专题3 方程（组）与不等式（组）—备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题3 方程（组）与不等式（组） 【热点1一元一次方程】 1．（2025•浙江模拟）x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．5x﹣2＝4x+1 B．5x﹣2＝4x﹣1 C．5x+2＝4x﹣1 D．5x+2＝﹣4x﹣1 2．（2025•衢州一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（　　） A．8x﹣3＝7x﹣4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x+3＝7x+4 3．（2025•上城区一模）某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个，下列四个方程： ①2m+10＝3m﹣30；②2m﹣10＝3m+30；③；④． 其中符合题意的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 4．（2025•浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得2﹣（x﹣1）＝2（x+1）． 去括号，得2﹣x+1＝2x+2． 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣1． 两边同除以﹣3，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【热点2二元一次方程组】 1．（2025•绍兴一模）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有x钱，乙原有y钱，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025•衢州一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　 　 ． 3．（2025•温州一模）方程组的解为 　 　 ． 4．（2025•台州一模）解二元一次方程组：． 5．（2025•富阳区一模）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心，现有如表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 4 3 价格（元） 500 400 （1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ （2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600，元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 【热点3一元二次方程】 1．（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 2．（2025•滨江区一模）如图，小区物业规划在一个长60米、宽22米的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场．其中，阴影部分为停车位所在区域，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米．若阴影部分的总面积是600平方米，则可列方程（　　） A．x2﹣41x+225＝0 B．x2﹣41x+30＝0 C．x2﹣41x+180＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 3．（2025•浙江模拟）在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 4．（2025•宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2 5．（2025•浙江模拟）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4 6．（2025•宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　 　 ． 7．（2025•新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0． （1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值． 8．解方程： （1）（2025•滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2025•钱塘区二模）x2﹣2x﹣3＝0． （3）（2025•鄞州区校级模拟）解方程：x2﹣4x﹣4＝0； 【热点4分式方程】 1．（2025•杭州模拟）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•临安区一模）若，则x＝　 　 ． 3．（2025•嘉兴模拟）解方程：+＝2． 4．（2025•杭州一模）以下是小明解分式方程的解答过程： 解：3x﹣1＝3，…① 3x＝4，…② ∴．…③ 经检验是方程的解． 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 5．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【热点5不等式（组）】 1．（2025•西湖区一模）已知a，b，c是实数，若a＞b，c＜0，则（　　） A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＜b 2．（2025•浙江模拟）若m＞n，则下列判断正确的是（　　） A．m﹣1＜n B．﹣m+1＜﹣n C．m2＞n2 D．m3＞n3 3．（2025•衢州一模）不等式3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥3 D．x≤3 4．（2025•定海区模拟）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•浙江模拟）已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0 6．（2025•拱墅区模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•嘉善县一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 8．（2025•拱墅区一模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 9．（2025•上城区一模）用数轴解不等式组． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 方程（组）与不等式（组） 【热点1一元一次方程】 1．（2025•浙江模拟）x＝3是下列哪个方程的解（　　） A．5x﹣2＝4x+1 B．5x﹣2＝4x﹣1 C．5x+2＝4x﹣1 D．5x+2＝﹣4x﹣1 【思路点拨】把x＝3分别代入各个选项中的方程左右两边进行计算，然后根据左边＝右边是方程的解，左边≠右边不是方程的解，进行判断即可． 【解析】解：A．把x＝3代入5x﹣2＝4x+1，左边＝13，右边＝13，∵左边＝右边，∴x＝3是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项符合题意； B．把x＝3代入5x﹣2＝4x﹣1，左边＝13，右边＝11，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意； C．把x＝3代入5x+2＝4x﹣1，左边＝17，右边＝11，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x+2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意； D．把x＝3代入5x+2＝﹣4x﹣1，左边＝17，右边＝﹣13，∵左边≠右边，∴x＝3不是5x﹣2＝4x﹣1的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 2．（2025•衢州一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（　　） A．8x﹣3＝7x﹣4 B．8x+3＝7x﹣4 C．8x﹣3＝7x+4 D．8x+3＝7x+4 【思路点拨】利用“人出八，盈三；人出七，不足四”，结合物品的价格不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意，可得方程为8x﹣3＝7x+4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 3．（2025•上城区一模）某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个，下列四个方程： ①2m+10＝3m﹣30；②2m﹣10＝3m+30；③；④． 其中符合题意的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【思路点拨】首先要理解清楚题意，知道总的枇杷数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案． 【解析】解：根据总人数列方程，应是2m+10＝3m﹣30， 根据枇杷数列方程，应该为． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程． 4．（2025•浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得2﹣（x﹣1）＝2（x+1）． 去括号，得2﹣x+1＝2x+2． 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣1． 两边同除以﹣3，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【思路点拨】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解析】解：小畅的解答过程有错误，正确的解答过程如下： 去分母，得2﹣（x﹣1）＝4（x+1）， 去括号，得2﹣x+1＝4x+4， 移项、合并同类项，得﹣5x＝1， 将系数化为1，得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【热点2二元一次方程组】 1．（2025•绍兴一模）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有x钱，乙原有y钱，则（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：∵若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱， ∴x+＝50； ∵若乙得到甲钱的三分之二，则乙有50钱， ∴x+y＝50． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2025•衢州一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　5　 ． 【思路点拨】根据方程组的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程组中，即可求出b的值． 【解析】解：把代入关于x，y的二元一次方程组中，得， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 3．（2025•温州一模）方程组的解为 　　 ． 【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可． 【解析】解：， ②﹣①得：3y＝2， 解得：y＝， 将y＝代入①得：x﹣＝2， 解得：x＝， 故原方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 4．（2025•台州一模）解二元一次方程组：． 【思路点拨】直接利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解析】解：， ①+②，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝﹣1， 所以方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 5．（2025•富阳区一模）某快递公司需将一批总重为25吨的物品从仓库运往配送中心，现有如表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 4 3 价格（元） 500 400 （1）若公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ （2）若快递公司派出甲型、乙型货车共7辆，其中甲型货车不少于2辆，要求预算运输费用不超过3600，元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 【思路点拨】（1）设甲种货车派出x辆，乙种货车派出y辆，根据“公司一次性派出两种货车共8辆，恰好运完25吨物品”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设派出m辆甲种货车，则派出（7﹣m）辆乙种货车，根据“甲种货车不少于2辆，乙种货车非负，总运载量不少于25吨，且运输费用不超过3600元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各派出方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设甲种货车派出x辆，乙种货车派出y辆， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种货车派出1辆，乙种货车派出7辆； （2）设派出m辆甲种货车，则派出（7﹣m）辆乙种货车， 根据题意得：， 解得：4≤m≤7， 又∵m为正整数， ∴m可以为4，5，6，7， ∴共有4种派车方案， 方案1：派出4辆甲种货车，3辆乙种货车，总费用为500×4+400×3＝3200（元）； 方案2：派出5辆甲种货车，2辆乙种货车，总费用为500×5+400×2＝3300（元）； 方案3：派出6辆甲种货车，1辆乙种货车，总费用为500×6+400×1＝3400（元）； 方案4：派出7辆甲种货车，总费用为500×7＝3500（元）． ∵3200＜3300＜3400＜3500， ∴当派出4辆甲种货车，3辆乙种货车时，总费用最低，最低费用是3200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【热点3一元二次方程】 1．（2025•富阳区一模）已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【思路点拨】把m的值代入一元二次方程，得2m2﹣m的值，再整体代入得结论． 【解析】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根， ∴2m2﹣m﹣3＝0，即2m2﹣m＝3． ∴﹣2m2+m＝﹣3． ∴2024﹣2m2+m＝2024﹣3＝2021． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入的思想方法和方程解的定义是解决本题的关键． 2．（2025•滨江区一模）如图，小区物业规划在一个长60米、宽22米的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场．其中，阴影部分为停车位所在区域，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米．若阴影部分的总面积是600平方米，则可列方程（　　） A．x2﹣41x+225＝0 B．x2﹣41x+30＝0 C．x2﹣41x+180＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 【思路点拨】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（22﹣2x）米的矩形，结合阴影部分的总面积是600平方米，可列出关于x的一元二次方程，整理后，即可得出结论． 【解析】解：∵矩形场地ABCD的长为60米，宽为22米，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米， ∴阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（22﹣2x）米的矩形． 根据题意得：（60﹣2x）（22﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣41x+180＝0． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2025•浙江模拟）在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【思路点拨】利用配方法得a2﹣4a+7＝a2﹣4a+4+3＝（a﹣2）2+3≥3，逐个判断选项即可． 【解析】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3， ∴选项D不可能， 故选：D． 【点睛】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 4．（2025•宁波一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2 【思路点拨】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0， 解得k＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．（2025•浙江模拟）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣4 B．k≥﹣4 C．k＞4 D．k≤4 【思路点拨】根据根的判别式列不等式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：Δ＝16+4k≥0， ∴k≥﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确的理解题意是解题的关键． 6．（2025•宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　2　 ． 【思路点拨】由方程有实数根，得Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0，解得，这样就很快得到满足条件的c的非负整数值． 