预习专题07 圆的相关概念与周长（6知识点+7考点+3易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题07 圆的相关概念与周长 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握圆的基本特征及用圆规画圆的方法,会用圆规画圆 2.了解圆的各部分名称,会用字母表示圆的各部分名称,明确在同圆或等圆中半径和直径的特征以及二者的关系 3.经历探究圆周率的过程,理解圆周率的意义,体会转化思想,培养推理意识 4.理解圆的周长的意义,掌握圆的周长计算公式,并能运用公式解决与圆的周长有关的实际问题 圆的画法 1.实物画圆：可以利用圆形的物品如杯子、盘子等直接画圆;还可以用圆规来画圆. 2.系线画圆：用图钉将细线的一端固定在一点上，将细线的另一端固定在笔上，用笔将细线拉直,并绕 固定的点旋转一周。 注意：用图钉、细线和笔画圆时，图钉要固定好，细线不能有弹性，且要拉直。 3.圆规画圆： （1）把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的半径长度； （2）把有针尖的一只脚固定在一点上，该点即为圆心位置; （3）把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 用圆规画圆的注意事项:(1)带有针尖的脚不能移动;(2)两脚之间的距离不能改变。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周,它的另一端就会画出一条封闭的曲线,这条封闭的曲线就是圆。对比三种画圆的方法，用圆规画圆的方法比较常用。 圆的各部分名称 1.认识圆心 (1)圆心的意义:用圆规画圆时,针尖所在的点叫作圆心，圆心一般用字母O表示 (2)圆心的作用:圆心决定圆的位置。 2.认识半径 (1)半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，半径一般用字母r表示 (2)半径的作用:半径决定圆的大小。半径越长,圆越大;半径越短,圆越小。 (3)判断半径的方法:半径是一条线段,它的一端在圆心;另一端在圆上。 重点：用圆规画圆时圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径。 3.认识直径 (1)直径的意义:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,直径一般用字母d表示 (2)判断直径的方法:①是一条通过圆心的线段;②线段的两端都在圆上;③是圆中最长的线段. 在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即d=2r.在不产生混淆的前提下，我们可以将半径的长度和直径的长度分别简称为半径和直径. 拓展注解 1.圆的数学定义:圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点指的是圆心,定长指的是半径的长度。 2.等圆:半径相等的圆叫作等圆。等圆经过平移可以完全重合。 3.同心圆:圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。 如图，圆上任意一点到圆心的距离都相等.连接圆心和圆上任意给定一点的线段叫作半径一般用字母r表示半径.经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示直径. 半径、直径的特征及关系 1.圆有无数条直径,也就有无数条对称轴。 （补充）轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的部分能够完全重合那么这个图形叫作轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 2.在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径也都相等. 3.半径和直径的关系:在同圆或等圆中,半径的长度是直径的一半,直径的长度是半径的2倍。 拓展注解 1.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径也扩大到原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一. 2.可以用对折法找到前面用茶杯盖画出的圆的圆心,即先将圆剪下来,再沿不同的方向对折两次，折痕的交点就是圆心. 圆的周长的意义及测量方法 1.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法 2.周长概念：围成圆的曲线的长是圆的周长。 圆周率的意义和圆的周长计算公式 1.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，这个数叫作圆周率，用字母π来表示，π读作/pai/”.人们后来发现圆周率是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际应用中一般只取它的近似值.我国数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人。 2.圆的周长与直径的关系：圆的周长:直径=圆周率. 注意：圆周率是一个近似数，不能说成：圆的周长:直径=3.14. 3.根据圆的周长与直径的关系推导圆的周长计算公式 （1）圆周率圆的周长直径圆周率 （2）圆的周长直径圆周率 圆的直径半径 圆的周长半径圆周率 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率.如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径,用d表示圆的直径,那么圆的周长计算公式是C＝πd或C＝2πr。 拓展注解 1.圆的周长与它的半径、直径的关系: (1)圆的半径或直径扩大到原来的几倍,它的周长也扩大到原来的几倍。 (2)圆的半径或直径缩小到原来的几分之一,它的周长也缩小到原来的几分之一。 