专题2 整式、分式、二次根式与因式分解—备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题2 整式、分式、二次根式与因式分解 【热点1整式及其运算】 1．（2025•萧山区一模）已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2．（2025•湖州一模）下列计算正确的是（　　） A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab 3．（2025•金华模拟）下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a3•（﹣a）2＝a5 4．（2025•龙泉市一模）下列运算正确的是（　　） A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5 5．（2025•临安区一模）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a2＝a4 B．（﹣a4）3＝﹣a7 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4 6．（2025•衢江区一模）下列式子的运算结果为x6的是（　　） A．x3+x3 B．x2•x3 C．x12÷x2 D．（x2）3 7．（2025•衢州一模）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2 C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 8．（2025•定海区一模）下列运算正确的是（　　） A．2a2+4a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 9．（2025•拱墅区一模）化简：x+2x﹣5x＝ 　 　 ． 10．（2025•萧山区一模）计算：（m2）3•m＝ 　 　 ． 11．（2025•浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝　 　 ． 12．（2025•浙江模拟）已知（a﹣b）2＝1，（a+b）2＝25，则ab的值为　 　 ． 13．（2025•金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中． 14．（2025•衢州一模）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝． 15．（2025•浙江模拟）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【热点2因式分解】 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．（2025•杭州一模）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2 3．（2025•衢州一模）因式分解：＝（　　） A． B． C． D． 4．（2025•温州一模）分解因式：a2﹣8a＝　 　 ． 5．（2025•龙湾区二模）分解因式：x2+2x+1＝　 　 ． 【热点3分式及其运算】 1．（2025•拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 2．（2025•浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•衢州一模）计算：＝（　　） A． B．3a C． D．3 4．（2025•绍兴一模）当x＝2，y＝1时，代数式的值是（　　） A． B．0 C． D． 5．（2025•杭州模拟）先化简，再求值：，其中a＝1． 6．（2025•金华模拟）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式＝① ＝2a﹣1（a+2）……② ＝a﹣2⋯⋯③ 当a＝﹣1时，原式＝﹣3 7．（2025•黄岩区二模）先化简，再求值：，其中a＝3． 8．（2025•金华模拟）已知x2﹣3x﹣6＝0，求代数式的值． 【热点4二次根式及其运算】 1．（2025•拱墅区一模）下列等式变形正确的是（　　） A．若ax＝a，则x＝1 B．若，则x＝a C．若x4＝a4，则x＝a D．若，则x＝a 2．（2025•台州一模）若，ab＝12，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•西湖区一模）计算：（﹣2）2＝　 　 ；＝　 　 ． 4．（2025•绍兴一模）请写出一个大于2且小于3的二次根式：　 　 ． 5．（2025•萧山区一模）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 整式、分式、二次根式与因式分解 【热点1整式及其运算】 1．（2025•萧山区一模）已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【思路点拨】将代数式的前两项提取公因式并将2x+1＝﹣2代入，得到﹣（2x+1）并再次将2x+1＝﹣2代入求值即可． 【解析】解：∵2x+1＝﹣2， ∴2x2+x﹣1 ＝x（2x+1）﹣1 ＝﹣2x﹣1 ＝﹣（2x+1） ＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 2．（2025•湖州一模）下列计算正确的是（　　） A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab 【思路点拨】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解析】解：A、3a+2a＝5a≠5a2，故A错误； B、3a2﹣2a≠a，故B错误； C、3a+2b≠5ab，故C错误； D、3ab﹣ba＝2ab，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 3．（2025•金华模拟）下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a3•a2＝a6 C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a3•（﹣a）2＝a5 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解析】解：A、a2+a2＝2a2，故该项不正确，不符合题意； B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意； C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故该项不正确，不符合题意； D、a3•（﹣a）2＝a5，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025•龙泉市一模）下列运算正确的是（　　） A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5 【思路点拨】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则对每个选项进行逐一判断即可． 【解析】解：∵m2与m3不是同类项，不能合并， ∴A选项的运算不正确，不符合题意； ∵m6÷m2＝m4， ∴B选项的运算不正确，不符合题意； ∵（2m3）2＝4m6， ∴C选项的运算不正确，不符合题意； ∵m2•m3＝m5， ∴D选项的运算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则的应用，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 5．（2025•临安区一模）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a2＝a4 B．（﹣a4）3＝﹣a7 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4 【思路点拨】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式进行解题即可． 【解析】解：A、a8÷a2＝a6，故该项不正确，不符合题意； B、（﹣a4）3＝﹣a12，故该项不正确，不符合题意； C、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，故该项正确，符合题意； D、（a+2）2＝a2+4a+4，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 6．（2025•衢江区一模）下列式子的运算结果为x6的是（　　） A．x3+x3 B．x2•x3 C．x12÷x2 D．（x2）3 【思路点拨】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算法则． 【解析】解：x3+x3＝2x3，故A选项不符合题意； x2•x3＝x5，故B选项不符合题意； x12÷x2＝x10，故C选项不符合题意； （x2）3＝x6，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是根据运算法则来计算． 7．（2025•衢州一模）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣3a）2＝﹣9a2 C．（﹣a）6÷a3＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【思路点拨】利用合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可． 【解析】解：∵a2•a3＝a5， ∴A选项的运算不正确，不符合题意； ∵（﹣3a）2＝9a2， ∴BA选项的运算不正确，不符合题意； ∵（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3， ∴CA选项的运算正确，符合题意； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴DA选项的运算不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的除法法则的应用，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键． 8．（2025•定海区一模）下列运算正确的是（　　） A．2a2+4a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 【思路点拨】利用平方差公式，合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐项判断即可． 【解析】解：2a2+4a2＝6a2，则A不符合题意， a8÷a4＝a4，则B不符合题意， （﹣3a3）2＝9a6，则C不符合题意， （3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，则D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2025•拱墅区一模）化简：x+2x﹣5x＝ 　﹣2x　 ． 【思路点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解析】解：x+2x﹣5x＝（1+2﹣5）x＝﹣2x． 故答案为：﹣2x． 【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2025•萧山区一模）计算：（m2）3•m＝ 　m7　 ． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可． 【解析】解：原式＝m6•m＝m7． 故答案为：m7． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2025•浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝　13　 ． 【思路点拨】先将m+n＝5，m﹣n＝﹣1变形为（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，化简后两式相加即可求解． 【解析】解：由条件可知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1， 即m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝1②， 两式相加得2m2+2n2＝26， ∴m2+n2＝13， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式内容是解题的关键． 12．（2025•浙江模拟）已知（a﹣b）2＝1，（a+b）2＝25，则ab的值为　6　 ． 【思路点拨】根据完全平方公式，把已知条件展开，两式相减即可求出ab的值． 【解析】解：∵（a﹣b）2＝1， ∴a2﹣2ab+b2＝1①， ∵（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25②， ②﹣①，得4ab＝24， 解得：ab＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 13．（2025•金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中． 【思路点拨】根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解析】解：原式＝4x2﹣9﹣（4x2﹣24x） ＝4x2﹣9﹣4x2+24x ＝24x﹣9， 当x＝时，原式＝24×﹣9＝﹣3． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 14．（2025•衢州一模）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝． 【思路点拨】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m、n的值代入化简后的式子计算即可． 【解析】解：（m+2n）2﹣4n（m﹣n） ＝m2+4mn+4n2﹣4mn+4n2 ＝m2+8n2， 当时，原式＝＝3． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．（2025•浙江模拟）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式　　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【思路点拨】（1）观察给出的三个等式，可以发现以下规律：第n个等式的左边为，右边为，分数的分子比分母大1，且右边的整数等于分子．验证等式两边的计算结果相等：左边：；右边：；因此左边等于右边． （2）第n个不等式的一般形式为． 【解析】（1）解：； （2）证明：， ＝ ＝ ＝， 所以右＝左，即等式成立． 【点睛】本题考查了规律题，数字的变化，推理能力和运算能力，正确找出规律是解题的关键． 【热点2因式分解】 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 【思路点拨】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【解析】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误； D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2．（2025•杭州一模）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2 【思路点拨】将A、B、C、D分别因式分解，符合a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）形式的即可用平方差公式进行因式分解． 【解析】解：A、x2﹣xy＝x（x﹣y），不符合平方差公式，故本选项错误； B、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），符合平方差公式，故本选项正确； C、x2+xy＝x（x+y），不符合平方差公式，故本选项错误； D、x2+y2不符合平方差公式，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是明白平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）． 