精品解析：内蒙古自治区赤峰市多校联考2025届高三下学期5·20模拟考试数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【详解】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C 2. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得，再由离心率公式求出，最后根据焦距的定义求解. 【详解】由题意，,，得，故该双曲线的焦距为. 故选：D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，利用余弦定理得到，再结合判断. 【详解】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A 4. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 250 D. 1250 【答案】A 【解析】 【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：. 5. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积. 【详解】设函数，则，则， 所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为. 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选 ：A 6. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 7. 在体积为9的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到分别是上靠近的三等分点，所以，结合三棱柱和的高相等，得到，即可求解. 【详解】如图所示，因为，， 可得分别是上靠近的三等分点，所以， 又因为三棱柱和三棱锥的高相等，且， 所以，可得. 故选：C. 8. 出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 点的坐标为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程计算焦点判断C，根据等差数列定义计算判断B，C，再根据等差数列求和公式计算判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，C选项错误； 因为是等差数列设公差为，且，，则，所以，A选项正确； ，，所以数列是等差数列，B选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 10. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 在上的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，对于A，由即可判断；对于B，由周期公式即可判断；对于C，判断是否成立即可；对于D，通过说明时，即可判断. 【详解】， 由题意， 对于A，不是偶函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由， 即时，，故D错误. 故选：BC. 11. 定义.对于集合中的任意两个元素、.定义，.若，则称具有对称性.下列判断正确的是（ ） A. B. 若，则不具有对称性 C. 对于任意、、且，恒成立 D. 集合中不存在三个互不相等的元素、、，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题中定义可判断A选项；推导出，结合题中定义可判断B选项；利用题中定义可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，，故，A对； 对于B选项，因为， 所以，即具有对称性，B错； 对于C选项，当、、且， ， 同理可得，， 所以， 且，同理可得，， 所以，C对； 对于D选项，设、、为集合中三个互补相等的元素，不妨假设， 因为，，，所以， 当时，，，， 则，，则， 当时，，同理可得，， 所以， 综上所述，集合中不存在三个互不相等的元素、、，使得，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的实部为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数乘法化简复数，再由题意列式得，即可求解的最大值. 【详解】， 因为的实部为，所以，故的最大值为. 故答案为： 13. 若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求出半径，再结合正方体内切球可求出边长，从而可得正方体的体积. 【详解】一个正方体内切球的表面积为，假设内切球半径为， 则，所以可得正方体的边长为， 即正方体的体积为， 故答案为：. 14. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把数据排序，再分删除的数不同分别求出中位数即可. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3， 若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3， 若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）证明：为定值. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为 依题意可得的公比为，的公比为， 所以，， 则，故为定值. （2） 【解析】 【分析】（1）先求公比，进而得通项公式，计算即可得证； （2）由，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 故 . 16. 甲、乙、丙三人各自计划去呼和浩特市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达呼和浩特市，他们在哪一天到达呼和浩特市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达呼和浩特市的概率如下表所示（，，）： 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 （1）若甲、乙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，乙、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，甲、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为.比较，，的大小； （2）设甲、乙、丙三人中在5月14日当天到达呼和浩特市的人数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 0.144 0.468 0.332 0.056 1.3 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算、、并比较大小； （2）确定离散型随机变量的所有可能取值，通过相互独立事件的概率乘法公式计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的定义计算. 【小问1详解】 根据全概率公式可得， ， ， . 因为，所以，故. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 0.144 0.468 0.332 0.056 故. 17. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，． （1）求该五棱柱的体积． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）10 （2） 在直五棱柱中，底面， 因为底面，则， 因为，所以， 因为且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱体积计算公式计算即可； （2）根据面面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，运用空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 因为为等腰直角三角形，，所以，且， 因为四边形为正方形，所以 在直五棱柱中，底面， 所以该五棱柱的体积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的法向量为，则， 即 ，取，则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间. （2）已知集合，且.若不等式对恒成立，证明：. （3）证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）证明：若不等式对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立. 设，则. 因为，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故，即. （3）证明：要证， 只需证， 即证. 由（1）知在上单调递增，且当时，，， 所以只需证. 设，则，为增函数， 所以，则得证， 从而得证. 【解析】 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）分离参数，然后构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可证明； （3）根据题意，将不等式变形，构造函数，然后求导结合其单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，，则. 当时，，当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的右焦点为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为，过点作直线的垂线，垂足为，试问是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明： 设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得:, 整理得：， 又设 则有， 再由两点式可得直线方程：， 令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点； （ii）不存在，理由如下： 设直线方程为与椭圆联立方程组消去得:, 整理得：， 由，解得， 又设 则有， 根据，可设直线方程为， 与直线联立方程组消去得:， 再由 因为，所以， 故是不存在最小值. 【解析】 【分析】（1）利用方程组即可求解椭圆方程； （2）（i）利用直线与椭圆联立方程，先利用对称性猜想定点在轴上，然后计算动直线与轴的交点横坐标，通过韦达定理代入求解即可； （ii）把的长度问题利用弦长公式转化为直线的斜率和这三点的横坐标问题，然后借用韦达定理来代入化简，可求出取值范围，并作出判断. 【小问1详解】 由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）不存在最小值，理由略》 【点睛】关键点点睛：把的长度问题利用弦长公式转化为直线的斜率和这三点的横坐标问题，即，然后通过消元化为，再利用韦达定理化为，最后通过判别式得到的可求出取值范围，从而作出判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 4. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 250 D. 1250 5. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在体积为9的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 点的坐标为 D. 10. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 在上的最大值为2 11. 定义.对于集合中的任意两个元素、.定义，.若，则称具有对称性.下列判断正确的是（ ） A. B. 若，则不具有对称性 C. 对于任意、、且，恒成立 D. 集合中不存在三个互不相等的元素、、，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的实部为，则的最大值为______. 13. 若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为_____. 14. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）证明：为定值. （2）求数列的前项和. 16. 甲、乙、丙三人各自计划去呼和浩特市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达呼和浩特市，他们在哪一天到达呼和浩特市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达呼和浩特市的概率如下表所示（，，）： 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 （1）若甲、乙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，乙、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，甲、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为.比较，，的大小； （2）设甲、乙、丙三人中在5月14日当天到达呼和浩特市的人数为X，求X的分布列与期望. 17. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，． （1）求该五棱柱的体积． （2）证明：平面平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间. （2）已知集合，且.若不等式对恒成立，证明：. （3）证明：. 19. 已知椭圆的右焦点为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为，过点作直线的垂线，垂足为，试问是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $