第01讲 集合的概念与表示（7知识点+7大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第01讲 集合的概念与表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：元素与集合的定义与表示 1. 定义 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。 2. 集合与元素的表示 集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示 知识点2：元素与集合的关系 元素与集合的关系 记法 读法 是集合的元素 属于集合 不是集合的元素 不属于集合 知识点3：常用数集及其记法 数集 记法 非负整数集（自然数集） 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 知识点4：集合中元素的性质 （1） 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的； 也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。 （2） 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的； 也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。 （3） 无序性 组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 知识点5：集合的表示方法 （1） 列举法 我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为 把“方程的所有实数根”组成的集合表示为. 像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. （2） 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。 数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。 （3） Venn 图 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 Venn图。 知识点6：有限集与无限集 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 知识点7：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 【题型1 判断能否构成集合】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【变式1-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 【变式1-3】（23-24高一·江苏·假期作业）（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 【题型2 常用数集符号之元素与集合关系】 例2．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 用列举法或描述法表示集合】 例3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式3-1】（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【题型4 集合中元素的特性】 例4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【变式4-1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【变式4-2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【变式4-3】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【题型5 空集】 例5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式5-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 【变式5-3】（20-21高一·全国·课后作业）集合 ． 【题型6 判断元素与集合的关系（提升）】 例6．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·江西·阶段练习）（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 有限集与无限集】 例7．以下集合为有限集的是（    ） A．由大于10的所有自然数组成的集合 B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合 C．由24与30的所有公约数组成的集合 D．由24与30的所有公倍数组成的集合 【变式7-1】下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 二、多选题 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 三、填空题 11．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 12．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 14．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念与表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：元素与集合的定义与表示 1. 定义 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。 2. 集合与元素的表示 集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示 知识点2：元素与集合的关系 元素与集合的关系 记法 读法 是集合的元素 属于集合 不是集合的元素 不属于集合 知识点3：常用数集及其记法 数集 记法 非负整数集（自然数集） 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 知识点4：集合中元素的性质 （1） 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的； 也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。 （2） 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的； 也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。 （3） 无序性 组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 知识点5：集合的表示方法 （1） 列举法 我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为 把“方程的所有实数根”组成的集合表示为. 像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. （2） 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。 数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。 （3） Venn 图 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 Venn图。 知识点6：有限集与无限集 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 知识点7：空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 【题型1 判断能否构成集合】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）考察下列每组对象，能构成一个集合的是（    ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 【答案】AB 【分析】根据解集的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； 对于B中，方程的两个解是，能构成集合； 对于C中，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； 对于D中，“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合． 故选：AB 【变式1-3】（23-24高一·江苏·假期作业）（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 【答案】BCD 【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案. 【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合； B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合． 故选：BCD 【题型2 常用数集符号之元素与集合关系】 例2．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 【变式2-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 【变式2-2】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 【题型3 用列举法或描述法表示集合】 例3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【变式3-1】（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【详解】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或； (2)； (3)或； (4) 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 【题型4 集合中元素的特性】 例4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【变式4-1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 【变式4-2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 【变式4-3】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 【题型5 空集】 例5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式5-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，方程无解，. 选:D. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课前预习）方程的实数解集为 ． 【答案】 【分析】解出方程后用集合表示即可. 【详解】,则，则方程无实数解.故方程的实数解集为. 故答案为：． 【变式5-3】（20-21高一·全国·课后作业）集合 ． 【答案】 【分析】解集合里面的二元一次方程即可﹒ 【详解】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 故答案为： 【题型6 判断元素与集合的关系（提升）】 例6．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 【变式6-3】（23-24高一上·江西·阶段练习）（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 【题型7 有限集与无限集】 例7．以下集合为有限集的是（    ） A．由大于10的所有自然数组成的集合 B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合 C．由24与30的所有公约数组成的集合 D．由24与30的所有公倍数组成的集合 【答案】C 【分析】分析选项A中元素限制条件判断选项A；分析选项B中元素限制条件判断选项B；列举选项C中的元素个数判断选项C；分析选项D中元素限制条件判断选项D. 【详解】对于A：大于10的所有自然数，有无数个满足条件的自然数，所以选项A不合题意； 对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆， 即满足条件的点是圆上的点，而圆上有无数个点，所以选项B不合题意； 对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．共有4个，所以选项C满足题意； 对于D：设，则m是24与30的公倍数， 所以24与30的公倍数有无数个，选项D不合题意 故选：C． 【变式7-1】下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 【变式7-2】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系一一判定选项即可. 【详解】易知，所以，，故A错误，D正确； ，故B、C错误. 故选：D. 3．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 4．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 5．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 二、多选题 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对象能构成集合的有（    ） A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．与 D．未来世界的高科技产品 【答案】BC 【分析】根据集合的性质逐一分析即可. 【详解】对于A，接近于1的所有正整数标准不明确，故A不能构成集合； 对于B，小于0是一个明确的标准，故B能构成集合； 对于C， 与是两个不同的点，是确定的，故C能构成集合； 对于D，未来世界的高科技产品，不明确，故D不能构成一个集合． 故选：BC. 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 9．（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】解方程组并结合一次函数图象交点组成的集合为点集，即可求得答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是或， 而，不是点集，不合题意； 故选：CD 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 12．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 14．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 15．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据，，利用条件②可依次推出，，； （2）由，可知，再由条件③可知，，再利用条件②可得结论； （3）由并结合（2）中的结论可得，再依次证得，，即可得，再结合条件②和③即可得. 【详解】（1），正确，理由如下： 因为，，由条件②可知， 由，，可得； 由，，可得， 因此，的说法正确； （2）因为，且，又，可得； 结合条件③可知，； 再由条件②可知， 即； （3）由（2）中可得， 又由条件②知， 当或时，易知， 即可得当时，，同理可得； 又当时，，则，则， 则由可知，则， 所以，可得， 因此，所以，故， 即若，则得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分利用三个条件，并结合已有数据对表达式整理变形得出相应结论即可证明. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$