3．（2025•衢州一模）因式分解：＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，利用平方差公式进行因式分解即可． 【解析】解： ＝ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解﹣公式法，掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 4．（2025•温州一模）分解因式：a2﹣8a＝　a（a﹣8）　 ． 【思路点拨】提取公因式a即可得解． 【解析】解：a2﹣8a＝a（a﹣8）． 故答案为：a（a﹣8）． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定出公因式为a是解题的关键． 5．（2025•龙湾区二模）分解因式：x2+2x+1＝　（x+1）2　 ． 【思路点拨】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解． 【解析】解：x2+2x+1＝（x+1）2． 故答案为：（x+1）2． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键． （1）三项式； （2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式； （3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）． 【热点3分式及其运算】 1．（2025•拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】根据分式的值为零的条件，可得x﹣1＝0，由此解答即可． 【解析】解：∵分式， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解析】解：当a＝0时，，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当c≠0时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（2025•衢州一模）计算：＝（　　） A． B．3a C． D．3 【思路点拨】根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减进行计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则． 4．（2025•绍兴一模）当x＝2，y＝1时，代数式的值是（　　） A． B．0 C． D． 【思路点拨】先通分，再计算分式的减法得到最简结果，之后将x、y代入计算即可求得答案． 【解析】解：原式＝﹣ ＝， 当x＝2，y＝1时， 原式＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键． 5．（2025•杭州模拟）先化简，再求值：，其中a＝1． 【思路点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝1代入进行计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， 当a＝1时， 原式＝． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 6．（2025•金华模拟）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式＝① ＝2a﹣1（a+2）……② ＝a﹣2⋯⋯③ 当a＝﹣1时，原式＝﹣3 【思路点拨】根据目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等，然后根据分式化简求值的方法，写出正确的解答过程即可． 【解析】解：由题目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等， 正确解答过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝， 当a＝﹣1时，原式＝＝1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（2025•黄岩区二模）先化简，再求值：，其中a＝3． 【思路点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝3代入进行计算即可． 【解析】解： ＝• ＝， 当a＝3时，原式＝． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 8．（2025•金华模拟）已知x2﹣3x﹣6＝0，求代数式的值． 【思路点拨】先根据已知条件，求出x2﹣3x的值，然后把所求分式进行化简，最后把x2﹣3x的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解析】解：∵x2﹣3x﹣6＝0， ∴x2﹣3x＝6， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 【热点4二次根式及其运算】 1．（2025•拱墅区一模）下列等式变形正确的是（　　） A．若ax＝a，则x＝1 B．若，则x＝a C．若x4＝a4，则x＝a D．若，则x＝a 【思路点拨】根据等式的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件以及偶次方、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解析】解：A．若ax＝a，当a≠0时，x＝1，当a＝0时，x为任意数，因此选项A不符合题意； B．若＝1，而a≠0，所以x＝a，因此选项B符合题意； C．若x4＝a4，则x＝±a，因此选项C不符合题意； D．若＝a，则x＝±a，而a≥0，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式的性质与化简，掌握等式的性质，分式方程的解法以及分式有意义的条件是正确解答的关键． 2．（2025•台州一模）若，ab＝12，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先根据已知条件和完全平方公式求出a2+b2，再求出（a﹣b）2，最后根据平方根的定义进行解答即可． 【解析】解：∵，ab＝12， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝ ＝75﹣24 ＝51， ∴（a﹣b）2 ＝a2+b2﹣2ab ＝51﹣2×12 ＝51﹣24 ＝27， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和平方根，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方根定义． 3．（2025•西湖区一模）计算：（﹣2）2＝　4　 ；＝　　 ． 【思路点拨】根据有理数的乘方，二次根式的加减法运算法则计算即可． 【解析】解：（﹣2）2＝4， ＝＝， 故答案为：4；． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025•绍兴一模）请写出一个大于2且小于3的二次根式：　（答案不唯一）　 ． 【思路点拨】根据完全平方数，即可解答． 【解析】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴写出一个大于2且小于3的无理数是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，实数大小比较，无理数，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 5．（2025•萧山区一模）计算：． 【思路点拨】先进行乘方运算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后进行乘法运算，最后进行有理数的减法运算． 【解析】解：原式＝﹣×（﹣8）﹣ ＝5﹣4 ＝1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$