4.半圆的周长和圆的周长的一半 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是 或 . 圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，取其中一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是 或 . 圆的周长计算公式的应用 应用一 已知圆的半径,求圆的周长。 应用二 已知圆的直径,求圆的周长。 应用三 已知圆的周长,求圆的直径和半径。 圆的概念及特点 例1车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 【变式1-1】一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？（    ） A．1 B．2 C．4 【变式1-2】将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【变式1-3】要画一个直径是2厘米的圆，圆规的两脚应叉开( )厘米的距离。 【变式1-4】看图填空。 大圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 其中大圆的半径是( )cm，小圆的半径是( )cm。 画圆 例2画一个直径4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【变式2-1】画直径为3厘米的圆，并画出一条对称轴。 【变式2-2】如图有A、B两点。先想一想：怎样确定圆心、半径，画出的圆能经过A、B两点，再用圆规画出两个不同的圆，要使每个圆都经过A、B两点。 与圆相关的轴对称图形 例3 下面四扇花窗的轮廓形成的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-1】下列图形中，（    ）的对称轴条数最多。 A． B． C． D． 【变式3-2】下面图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-3】下面哪些图形是轴对称图形？画出它们的对称轴。 圆的周长 例4 一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，周长增加了( )厘米。 【变式4-1】如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取( )厘米。圆的周长总是它的直径的( )倍。 【变式4-2】如图，M是圆上一点，把圆在尺子上顺时针无滑动地滚一周后，M点的位置在（    ）之间。 A．6cm和7cm B．8cm和9cm C．9cm和10cm D．11cm和12cm 【变式4-3】在图中，四个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长与三个小圆的周长和比较，（    ）。 A．大圆周长长 B．小圆的周长长 C．一样长 D．无法比较 【变式4-4】如图：去掉三角板，让圆形纸片向右滚动一周，A点的位置在（    ）之间。 A．4.5厘米和5厘米 B．5厘米和5.5厘米 C．5.5厘米和6厘米 【变式4-5】一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 半圆的周长 例5 两个完全一样的半圆可以拼成一个圆，这个圆的周长等于这两个半圆的周长之和。( ) 【变式5-1】一个半圆形的周长是它半径的（    ）倍。 A．2π B． C． 【变式5-2】下面半圆的周长是直径为4cm的圆周长的。( ) 【变式5-3】如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【变式5-4】一个半圆形牛栏的半径是10m，至少要用（    ）的铁丝才能把牛栏围上2圈（接头处忽略不计）。 A．51.4m B．31.4m C．102.8m D．62.8m 【变式5-5】超市衣帽区的简易试衣间依墙而建，由半圆形的钢管配合适的门帘组成。其中用了1.57米长的不锈钢钢管。超市装修想把这个试衣间弄得再宽敞一些，计划把它的半径增加20厘米，如果这样，需要多长的钢管？（接头处忽略不计） 圆的周长的应用 例6 一个圆的周长，等于它的（    ）乘π。 A．面积 B．圆心角度数 C．直径 【变式6-1】小明家离学校有1256米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分转80圈，小明多长时间可以到家？ 【变式6-2】在下图中从M到N，路①与路②相比哪条路更近？ 【变式6-3】如图是一个圆柱形油桶的横截面，半径是0.2m，油桶从车厢的后端滚到前端共需要5周，车厢长( )m。 【变式6-4】王军家新房子刚装修好，要给餐厅配一张圆形餐桌，配多大的桌子呢？王军想：平时客人最多时12个人左右，如果坐在桌边，每人平均分配50厘米左右的范围。根据王军的设想，需要购买半径为多少的圆桌，能够在客人最多时也坐得舒适？（π取3） 含圆的组合图形的周长 例7 求出下面阴影部分的周长。 【变式7-1】计算下面图形的周长。 【变式7-2】求如图中阴影部分的周长。（单位：cm） 圆的面积和长方形的面积相等 【变式7-3】求如图中阴影部分的周长。 【变式7-4】求阴影部分周长。 【例1】判断。 (1)圆的半径和直径分别相等。............................................（ √ ） (2)通过圆心并且两端都在圆上的直线叫作直径。................（ √ ） 错解分析 (1)题错在没有考虑半径和直径分别相等的前提条件是在同圆或等圆中。(2)题错在没有理解直径的意义,直径是线段而不是直线。 错解改正 【防错警示】 在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径也都相等。半径和直径都是线段而不是直线. 【例2】判断:在同一个圆中,每条直径都能分成两条半径,所以两条半径一定能组成一条直径（ √ ） 错解分析 此题错在对半径和直径的意义理解不清。