3）已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 【答案】（1） （2）轴，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二次函数的图像和性质求出点A，点B的坐标，然后根据中点公式求出点C的坐标即可． （2）连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据正切的定义得出，进而可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即轴． （3）当时，最小，根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接，根据三角形中位线定理得出，，由圆外一点到圆的最大以及最小距离求出，再根据点P所在象限，得出的取值范围，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴，， ∴， 即 【小问2详解】 解：轴，理由如下： 连接，如下 ∵，C为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则轴． 【小问3详解】 解：当时，最小， 此时， ∴，， 根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接， ∵O是的中点，是的中点， ∴，， ∴最大值为：，最小值为：， ∵， ∴最大值为：，最小值为：， ∵P在第一象限，不能落在y轴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题为压轴题，综合性较强，考查了圆外一点到圆的最大以及最小距离，对称的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的性质，三角形中位线的有关求解问题.一次函数的图像和性质等，得出，以及是圆外一点到圆的最大以及最小距离是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $