专题02 期末复习专题：相交线与平行线（5个知识点+10大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

专题02 期末复习专题：相交线与平行线 目录 【考点一 对顶角的定义及性质】 3 【考点二 求一个角的余角、补角】 4 【考点三 利用垂线的定义求角的度数】 6 【考点四 网格中作平行线或垂线】 10 【考点五 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 14 【考点六 平行线的判定和性质多结论题】 16 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 23 【考点八 平行线的判定和性质综合问题】 26 【考点九 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 31 【考点十 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 39 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【考点一 对顶角的定义及性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的定义，是简单的基础题，熟记对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义即可求解．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角． 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】D 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴增加时，增加， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角相等，邻补角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵，且是对顶角， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平角的定义，对顶角的定义及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，先由邻补角的定义得出，再根据角平分线的定义得出，最后对顶角的定义得到，由计算即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 【考点二 求一个角的余角、补角】 例题：（24-25七年级上·山东济宁·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角的度数是， ∴这个角的余角的度数为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则的余角大小为 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角 【分析】本题考查的是求解一个角的余角，根据和为90度的两个角互余可得答案. 【详解】解：∵， ∴的余角为； 故答案为： 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如果的余角是的倍，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了余角的定义，一元一次方程的应用，根据余角的定义列方程是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）一个锐角的补角比它的余角的2倍多，则这个锐角度数为 ． 【答案】36 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角及余角的定义，一元一次方程的应用．设这个锐角为x度，进而得到补角为度，余角为度，再根据题中等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个锐角为x度， 由题意知：， 解得， 即这个锐角度数为， 故答案为：36． 【考点三 利用垂线的定义求角的度数】 例题：（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出的度数，再利用角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， 又平分， ， 的度数为． （2）解：与互余， ， ， 由（1）得，，， ， 的度数为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 【点睛】 2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图所示，点在直线上，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)①当时，则的度数为________； ②当时，则的度数为________； (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）①根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可； ②根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可； （2）根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点在直线上， ∴， 即的度数为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点在直线上， ∴， 即的度数为， 故答案为：； （2）． 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点在直线上， ∴， 即． 【点睛】本题考查互为余角、补角、角平分线的定义，利用数形结合的思想，找准角之间的关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的几何运用，几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用邻补角性质得，结合角平分线的定义得，再运用角的和差关系列式计算，即可作答． （2）先表示，因为射线是的平分线，故，再根据邻补角性质，即可作答． （3）设，则，再分别表示，，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵射线是的平分线． ∴， 则； （2）∵，， ∴ ∵射线是的平分线， ∴ ∴； （3）设， ∵射线是的平分线， ∴， 则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 即． 【考点四 网格中作平行线或垂线】 例题：（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线以及垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题目要求结合网格特点即可作图． （2）结合垂线段最短性质，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）线段，，中，最短的线段是，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【知识点】画垂线、垂线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及垂线的性质是解题的关键． （1）根据线段的特点作图； （2）根据网格线的特点及平行线的性质作图； （3）根据网格线的特点及垂直的定义作图； （4）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）即为所求； （2）即为所求； （3）即为所求； （4），理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】格点作图题、点到直线的距离 【分析】本题主要考查格点作图、平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握格点作图、平行线的性质及点到直线的距离是解题的关键． （1）根据平行线的性质及格点作图可进行求解； （2）由格点的特征可直接进行求解； （3）由（2）可直接进行求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）∵ ∴线段的长度是点到直线的距离． 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期末）下图是由个边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的内角都是直角，每个顶点为格点，A，B，C，D，E，F均在格点上，且． (1)仅用无刻度的直尺按要求画图：①作直线；②连接；③连接并延长到点G，使； (2)在完成（1）后，图中能用字母表示的角中，写出一对互余的角 ，写出一对互补的角 ． (3)若点P是平面内一点，当点P是与的交点时，的值最小，理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)与（答案不唯一），与（答案不唯一） (3)两点之间，线段最短 【知识点】与余角、补角有关的计算、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查基本作图、互余和互补定义、两点之间线段最短等知识，掌握相关知识是解答的关键． （1）根据直线、线段的定义和题中要求画图即可； （2）根据和为的两个角互余，和为的两个角互补求解即可； （3）根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1） （2）解：根据互余定义，与互余，与互余等； 根据互补定义，与互补，与互补等， 故答案为：与（答案不唯一），与（答案不唯一） （3）解：根据两点之间，线段最短，当点P是与的交点时，最小，最小， 此时的值最小， 故答案为：两点之间，线段最短． 【考点五 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题考查了同位角的定义：两条直线被同一条直线所截，在截线的同旁，在两直线的同侧的两个角角同位角，据此判断 【详解】解：A.与是同位角，故该项不符合题意； B.与是同位角，故该项不符合题意； C.与是不同位角，故该项符合题意； D.与是同位角，故该项不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可． 【详解】解：根据同位角的定义可知，图①，图②，图④中的与是同位角，图③中的与不是同位角， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，直线与直线、相交．图中所示的各个角中，能看做的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了三线八角定义，熟记三线八角定义及图形是解决问题的关键，根据三线八角定义即可得到答案． 【详解】解：A、和是对顶角，不符合题意； B、和是内错角，不符合题意； C、和是同位角，不符合题意； D、和是同旁内角，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】对顶角相等、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键． 根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义， 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角． 同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 逐一判断即可． 【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确； ②∠4和∠8是同位角，说法正确； ③∠3和∠7是内错角，说法正确； ④∠4和∠7是同旁内角，说法正确； 结论一定正确的有①②③④共4个； 故选：A． 【考点六 平行线的判定和性质多结论题】 例题：（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 2．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q． 若恰好平分，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键．延长，交于G，过点P作，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推得，即可判断③④不一定正确． 【详解】解：延长，交于G．过点P作，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴不一定平分，不一定平分，故③④不一定正确． 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，当，，，分别利用两直线平行，同位角相等或两直线平行，同旁内角互补，得到为或． 【详解】解：①图1，当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②图2，当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； ③当时，， ∵， ∴，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【考点八 平行线的判定和性质综合问题】 例题：（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，先由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴可设， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知，得到，于是问题得证； （2）过点作，于是有，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，两式相加即可证明； （3）先得出，由，求出，，则可求出，利用角平分线定义求出，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由： 如图，过点作， 由（1）知， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交的延长线于点， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，证明，得，因为，故，即可作答． （2）因为，所以，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】 （1）根据，得到，从而得到的度数，利用角平分线，得到结果即可； （2）根据，得到，结合对顶角相等，以及角平分线的定义，得到，利用同角的余角相等，得到结果即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2） 解：，理由如下： 过B点作的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点九 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 例题：（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，四边形的内角和等知识点，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质． （1）利用角平分线的性质得出，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用角平分线的性质得出，再利用（1）中结论和四边形内角和可求出的度数； （3）根据题意画出图形，过点作，利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)； (4)，求解过程见解析 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（）过点作，可得，进而得，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，过点作，可得，同理（）解答即可求解； （）过点作，可得，得到，进而根据角平分线的定义可得，同理可得； （）过点作，过点作，得，同理（）解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【考点十 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． (1)在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若，则________； ②若比大，求、的大小； (2)如图2，小红将一个三角板（，）放在一组互相平行的直线与之间，并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，若，求的大小． 【答案】(1)①；②， (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的角度计算，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）①根据周角的定义可得，即可求得答案；②同理①求出，即可解答； （2）过点B作，，由平行线的性质推出，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：①如图， 则， ∵，， ∴； ②同理①得：， ∵，， ∴，即， ∴，则； （2）解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知，将一副三角尺如图1放置，边在上，，，，，于点E，其中点A在线段上，点D在线段上． (1)的度数是_____； (2)如图2，三角尺不动，三角尺绕点E逆时针旋转，若点F在线段上，求的度数； (3)若三角尺绕点E以每秒逆时针旋转，三角尺绕点B以每秒逆时针旋转，他们同时开始旋转，设旋转时间为，当直线与三角尺的或边所在直线垂直时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、列代数式、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质，与三角板有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，结合平行公理得出，得出，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作答． （2）先过点D作，过点F作，再结合平行线的性质得出内错角相等，根据角的和差关系列式计算，即可作答． （3）因为直线与三角尺的或边所在直线垂直，故要逐个情况作图，运用数形结合思想且利用角之间的关系得出，又因为三角尺绕点E以每秒逆时针旋转，三角尺绕点B以每秒逆时针旋转，得出，，然后解方程，第二种情况同理，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 则． ∴的度数是： （2）解：过点D作，过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ； （3）解：①当于点K时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角尺绕点E以每秒逆时针旋转，三角尺绕点B以每秒逆时针旋转， ∴，， ∴， 解得， ②当于点时，如图所示： ∵， ∴， 过点I作， ∵， ∴， ∴，， ∵三角尺绕点E以每秒逆时针旋转，三角尺绕点B以每秒逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴， 解得． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 期末复习专题：相交线与平行线 目录 【考点一 对顶角的定义及性质】 3 【考点二 求一个角的余角、补角】 4 【考点三 利用垂线的定义求角的度数】 6 【考点四 网格中作平行线或垂线】 10 【考点五 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 14 【考点六 平行线的判定和性质多结论题】 16 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 23 【考点八 平行线的判定和性质综合问题】 26 【考点九 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 31 【考点十 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 39 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【考点一 对顶角的定义及性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【考点二 求一个角的余角、补角】 例题：（24-25七年级上·山东济宁·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则的余角大小为 ． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如果的余角是的倍，则的度数是 °． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）一个锐角的补角比它的余角的2倍多，则这个锐角度数为 ． 【考点三 利用垂线的定义求角的度数】 例题：（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图所示，点在直线上，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)①当时，则的度数为________； ②当时，则的度数为________； (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由. 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【考点四 网格中作平行线或垂线】 例题：（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)连接交于点O； (2)过点A画直线，使； (3)过点A画直线的垂线，垂足为H． (4)观察得到的图形，请比较线段_____线段（用“＞”，“＜”或“＝”连接），你的理由是_____． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期末）下图是由个边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的内角都是直角，每个顶点为格点，A，B，C，D，E，F均在格点上，且． (1)仅用无刻度的直尺按要求画图：①作直线；②连接；③连接并延长到点G，使； (2)在完成（1）后，图中能用字母表示的角中，写出一对互余的角 ，写出一对互补的角 ． (3)若点P是平面内一点，当点P是与的交点时，的值最小，理由是 ． 【考点五 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A．B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，直线与直线、相交．图中所示的各个角中，能看做的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点六 平行线的判定和性质多结论题】 例题：（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q． 若恰好平分，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点七 平行线的性质在生活中的应用】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）． 【考点八 平行线的判定和性质综合问题】 例题：（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【考点九 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 例题：（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【考点十 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 例题：（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）在数学活动中，数学兴趣小组的主题是《关于三角板的数学思考》． (1)在桌面上，把一副三角板摆成图1的位置（两直角三角板的直角顶点重合）． ①若，则________； ②若比大，求、的大小； (2)如图2，小红将一个三角板（，）放在一组互相平行的直线与之间，并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，若，求的大小． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知，将一副三角尺如图1放置，边在上，，，，，于点E，其中点A在线段上，点D在线段上． (1)的度数是_____； (2)如图2，三角尺不动，三角尺绕点E逆时针旋转，若点F在线段上，求的度数； (3)若三角尺绕点E以每秒逆时针旋转，三角尺绕点B以每秒逆时针旋转，他们同时开始旋转，设旋转时间为，当直线与三角尺的或边所在直线垂直时，求t的值． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$