第02讲 子集、全集、补集（7知识点+9大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第02讲 子集、全集、补集 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：子集的定义 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素（若，则）,那么称集合A为集合B的子集， 记作.读作“集合A包含于集合B”(或“集合B包含集合A”). 根据子集的定义,我们知道.也就是说,任何一个集合是它本身的子集. 知识点2：真子集的定义 如果,并且,那么集合称为集合的真子集,记为AB或BA，读作真包含于或真包含,如. 知识点3：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为，规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 知识点4：集合相等 如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集, 此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 知识点5：集合中元素个数与子集，真子集的关系 集合中元素个数 子集个数 真子集个数 1 2 3 4 知识点6：全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 例如,在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U 知识点7：补集 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集, 记作 可用Venn图表示 【题型1 求子集、真子集】 例1．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【变式1-2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求子集、真子集的个数】 例2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【变式2-1】（24-25高一上·天津宁河·期中）若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【变式2-2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式2-3】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【题型3 判断包含关系】 例3．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据包含关系求参数（基础）】 例4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式4-3】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据包含关系求参数（提升）】 例5．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式5-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【变式5-3】已知集合，，若，求实数的取值范围. 【变式5-4】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型6 集合相等】 例6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【变式6-2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-3】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【题型7 空集的概念判断及性质应用】 例7．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【题型8 全集与补集】 例8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【题型9 新定义综合】 例9．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【变式9-3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 二、多选题 6．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 7．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 9．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，若集合A同时满足下列三个条件：（1）；（2）若，则；（3）若，则.则集合 . 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 四、解答题 14．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得MPN，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：子集的定义 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素（若，则）,那么称集合A为集合B的子集， 记作.读作“集合A包含于集合B”(或“集合B包含集合A”). 根据子集的定义,我们知道.也就是说,任何一个集合是它本身的子集. 知识点2：真子集的定义 如果,并且,那么集合称为集合的真子集,记为AB或BA，读作真包含于或真包含,如. 知识点3：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为，规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 知识点4：集合相等 如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集, 此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 知识点5：集合中元素个数与子集，真子集的关系 集合中元素个数 子集个数 真子集个数 1 2 3 4 知识点6：全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 例如,在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U 知识点7：补集 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集, 记作 可用Venn图表示 【题型1 求子集、真子集】 例1．（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【分析】（1）根据子集的定义即可求解， （2）先用列举法求解集合，即可由子集定义求解. 【详解】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 【变式1-2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 【题型2 求子集、真子集的个数】 例2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·天津宁河·期中）若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【答案】B 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】D 【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可. 【详解】因为， 所以， 故集合可以为， 共个. 故选：D. 【题型3 判断包含关系】 例3．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 【变式3-1】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常用数集的特征易于判断它们之间的包含关系. 【详解】对于A，取，但故A错误； 对于B，取，但，故B错误； 对于C，任取一个自然数，则它必是有理数，故，故C正确； 对于D，取,但，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可. 【详解】由题意可得：， 所以，，，，即不是集合M的子集， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的表达式，可求出集合是的奇数倍，是的整数倍，即可得出的关系. 【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍； 由可知，集合表示的是的整数倍； 即可知是的真子集，即. 故选：B 【题型4 根据包含关系求参数（基础）】 例4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得或或，列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以或或， 若，则方程的解集为空集，故， 若，则方程有且仅有解，故， 若，则方程有且仅有解，故， 故的所有可能取值组成的集合为. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D 【变式4-3】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 【题型5 根据包含关系求参数（提升）】 例5．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 【变式5-1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 【变式5-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【变式5-3】已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题. 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 【变式5-4】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 【题型6 集合相等】 例6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【分析】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【题型7 空集的概念判断及性质应用】 例7．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知集合，结合元素与集合、集合与集合关系判断各项正误. 【详解】由题设、、，只有C正确. 故选：C 【变式7-2】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】从元素与集合的关系、集合与集合的关系两方面来看即可求解. 【详解】从元素与集合的关系来看：成立，不成立， 从而集合与集合的关系来看：成立，但不成立. 故选：AB. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【题型8 全集与补集】 例8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 【变式8-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集及补集定义计算判断各个选项. 【详解】因为或，所以A，B错误，D正确； 又，故C错误. 故选：D. 【变式8-4】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 【题型9 新定义综合】 例9．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 【变式9-1】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【答案】32 【分析】根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解． 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【答案】(1)为封闭集，不是封闭集，理由见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 【变式9-3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【详解】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 4．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【分析】根据题意求出集合A即可. 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 7．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合韦恩图，由子集，补集的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图可知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误； 故选：AC 9．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，若集合A同时满足下列三个条件：（1）；（2）若，则；（3）若，则.则集合 . 【答案】或或或 【分析】根据集合间关系和集合和补集定义，分类讨论得出结果。 【详解】因为集合，由（1）；（2）若，则；（3）若，则， 当时，则有，即，则，即，但元素3与集合A的关系不确定，故或； 当时，有，但元素3与集合A的关系不确定，故或. 综上所述，集合或或或. 故答案为：或或或 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据补集运算得到，利用数轴法表示集合间的包含关系，可直接得出结果. 【详解】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 四、解答题 14．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 15．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得MPN，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合MPN逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）当时， ， ． 又因为MPN，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出，注意分析时分类讨论，(2)找到的取值范围，然后取补集. 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 20．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$