暑假作业06 正余弦定理解三角形（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正余弦定理解三角形 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在中，，则B=（   ） A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（多选）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 7．（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 8．（多选）在中，的对边分别为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则 . 10．东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      11．已知△ABC内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 12．在中，内角、、所对的边分别为、、，若． (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积． 1．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 2．在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 5．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径是，内切圆半径是，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 7．（多选）已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 8．（多选）已知中D在BC上，AD平分下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 9．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 10．中，若，，则的面积的取值范围 . 11．已知的内角所对的边分别为，且满足， (1)求角的值； (2)求的值. 12．如图，在凸四边形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，求四边形ABCD面积的最大值． 1．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 4．如图所示，线段与交于的中点，已知，，且.    (1)求线段的长； (2)若，求线段的长及的面积 5．已知的内角的对边分别是为内一点，且 (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，，求； (3)如图3，若，证明：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正余弦定理解三角形 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 2. 三角形中三个内角的关系 ，＝－ ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在中，，则B=（   ） A．60° B．120° C．60° 或120° D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，即可求得的值，得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得，可得， 又因为，可得，所以或. 故选：C. 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 3．已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】利用边化角，再由两角和的正弦公式即可求解判断. 【详解】由正弦定理边化角得， 在三角形中，只能取，所以的形状是等腰三角形， 故选：A. 4．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 5．符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用两边之和大于第三边判断判断A；根据余弦定理求得可判断C；由正弦定理判断B、D； 【详解】对于A：因为，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误； 对于B：因为，所以，所以无解，故B错误； 对于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2个解，故C正确； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D不正确. 故选：C. 6．（多选）在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A，可得或，即可判断B，分析可得中必有一个为钝角，即可判断C，利用余弦定理将角化边，即可判断D. 【详解】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B：在中，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：因为，由余弦定理可得， 即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 7．（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 【答案】BCD 【分析】对于A：可得，利用余弦定理可知为钝角，即可判断；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式运算求解；对于D：可得，根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则， 且，可知为钝角， 所以是钝角三角形，故A错误； 对于选项B：因为， 且，所以，故B正确； 对于选项C：的面积为，故C正确； 对于选项D：若为中点，则， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 8．（多选）在中，的对边分别为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用正弦定理角化边得到，利用余弦定理后，即可求得的范围. 【详解】由及正弦定理，得， 由余弦定理得，所以． 故选：AB 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由面积公式求出，由余弦定理求出，最后由完全平方公式求出. 【详解】因为，由正弦定理得，即，又，所以． 由的面积为，得，可得． 在中，由余弦定理可得， 又，，代入可得，所以， 所以． 故答案为：. 10．东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      【答案】50.76 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求得答案. 【详解】在中，由，，得，而， 由正弦定理得， 在中，，， 所以塔高CD为约为50.76米. 故答案为：50.76 11．已知△ABC内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合余弦定理求出，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果. 【详解】（1）因为，整理，得， 由余弦定理，得 因为，所以； （2）， ， 由（1）得，， ， . 12．在中，内角、、所对的边分别为、、，若． (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理得 ， 因为、，所以，可得，则， 故. （2）因为，，所以， 由余弦定理可得， 所以，因此，的面积为. 1．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 2．在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 4．文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 5．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 6．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，外接圆半径是，内切圆半径是，下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【分析】对A，根据正弦定理即可判断；对B，利用正弦定理结合三角恒等变换可判断；对C，根据余弦定理、正弦定理结合三角形面积公式判断即可判断；对D，根据两角和的正切公式化简即可判断. 【详解】对于A，若，则，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 所以，又，，所以或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若， 设，解得， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以，所以，故C正确. 对于D，，所以，所以， 所以，若， 则，又，所以， 所以，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选）已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由，结合余弦定理，求得和，进而得到，再由正弦定理，得到，可判定A正确；由，求得，可判定B不正确；由，求得，所以，由正弦定理，求得，再由，结合面积公式，可判定C正确；由，求得，得到，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由余弦定理得， 因为，可得和，可得， 又由正弦定理，可得，即， 所以，所以A正确； 对于B中，由， 可得，解得， 因为，所以或，所以B不正确； 对于C中，由，且，可得，所以， 因为，由正弦定理，可得， 又由， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，由，可得 可得， 则， 当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确. 故选：ACD. 8．（多选）已知中D在BC上，AD平分下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算的面积，判断B；利用角平分线定理，判断C；利用正弦定理计算，判断D. 【详解】对于A，在中，已知 因此，选项A正确； 对于B，由A知， 故故B正确； 对于C，根据角平分线定理，在中，若AD平分且交BC于D，则 已知代入得：⟹ 因此，C选项中是错误的．故C不正确； 对于D，由余弦定理可知： 平分 在中，由正弦定理可得： 故故D正确． 故选： 9．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】因为有两解，所以，即，所以. 即边长的取值范围是. 故答案为：. 10．中，若，，则的面积的取值范围 . 【答案】 【分析】由已知可求得，利用正弦定理可得，利用，结合边化角与三角恒等变换可求得的面积的取值范围. 【详解】由和余弦定理， 可得， 即，所以， 因为，所以， 又因为， 由正弦定理，， 则得， ， 因为，所以， 所以，则， 故的面积的取值范围. 故答案为：. 11．已知的内角所对的边分别为，且满足， (1)求角的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理边角转化结合余弦定理计算求解； （2）先应用二倍角公式结合两角和差正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理知， 又 ， ， . 12．如图，在凸四边形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，则，根据正弦定理得，结合余弦定理，再边化角得，结合三角函数和差角公式可证； （2）根据（1）结合条件得，，，则，在中，根据余弦定理，结合基本不等式得，从而可得解. 【详解】（1）因为，所以， 由，则， 根据正弦定理得，则， 又根据余弦定理， 所以， 即， 再由正弦定理得， 即， 则， 所以， 因为，则， 所以或， 得或（舍）， 故； （2）根据（1），又， 所以，所以，， 所以，且， 在中，， 根据余弦定理， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形ABCD面积的最大值为. 1．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 2．已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值， 又因为，所以， 所以， 由于，且， 所以. 3．为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取线段的中点为，由题意可得，则可得，即可借助正弦定理计算得到，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算得到的正弦值； （2）利用正弦定理计算即可得解. 【详解】（1）取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 4．如图所示，线段与交于的中点，已知，，且.    (1)求线段的长； (2)若，求线段的长及的面积 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）在、中，利用余弦定理结合运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，设，利用余弦定理和面积公式运算求解. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，则， 整理可得，即. （2）在中，由正弦定理可得， 设，则， 由（1）可知：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 则，的面积. 5．已知的内角的对边分别是为内一点，且 (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，，求； (3)如图3，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，在、中利用正弦定理可得，利用三角变换可求，即得为等边三角形，故可求其面积； （2）在、中利用正弦定理可得，利用三角变换可求得的值； （3）利用各三角形的面积关系结合余弦定理可得，结合的面积公式及余弦定理可证得. 【详解】（1）在中，由余弦定理，， 故，且， 设，则，故， 在中，由正弦定理，，则 在中，由正弦定理，，则，故， 即，化简得， 则，整理得， 而，故，故即， 故，故， 故为等边三角形，故的面积为. （2）因为，，故，设，则， 而，，则， 因,,则,故, 在中，， 在中，有，故， 所以，即， 故. （3）因为， 故（*）， 在中，由余弦定理， ， ， 三式相加得， 将（*）代入，， 又，则， 代入上式，①， 由余弦定理可得②， 由 ①-②得：,则. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$