因为在同一个圆中d＝2r,所以两条半径的长度和与一条直径的长度相等,但当两条半径不在同一条直线上时,它们就不能组成一条直径。 错解改正 【防错警示】 在同一个圆中,一条直径的长度等于两条半径的长度和,但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 【例3】（1）判断：大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。（ √ ） 错解分析 此题错在没有理解圆周率的意义，圆周率是一个固定的数，不因圆的大小而改变。 错解改正 【防错警示】 圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。 （2）判断：因为一个圆的周长总是它的直径的 3 倍多一些，所以 .（ √ ） 错解分析 圆周率是一个无限不循环小数， 在实际应用中常常取近似值，即 . 错解改正 【防错警示】 圆的圆周率是一个无限不循环小数， 3.14 是它的近似值。 1.图中，大圆的周长和两个小圆周长之和相比，（    ）。 A．大圆周长大 B．两个小圆周长之和大 C．相等 2.甲圆的直径等于乙圆的半径，乙圆的周长是甲圆周长的（    ）。 A．2倍 B． C．4倍 D． 3.下列关于圆周率说法错误的是（    ）。 A．圆周率是圆的周长与直径之间的比值 B．计算时圆周率π通常取3.14 C．圆周率是一个无限不循环小数 D．大圆的圆周率比小圆的圆周率大 4.小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？ 5. 一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，观赏区外围的周长是多少米？ 6.求阴影部分的周长。（单位：cm） 7.下图是由3个直径不同的半圆组成的，求阴影部分的周长。(单位：厘米) 8.2022年北京冬奥会短道速滑比赛场地长60米，宽30米，跑道为椭圆形，它是由两条直道和两个半圆形跑道组成（如下图所示）。直道长28.85米，最内圈半圆直径为16米。第一条跑道距离最内侧0.5米，如果在第一条跑道上比赛，一圈长度为多少米？（π取3.14） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆的相关概念与周长 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握圆的基本特征及用圆规画圆的方法,会用圆规画圆 2.了解圆的各部分名称,会用字母表示圆的各部分名称,明确在同圆或等圆中半径和直径的特征以及二者的关系 3.经历探究圆周率的过程,理解圆周率的意义,体会转化思想,培养推理意识 4.理解圆的周长的意义,掌握圆的周长计算公式,并能运用公式解决与圆的周长有关的实际问题 圆的画法 1.实物画圆：可以利用圆形的物品如杯子、盘子等直接画圆;还可以用圆规来画圆. 2.系线画圆：用图钉将细线的一端固定在一点上，将细线的另一端固定在笔上，用笔将细线拉直,并绕 固定的点旋转一周。 注意：用图钉、细线和笔画圆时，图钉要固定好，细线不能有弹性，且要拉直。 3.圆规画圆： （1）把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的半径长度； （2）把有针尖的一只脚固定在一点上，该点即为圆心位置; （3）把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 用圆规画圆的注意事项:(1)带有针尖的脚不能移动;(2)两脚之间的距离不能改变。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周,它的另一端就会画出一条封闭的曲线,这条封闭的曲线就是圆。对比三种画圆的方法，用圆规画圆的方法比较常用。 圆的各部分名称 1.认识圆心 (1)圆心的意义:用圆规画圆时,针尖所在的点叫作圆心，圆心一般用字母O表示 (2)圆心的作用:圆心决定圆的位置。 2.认识半径 (1)半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，半径一般用字母r表示 (2)半径的作用:半径决定圆的大小。半径越长,圆越大;半径越短,圆越小。 (3)判断半径的方法:半径是一条线段,它的一端在圆心;另一端在圆上。 重点：用圆规画圆时圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径。 3.认识直径 (1)直径的意义:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,直径一般用字母d表示 (2)判断直径的方法:①是一条通过圆心的线段;②线段的两端都在圆上;③是圆中最长的线段. 在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即d=2r.在不产生混淆的前提下，我们可以将半径的长度和直径的长度分别简称为半径和直径. 拓展注解 1.圆的数学定义:圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点指的是圆心,定长指的是半径的长度。 2.等圆:半径相等的圆叫作等圆。等圆经过平移可以完全重合。 3.同心圆:圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。 如图，圆上任意一点到圆心的距离都相等.连接圆心和圆上任意给定一点的线段叫作半径一般用字母r表示半径.经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示直径. 半径、直径的特征及关系 1.圆有无数条直径,也就有无数条对称轴。 （补充）轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的部分能够完全重合那么这个图形叫作轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 2.在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径也都相等. 