专题6.7 实数压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）

第6章 实数压轴题综合测试卷 【沪科版2024】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25七年级·福建福州·阶段练习）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级·山西晋城·期中）将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 6．（3分）（24-25七年级·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 7．（3分）（24-25七年级·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）（24-25七年级·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（3分）（24-25七年级·重庆沙坪坝·开学考试）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·全国·课后作业）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 12．（3分）（24-25七年级·全国·课后作业）若a，b为实数，且满足，则 ． 13．（3分）（24-25七年级·安徽滁州·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 14．（3分）（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 15．（3分）（24-25七年级·重庆·阶段练习）数字“8”在古代深受古人喜爱，由于释迦牟尼的生日是中国农历的四月初八，古人们更加崇拜“8”字．后又“8”的谐音为“发”，与发财致富有关，所以，“8”成为了我们中国人口中最吉利的数字．若一个正整数各数位上的数字之和为8，且这个数能被8整除，我们就称这个数为“发财数”．例如：数字2024，因为，且，所以2024是“发财数”．1232 “发财数”（填是或不是），求所有三位“发财数”的和是 ． 16．（3分）（24-25七年级·全国·专题练习）对于任意一个三位数或四位数，若m所有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义，那么 ；现有实数，，，满足式子能被7整除，求的值： ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） 18．（6分）（24-25七年级·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 19．（8分）（24-25七年级·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 20．（8分）（24-25七年级·江西上饶·期末）设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 21．（10分）（24-25七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 22．（10分）（24-25七年级·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 23．（12分）（24-25七年级·四川内江·期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p． ①则p的值=　　； ②若p的小数部分为k，求的值． （2）已知与互为相反数， ①则的平方根　　；②解关于x的方程． （3）已知正实数x的平方根是m和． ①当时，则m　　；②若，求x的值． 24．（12分）（24-25七年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数压轴题综合测试卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的估算，熟悉实数的估算方法是解题的关键；先估算在哪两个整数之间，然后两边同时减1除2即可求解． 【详解】解：∵， ∴，     ， ， 即， 故选B． 2．（3分）（24-25七年级·福建福州·阶段练习）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，首先求出a、b、c的六次方，比较出它们的六次方的大小关系；然后根据：几个负实数，六次方越大，这个数越小，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（3分）（24-25七年级·山西晋城·期中）将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为，根据橡皮泥的体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设长方体的底面边长为， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即长方体的底面边长为， 故选：B 4．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 5．（3分）（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【答案】D 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是需要理解的含义，解题的过程中，可以先研究人数较少的情况进行判断． 【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意； B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意； C．在一个8个人的群体中，根据数的性质，必定存在3个人相互认识或者3个人相互不认识，故正确，不符合题意； D．虽然对于较大的数，，计算比较困难，但不意味着不能被计算出来，说法太绝对，故错误，符合题意； 故选：D． 6．（3分）（24-25七年级·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键． 根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定每位数，然后再确定即可． 【详解】解：∵根据题意可知为两位数， ∴的个位上的数是9， ∵，， ∴的十位上的数是7， ∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 7．（3分）（24-25七年级·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 8．（3分）（24-25七年级·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 9．（3分）（24-25七年级·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 10．（3分）（24-25七年级·重庆沙坪坝·开学考试）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·全国·课后作业）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级·全国·课后作业）若a，b为实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根和算术平方根，根据非负性求出的值，再根据乘方运算法则和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级·安徽滁州·阶段练习）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 14．（3分）（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，实数的概念； （1）根据是无理数，是有理数，可得，再根据立方根的概念求解即可； （2）根据是无理数，是有理数，可得，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 所以， 所以的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ， 解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级·重庆·阶段练习）数字“8”在古代深受古人喜爱，由于释迦牟尼的生日是中国农历的四月初八，古人们更加崇拜“8”字．