【解析】解：由题意得，Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 7．（2025•新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0． （1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值． 【思路点拨】（1）根据Δ＞0求得m的取值范围，再进一步在范围之内确定m的一个整数值； （2）根据根与系数的关系，对α2+β2+αβ进行变形求解． 【解析】解：（1）根据题意，得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5． ∴只要是m＜5的整数即可． 如：令m＝1． （2）当m＝1时，则得方程x2+4x＝0， ∵α，β是方程x2+4x＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣4，αβ＝0， ∴α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝（﹣4）2﹣0＝16． 【点睛】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ＜0⇔方程没有实数根． （2）一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于． 8．解方程： （1）（2025•滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2025•钱塘区二模）x2﹣2x﹣3＝0． （3）（2025•鄞州区校级模拟）解方程：x2﹣4x﹣4＝0； 【思路点拨】（1）先利用配方法得到（x+1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可； 【解析】解：（1）x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝2， （x+1）2＝2， x+1＝±， 所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． （1）x2﹣4x﹣4＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝﹣4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32， ∴， 即，； 【点睛】本题考查了解一元二次方程解法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【热点4分式方程】 1．（2025•杭州模拟）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式． 【解析】解：设原计划每天植树x万棵，可列方程是： ﹣＝5． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 2．（2025•临安区一模）若，则x＝　﹣2　 ． 【思路点拨】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解析】解：， 方程两边同时乘（x+1），得x＝2（x+1）， 去括号，得x＝2x+2， 解得：x＝﹣2， 把x＝﹣2代入x+1≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 3．（2025•嘉兴模拟）解方程：+＝2． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：x﹣3﹣1＝2x﹣4， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 4．（2025•杭州一模）以下是小明解分式方程的解答过程： 解：3x﹣1＝3，…① 3x＝4，…② ∴．…③ 经检验是方程的解． 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 【思路点拨】根据解分式方程的方法进行解答即可． 【解析】解：根据解分式方程的方法，发现小明的解答过程不对，从第①步开始出错． 正确的解答过程如下： ， 方程两边同时乘（x﹣1），得3x﹣（x﹣1）＝3， 去括号，得3x﹣x+1＝3， 移项、合并同类项，得2x＝2， 解得：x＝1， 把x＝1代入x﹣1＝0， ∴x＝1是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 5．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【思路点拨】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解析】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【热点5不等式（组）】 1．（2025•西湖区一模）已知a，b，c是实数，若a＞b，c＜0，则（　　） A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＜b 【思路点拨】根据不等式的性质解答即可． 【解析】解：∵a＞b，c＜0， ∴a+c＞b+c，ac＜bc，ac2＞bc2，a﹣c＞b． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键． 2．（2025•浙江模拟）若m＞n，则下列判断正确的是（　　） A．m﹣1＜n B．﹣m+1＜﹣n C．m2＞n2 D．m3＞n3 【思路点拨】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解析】解：A．若m＞n，则m﹣1＞n﹣1，故选项A错误； B．若m＞n，则﹣m＜﹣n，﹣m+1＜﹣n+1，故选项B错误； C．若m为负数，n为负数，m2不一定大于n2，故选项C错误； D．当m＞n＞0时，例如：3＞2，则33＝27，23＝8，27＞8，所以m3＞n3； 当m＞n，且均为负数时，例如：﹣1＞﹣2，则（﹣1）3＝﹣1，（﹣2）3＝﹣8，﹣1＞﹣8，所以m3＞n3；当m＞n，且一正一负时，例如：1＞﹣2，则13＝1，（﹣2）3＝﹣8，1＞﹣8，所以m3＞n3， 综上所述，若m＞n，则m3＞n3，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 3．（2025•衢州一模）不等式3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥3 D．x≤3 【思路点拨】根据解一元一次不等式的步骤即可解决问题． 【解析】解：3（x﹣1）≥6， x﹣1≥2， x≥3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4．（2025•定海区模拟）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得． 【解析】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x， 移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3， 合并同类项，得：x＞﹣1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5．（2025•浙江模拟）已知关于x的不等式的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣3，﹣2 B．﹣3，﹣2，﹣1 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0 【思路点拨】先解不等式得，由所有解都小于3，得，求解并结合a是整数，但不是正数，即可得． 【解析】解：解不等式得：， ∵所有解都小于3， ∴， ∴a≥﹣3， ∵a是整数，但不是正数， ∴﹣3≤a≤0，且a是整数， ∴满足条件的a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，和一元一次不等式的解，熟练根据题意将“所有解都小于3”转化为不等式是解题的关键． 6．（2025•拱墅区模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】解： 解不等式x﹣2＞0得：x＞2， 解不等式2x﹣6≥0得：x≥3， 在数轴上表示如图： ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2025•嘉善县一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 【思路点拨】解第二个不等式求得其解集，再根据原不等式组无解确定m的取值范围即可． 【解析】解：解第二个不等式得：x＜1， ∵原不等式组无解， ∴m≥1， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 8．（2025•拱墅区一模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：， 3x+1≥﹣2， 3x≥﹣2﹣1， 3x≥﹣3， x≥﹣1， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 9．（2025•上城区一模）用数轴解不等式组． 【思路点拨】首先解每个不等式，然后利用数轴确定解集的公共部分即可． 【解析】解：， 解①得：x＞﹣1， 解②得：x≤2， 在数轴说表示为： 则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$