3.半径和直径的关系:在同圆或等圆中,半径的长度是直径的一半,直径的长度是半径的2倍。 拓展注解 1.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径也扩大到原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一. 2.可以用对折法找到前面用茶杯盖画出的圆的圆心,即先将圆剪下来,再沿不同的方向对折两次，折痕的交点就是圆心. 圆的周长的意义及测量方法 1.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法 2.周长概念：围成圆的曲线的长是圆的周长。 圆周率的意义和圆的周长计算公式 1.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，这个数叫作圆周率，用字母π来表示，π读作/pai/”.人们后来发现圆周率是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际应用中一般只取它的近似值.我国数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人。 2.圆的周长与直径的关系：圆的周长:直径=圆周率. 注意：圆周率是一个近似数，不能说成：圆的周长:直径=3.14. 3.根据圆的周长与直径的关系推导圆的周长计算公式 （1）圆周率圆的周长直径圆周率 （2）圆的周长直径圆周率 圆的直径半径 圆的周长半径圆周率 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率.如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径,用d表示圆的直径,那么圆的周长计算公式是C＝πd或C＝2πr。 拓展注解 1.圆的周长与它的半径、直径的关系: (1)圆的半径或直径扩大到原来的几倍,它的周长也扩大到原来的几倍。 (2)圆的半径或直径缩小到原来的几分之一,它的周长也缩小到原来的几分之一。 4.半圆的周长和圆的周长的一半 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是 或 . 圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份，取其中一份的长度，圆的周长的一半的计算公式是 或 . 圆的周长计算公式的应用 应用一 已知圆的半径,求圆的周长。 应用二 已知圆的直径,求圆的周长。 应用三 已知圆的周长,求圆的直径和半径。 圆的概念及特点 例1车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 【答案】 相等 井盖 足球 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。把车轴安装在车轮的圆心处，车开起来更平稳，是利用了同一个圆的半径都相等的特性。再列举出生活中的圆。 【详解】车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都（相等）。生活中的圆还有（井盖）和（足球）等。（举例不唯一） 【变式1-1】一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？（    ） A．1 B．2 C．4 【答案】B 【分析】用一张圆形的纸，依次对折1次、2次和4次，看能否看到圆心，从而解题。 【详解】A．对折1次不展开，折痕所在直线是一条直径，看不出圆心位置； B．对折2次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； C．对折4次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； 所以，至少对折2次，才能看到圆心。 故答案为：B 【变式1-2】将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答。 【详解】（8－6）÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 答：小圆的半径是1厘米。 【变式1-3】要画一个直径是2厘米的圆，圆规的两脚应叉开( )厘米的距离。 【答案】1 【分析】画圆时，圆规的两脚叉开的距离是半径，根据半径＝直径÷2，列式计算即可。 【详解】2÷2＝1（厘米） 圆规的两脚应叉开1厘米的距离。 【变式1-4】看图填空。 大圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 其中大圆的半径是( )cm，小圆的半径是( )cm。 【答案】 16 8 10 5 【分析】图一：观察图形可知，长方形的长等于两个圆的直径和，用长方形的长除以2，即可求出圆的直径；半径＝直径÷2，再用直径÷2，求出圆的半径； 图二：观察图形可知，大圆的直径是20cm，根据半径＝直径÷2，代入数据，求出大圆的半径；小圆的直径等于大圆的半径，用大圆的半径÷2，即可求出小圆的半径，据此解答。 【详解】32÷2＝16（cm） 16÷2＝8（cm） 20÷2＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 大圆的直径是16cm，半径是8cm。 大圆的半径是10cm，小圆的半径是5cm。 画圆 例2画一个直径4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【答案】见详解 【分析】根据圆的直径是半径的2倍，先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为（4÷2）厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，再标出圆心及半径。 【详解】（cm） 作图如下： 【变式2-1】画直径为3厘米的圆，并画出一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以（3÷2）厘米为半径画圆。 