后又“8”的谐音为“发”，与发财致富有关，所以，“8”成为了我们中国人口中最吉利的数字．若一个正整数各数位上的数字之和为8，且这个数能被8整除，我们就称这个数为“发财数”．例如：数字2024，因为，且，所以2024是“发财数”．1232 “发财数”（填是或不是），求所有三位“发财数”的和是 ． 【答案】 是 2128 【分析】本题考查了新定义，数的整除，熟练掌握知识点是解的关键． ①根据定义直接验证即可； ②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于8，且个位数为偶数．设该三位数十位上的数是a，个位数是b，按照百位数等于8，7，6，5，4，3，2，1进行讨论计算即可． 【详解】解：①∵，， ∴1232是“发财数”， 故答案为：是； ②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于8，且个位数为偶数． 设该三位数十位上的数是a，个位数是b，当百位数等于8时，，故，而800能被8整除，故800是“发财数”； 当百位数等于7时，，故且或者且，而710和701都不能被8整除，所以它们都不是“发财数”； 当百位数等于6时，，要求b为偶数，所以或，当时，；当时，；经计算602不能被8整除，620不能被8整除，即602、620不是“发财数”； 当百位数等于5时，，要求b为偶数，所以或，当时，；当时，；经计算530不能被8整除，512能被8整除，即530不是“发财数”，512是“发财数”； 当百位数等于4时，，要求b为偶数，所以或或，当时，；当时，；当时，；经计算422、404不能被8整除，440能被8整除，即422和404不是“发财数”，440是“发财数”； 当百位数等于3时，，要求b为偶数，所以或或，当时，；当时，；当时，；经计算332、350、314不能被8整除，即350、332和314不是“发财数”； 当百位数等于2时，，要求b为偶数，所以或或或，当时，当时，；当时，；当时，；经计算242、260和206不能被8整除，224能被8整除，即242、260和206不是“发财数”，224是“发财数”； 当百位数等于1时，，要求b为偶数，所以或或或，当时；当时，；当时，；当时，；经计算116、134和170不能被8整除，152能被8整除，即116、134和170不是“发财数”,152是“发财数”； 综上所述，三位“发财数”共有如下几个： 800，512，440，224，152， ∴所有三位“发财数”的和是， 故答案为：2128． 16．（3分）（24-25七年级·全国·专题练习）对于任意一个三位数或四位数，若m所有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义，那么 ；现有实数，，，满足式子能被7整除，求的值： ． 【答案】 14 【分析】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，根据“同位数”的定义计算即可求解，理解“同位数”的定义是解题的关键． 根据的定义即可得到的值；根据定义计算出 ，其次能被7整除，即被7整除，进而验算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，，所有数位上的数相等， ∴，， ∴， 又∵能被7整除， ∴能被整除， 又∵， ∴当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， 当时，不能被整除， ∴． 故答案为：；． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） 【答案】(1)13 (2)3.6 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解： 则阴影正方形的面积为13； （2）解：由（1）可知，阴影正方形的边长：． 18．（6分）（24-25七年级·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 19．（8分）（24-25七年级·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 20．（8分）（24-25七年级·江西上饶·期末）设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 【答案】(1)20 (2)①不一定，② 【分析】（1）根据题意，，得到偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素，得到；，得到偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素，得到；计算即可． （2）举反例说明即可． 设p为素数，当时，发现其中的规律，引申为一般性结论即可． 本题考查了新定义，数字的规律，熟练掌握定义，发现数字中的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素， ∴； ∵， ∴偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素， ∴； ∴． （2）解：根据题意，得， 故， 故不一定成立． 解：设p为素数，当时， ； 当时， ； 当时， ； 由此得到规律如下： 当时， ； 故素数为p，指数为k时，． 21．（10分）（24-25七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 22．（10分）（24-25七年级·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 23．（12分）（24-25七年级·四川内江·期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p． ①则p的值=　　； ②若p的小数部分为k，求的值． （2）已知与互为相反数， ①则的平方根　　；②解关于x的方程． （3）已知正实数x的平方根是m和． ①当时，则m　　；②若，求x的值． 【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4 【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数； ②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可； （2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可； （3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可． 【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴p的小数部分为， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴， 则， 解得∶， ①当时， ，16的平方根为∶； ②当时，化为 ， 解得∶； (3) ∵正实数x的平方根是m和， ∴， 得∶， ①当时，， 解得∶； ②∵，， ∴， ， ， 则， 解得∶， ∵x是正实数， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 24．（12分）（24-25七年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得； （2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：；． （2）①∵ ∴3.07公里需要2元 ∵ ∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：（元） ∵ ∴公里所需费用分为三段计费即：    前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元； ∴公里所需费用为：（元） 故答案为：2；3；6． ②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元； ∴乘坐24公里所需费用为：（元） ∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里） ∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$