一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 圆的对称轴是每条直径所在的直线，所以圆有无数条对称轴，由此任意画出经过圆心的1条对称轴即可。 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 以点O为圆心，以1.5厘米为半径画圆，并画出圆的一条对称轴，如图所示： （对称轴画法不唯一） 【变式2-2】如图有A、B两点。先想一想：怎样确定圆心、半径，画出的圆能经过A、B两点，再用圆规画出两个不同的圆，要使每个圆都经过A、B两点。 【答案】图见详解 【分析】方法一，连接AB，找到AB的中点O，以O为圆心，以AB长度的一半为半径（即OA或OB的长）画圆，则该圆必经过A、B两点； 方法二：连接AB，过AB的中点作一条垂线垂直于AB，取该条垂线上的任意一个点作为圆心O，连接OA（或OB），则以OA（或OB）为半径画圆，则该圆必经过A、B两点。 【详解】作图如下： 方法一： 方法二： 【点睛】此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆。 与圆相关的轴对称图形 例3 下面四扇花窗的轮廓形成的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此确定各选项图形对称轴的数量。 【详解】A．无数条对称轴； B．8条对称轴 C．4条对称轴； D．1条对称轴。 对称轴条数最多的是。 故答案为：A 【变式3-1】下列图形中，（    ）的对称轴条数最多。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依此选择即可。 【详解】 A．有无数条对称轴。 B．有3条对称轴。 C．有2条对称轴。 D．有4条对称轴。 所以，对称轴条数最多的是。 故答案为：A 【变式3-2】下面图形中，不是轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，就叫做轴对称图形，据此解答。 【详解】 A．图形沿一条经过两个圆心的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； B．图形沿同时经过三个点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； C．图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； D．图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，符合题意。 故答案为：D 【变式3-3】下面哪些图形是轴对称图形？画出它们的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】第一幅图、第二幅图不是轴对称图形，第三幅图、第四幅图是轴对称图形，对称轴如下图所示： 圆的周长 例4 一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，周长增加了( )厘米。 【答案】12.56 【分析】根据圆的周长＝2×半径×圆周率，代入数据计算，分别算出增加前后圆的周长，再进行相减，即可求出周长增加了多少厘米，据此解答。 【详解】2×3.14×4－2×3.14×2 ＝25.12－12.56 ＝12.56（厘米） 即周长增加了12.56厘米。 【变式4-1】如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取( )厘米。圆的周长总是它的直径的( )倍。 【答案】 2 π 【分析】已知圆的周长12.56厘米，根据公式r＝C÷π÷2，求出圆的半径，也就是圆规两脚间的距离。 根据圆的周长公式C＝πd可知，C÷d＝π，由此可知圆的周长总是它的直径的π倍。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆的周长÷直径＝π 如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取2厘米。圆的周长总是它的直径的π倍。 【变式4-2】如图，M是圆上一点，把圆在尺子上顺时针无滑动地滚一周后，M点的位置在（    ）之间。 A．6cm和7cm B．8cm和9cm C．9cm和10cm D．11cm和12cm 【答案】A 【分析】从图中可知：这个圆的半径是1cm，圆在尺子上滚一周后，前进的长度就是圆的周长，根据圆的周长：C＝2πr，代入数据计算，即可求出M点的位置。 【详解】1×2×3.14＝6.28（cm） 6cm＜6.28cm＜7cm M点的位置在6cm和7cm之间。 故答案为：A 【变式4-3】在图中，四个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长与三个小圆的周长和比较，（    ）。 A．大圆周长长 B．小圆的周长长 C．一样长 D．无法比较 【答案】C 【分析】假设最小的圆的直径是1厘米，最大的小圆的直径是3厘米，中间的小圆的直径是2厘米，则外面的大圆的直径是厘米，根据圆的周长公式，代入数据分别计算大圆的周长及三个小圆的周长和，再比较大小。 【详解】假设最小的圆的直径是1厘米，最大的小圆的直径是3厘米，中间的小圆的直径是2厘米。 （厘米） 外面大圆的直径：（厘米） （厘米） 大圆的周长与三个小圆的周长和一样长。 故答案为：C 【变式4-4】如图：去掉三角板，让圆形纸片向右滚动一周，A点的位置在（    ）之间。 A．4.5厘米和5厘米 B．5厘米和5.5厘米 C．5.5厘米和6厘米 【答案】A 【分析】通过观察可知，纸片的直径是（2－1）厘米，根据圆周长公式：C＝πd，π取3.14，代入数据即可求出纸片的周长，也就是滚动一周的长度，让圆形纸片向右滚动一周，A点在1.5厘米处，用圆的周长加上A点此时的位置即可求出A所在的位置范围。 【详解】3.14×（2－1） ＝3.14×1 ＝3.14（厘米） 3.14＋1.5＝4.64（厘米） 4.5＜4.64＜5 所以A点的位置在4.5厘米和5厘米之间符合。 故答案为：A 【变式4-5】一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示（    ）。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【答案】C 【分析】小轿车前轮压碎一个苹果，则这个碎的苹果会在前轮的某处留下水印，随着前轮的转动，下一次到这个水印的时候会在地面留下痕迹，也就是前轮行驶一周。根据周长的定义可知，被压碎的苹果与第一个印记之间的距离是前轮转动一周的长度，即前轮的周长，据此即可解题。 【详解】由分析可知：被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，这个2米是前轮的周长。 故答案为：C 半圆的周长 例5 两个完全一样的半圆可以拼成一个圆，这个圆的周长等于这两个半圆的周长之和。( ) 【答案】× 【分析】根据半圆的周长公式：半圆周长＝整圆的周长的一半＋直径的长度；圆的周长公式：周长＝π×直径；两个完全一样的半圆拼成一个圆，这个圆的周长比原来减少2条直径的长度，据此解答。 【详解】根据分析可知，两个完全一样的半圆可以拼成一个圆，这个圆的周长等于这两个半圆的周长之和减去2条直径的长度。 原题干说法错误。 故答案为：× 【变式5-1】一个半圆形的周长是它半径的（    ）倍。 A．2π B． C． 【答案】C 【分析】设半圆形的半径为r，根据半圆形的周长＝π×半径＋2×半径，求出半圆形的周长，再用半圆形的周长除以半径，即可解答。 【详解】设半圆形的半径为r。 （π×r＋2r）÷r ＝r（π＋2）÷r ＝π＋2 一个半圆形的周长是它半径的（π＋2）倍。 故答案为：C 【变式5-2】下面半圆的周长是直径为4cm的圆周长的。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知，圆周长的一半是πd×； 根据周长是指封闭图形一周的长度，可知半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πd×＋d，据此判断。 【详解】半圆的周长： 3.14×4×＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 圆周长的一半：3.14×4×＝6.28（cm） 10.28＞6.28 图中半圆的周长大于直径为4cm的圆周长的。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式5-3】如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【答案】两条小虫同时到达B地，因为大半圆直径与三个小半圆直径之和相等，经过计算，两条小虫爬行的路程相同 【分析】假设最大的半圆直径是d，图形下面从左到右的半圆直径分别为d1、d2、d3，根据圆的周长公式，分别求出两条路线的长度，再比较即可。 【详解】假设最大的半圆直径是d， 第一条小虫爬行的长度为πd÷2 第二条小虫爬行的长度为πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2 ＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 ＝π（d1＋d2＋d3）÷2 因为d＝d1＋d2＋d3 所以πd÷2＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 答：两条路线的长度相同，两条小虫同时到达B地。 【变式5-4】一个半圆形牛栏的半径是10m，至少要用（    ）的铁丝才能把牛栏围上2圈（接头处忽略不计）。 A．51.4m B．31.4m C．102.8m D．62.8m 【答案】C 【分析】圆的周长C＝2πr，牛栏是半圆形的，它周长等于圆的周长的一半加上一条直径的长度，用半圆的周长再乘2，就是所用的铁丝长度。 【详解】3.14×10×2÷2＋10×2 ＝31.4×2÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（m） 51.4×2＝102.8（m） 至少要用102.8m的铁丝才能把牛栏围上2圈。 故答案为：C 【变式5-5】超市衣帽区的简易试衣间依墙而建，由半圆形的钢管配合适的门帘组成。其中用了1.57米长的不锈钢钢管。超市装修想把这个试衣间弄得再宽敞一些，计划把它的半径增加20厘米，如果这样，需要多长的钢管？（接头处忽略不计） 【答案】2.198米 【分析】由题可得，简易试衣间依墙而建，由此1.57米是原来整个圆周长的一半，乘2，即可求出原来一整圆的周长，再根据半径＝周长÷圆周率÷2，计算出原来的半径；计划把它的半径增加20厘米，用原来的半径加上20厘米，就是计划的半径长度，最后根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出计划整个的圆的周长，再除以2，即可得计划所需要的钢管的长度，据此解答。 【详解】1.57米＝157厘米 157×2÷3.14÷2＝50（厘米） 50＋20＝70（厘米） 2×3.14×70÷2＝219.8（厘米） 219.8厘米＝2.198米 答：需要2.198米的钢管。 圆的周长的应用 例6 一个圆的周长，等于它的（    ）乘π。 A．面积 B．圆心角度数 C．直径 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式C＝πd即可解答。 【详解】因为圆的周长公式C＝πd可知，一个圆的周长，等于它的直径乘π。 故答案为：C 【变式6-1】小明家离学校有1256米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分转80圈，小明多长时间可以到家？ 【答案】10分钟 【分析】先根据1米＝100厘米把50厘米换算成米，再根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据，求出自行车轮胎的周长，再乘80，求出自行车轮胎1分钟行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度，用小明家与学校的路程除以自行车轮胎1分钟行驶的路程即可得到小明多长时间可以到家。 【详解】50厘米＝0.5米 1256÷（3.14×0.5×80） ＝1256÷（1.57×80） ＝1256÷125.6 ＝10（分钟） 答：小明10分钟可以到家。 【变式6-2】在下图中从M到N，路①与路②相比哪条路更近？ 【答案】一样近 【分析】路①的长度是圆周长的一半，路①的直径是3个半圆的直径和；路②的长度是三个圆周长的一半的和，根据圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，分别计算出路①与路②的长度，比较即可。 【详解】路①：3.14×（2＋4＋6）÷2 ＝3.14×12÷2 ＝18.84（厘米） 路②：3.14×2÷2＋3.14×4÷2＋3.14×6÷2 ＝3.14＋6.28＋9.42 ＝18.84（厘米） 18.84＝18.84 答：路①与路②相比一样近。 【变式6-3】如图是一个圆柱形油桶的横截面，半径是0.2m，油桶从车厢的后端滚到前端共需要5周，车厢长( )m。 【答案】6.68 【详解】根据题意可知，车厢的长等于半径是0.2m的圆的周长×5，加上一条直径的长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【点睛】3.14×0.2×2×5＋0.2×2 ＝0.628×2×5＋0.4 ＝1.256×5＋0.4 ＝6.28＋0.4 ＝6.68（m） 车厢长时6.68m。 【变式6-4】王军家新房子刚装修好，要给餐厅配一张圆形餐桌，配多大的桌子呢？王军想：平时客人最多时12个人左右，如果坐在桌边，每人平均分配50厘米左右的范围。根据王军的设想，需要购买半径为多少的圆桌，能够在客人最多时也坐得舒适？（π取3） 【答案】100厘米 【分析】分析题目，先用客人最多时的人数乘50厘米求出圆形餐桌的周长，再根据圆的周长公式用圆的周长除以3求出圆的直径，最后用直径除以2即可得到圆桌的半径。 【详解】12×50＝600（厘米） 600÷3＝200（厘米） 200÷2＝100（厘米） 答：需要购买半径为100厘米的圆桌，能够在客人最多时也坐得舒适。 含圆的组合图形的周长 例7 求出下面阴影部分的周长。 【答案】87.92厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝直径是28厘米的圆的周长的一半＋直径是（28÷2）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×28÷2＋3.14×（28÷2） ＝87.92÷2＋3.14×14 ＝43.96＋43.96 ＝87.92（厘米） 阴影部分周长是87.92厘米。 【变式7-1】计算下面图形的周长。 【答案】35.7m；33.12dm 【分析】左右两个半圆可以组合成一个直径5m的圆，求该圆的周长和中间长方形上下两条长的和，即是图形的周长； 左右两个半圆可以组合成一个半径4dm的圆，求该圆的周长，再加上两个半径4dm，即是图形的周长。 【详解】5×3.14＋10×2 ＝15.7＋20 ＝35.7（m） 3.14×（4×2）＋4×2 ＝3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 【变式7-2】求如图中阴影部分的周长。（单位：cm） 圆的面积和长方形的面积相等 【答案】36.56cm；23.55cm 【分析】第一个图形，根据图示，阴影部分的周长等于正方形3条边的长加直径是8 cm的圆的周长的一半，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，据此列式计算。 第二个图形，根据图示，圆的面积和长方形的面积相等，结合圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，即为长方形的面积；长方形的面积÷长方形的宽＝长方形的长，长方形的宽与圆的半径相等；长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形的周长。阴影部分的周长等于长方形的周长减去2个宽加上圆周长的，据此列式计算。 【详解】8×3＋3.14×8÷2 ＝24＋12.56 ＝36.56（cm） 长方形的长： 3.14×32÷3 ＝3.14×9÷3 ＝28.26÷3 ＝9.42（cm） （9.42＋3）×2－3×2＋2×3.14×3× ＝12.42×2－6＋4.71 ＝24.84－6＋4.71 ＝23.55（cm） 阴影部分的周长分别是36.56cm、23.55cm。 【变式7-3】求如图中阴影部分的周长。 【答案】25.12cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的圆的周长的一半＋2个直径为4cm的圆的周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＋3.14×4÷2×2 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 阴影部分的周长是25.12cm。 【变式7-4】求阴影部分周长。 【答案】35.4cm 【分析】阴影部分的周长＝大圆直径－小圆直径＋小圆周长的一半＋大圆周长的一半，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，据此列式计算。 【详解】 （cm） 阴影部分周长是35.4cm。 【例1】判断。 (1)圆的半径和直径分别相等。............................................（ √ ） (2)通过圆心并且两端都在圆上的直线叫作直径。................（ √ ） 错解分析 (1)题错在没有考虑半径和直径分别相等的前提条件是在同圆或等圆中。(2)题错在没有理解直径的意义,直径是线段而不是直线。 错解改正 (1)X(2)X 【防错警示】 在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径也都相等。半径和直径都是线段而不是直线. 【例2】判断:在同一个圆中,每条直径都能分成两条半径,所以两条半径一定能组成一条直径（ √ ） 错解分析 此题错在对半径和直径的意义理解不清。因为在同一个圆中d＝2r,所以两条半径的长度和与一条直径的长度相等,但当两条半径不在同一条直线上时,它们就不能组成一条直径。 错解改正 X 【防错警示】 在同一个圆中,一条直径的长度等于两条半径的长度和,但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 【例3】（1）判断：大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。（ √ ） 错解分析 此题错在没有理解圆周率的意义，圆周率是一个固定的数，不因圆的大小而改变。 错解改正 X 【防错警示】 圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。 （2）判断：因为一个圆的周长总是它的直径的 3 倍多一些，所以 .（ √ ） 错解分析 圆周率是一个无限不循环小数， 在实际应用中常常取近似值，即 . 错解改正 X 【防错警示】 圆的圆周率是一个无限不循环小数， 3.14 是它的近似值。 1.图中，大圆的周长和两个小圆周长之和相比，（    ）。 A．大圆周长大 B．两个小圆周长之和大 C．相等 【答案】C 【分析】 如图，大圆直径＝两个小圆直径的和，根据圆的周长＝圆周率×直径，分别计算出圆的周长和两个小圆周长之和，比较即可。 【详解】大圆的周长＝3.14×（d1＋d2） 小圆的周长＝3.14×d1＋3.14×d2＝3.14×（d1＋d2） 大圆的周长和两个小圆周长之和相比，相等。 故答案为：C 2.甲圆的直径等于乙圆的半径，乙圆的周长是甲圆周长的（    ）。 A．2倍 B． C．4倍 D． 【答案】A 【分析】设甲圆的半径为r，则乙圆的半径为2r，根据圆的周长＝πd，代入相应数值分别计算出甲圆和乙圆的周长，再用乙圆的周长除以甲圆的周长即可解答。 【详解】设甲圆的半径为r，则乙圆的半径为2r。 甲圆的周长为： 乙圆的周长为： 因此乙圆的周长是甲圆周长的2倍。 故答案为：A 3.下列关于圆周率说法错误的是（    ）。 A．圆周率是圆的周长与直径之间的比值 B．计算时圆周率π通常取3.14 C．圆周率是一个无限不循环小数 D．大圆的圆周率比小圆的圆周率大 【答案】D 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π是一个常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。 【详解】A．圆周率是圆的周长与直径之间的比值，正确； B．计算时圆周率π通常取3.14，正确； C．圆周率是一个无限不循环小数，正确； D．无论圆的大小，圆周率是不变的，所以本选项原来的说法错误。 故答案为：D 4.小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？ 【答案】0.4米 【分析】根据题意，先用绳子的全长除以10，求出绳子绕树干一圈的长度，也就是树干的周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出树干的横截面的半径。 【详解】周长：25.12÷10＝2.512（米） 半径：2.512÷3.14÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4（米） 答：这根树干的横截面的半径是0.4米。 5.一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，观赏区外围的周长是多少米？ 【答案】527.52米 【分析】一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，根据圆的周长＝，得出圆的半径是80米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，则外面的圆是一个半径是84米，根据圆的周长公式求出圆的周长。 【详解】502.4÷3.14＝160（米） 160÷2＝80（米） （80＋4）×2×3.14 ＝84×2×3.14 ＝527.52（米） 答：观赏区外围的周长是527.52米。 6.求阴影部分的周长。（单位：cm） 【答案】18.84cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长包括两条长度相等的弧长，其中每条弧的长度等于半径为6cm的圆周长的，那么阴影部分的周长等于圆周长的一半。根据圆的周长＝2πr求出整圆的周长，再除以2即可解答。 【详解】6×2×3.14÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 则阴影部分的周长是18.84cm。 7.下图是由3个直径不同的半圆组成的，求阴影部分的周长。(单位：厘米) 【答案】94.2厘米 【分析】观察图形可知：阴影部分的周长就是直径为（20＋10）厘米的圆的周长，根据圆的周长：C＝πd，据此代入数据计算即可。 【详解】（20＋10）×3.14 ＝30×3.14 ＝94.2（厘米） 阴影部分的周长94.2厘米。 8.2022年北京冬奥会短道速滑比赛场地长60米，宽30米，跑道为椭圆形，它是由两条直道和两个半圆形跑道组成（如下图所示）。直道长28.85米，最内圈半圆直径为16米。第一条跑道距离最内侧0.5米，如果在第一条跑道上比赛，一圈长度为多少米？（π取3.14） 【答案】111.08米 【分析】由题意知：运动员跑一圈的路程相当于两条长为28.85m直道距离加一个直径为（16＋0.5×2）圆的一周长度，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出两个弯道的长，再加上两条直道的长度即可。 【详解】3.14×（16＋0.5×2）＋28.5×2 ＝3.14×17＋57.7 ＝53.38＋57.7 ＝111.08（米） 答：如果在第一条跑道上比赛，一圈长度为111.08米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$