精品解析：福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

龙岩一中2024-2025学年下学期高一数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟，共150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 2. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量 ，若 ，则 B. 已知非零向量，“”是“ ”的充要条件 C. 若 是直线 上不同的三点，点在直线 外，，那么 D. 已知非零向量，“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件 10. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 11. 如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的内切圆的半径为 C. 与夹角的余弦值为 D. 过点作直线交线段和于点，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为_______． 13. 在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为_______． 14. 在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为______，的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 18. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥． （1）证明：平面ADE； （2）当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 19. 如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且． （1）求证：； （2）已知在棱上（不含端点）且， （ⅰ）若，求二面角的大小； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2024-2025学年下学期高一数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟，共150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先进行化简，后根据实部虚部概念，模长公式，共轭复数概念解题即可. 【详解】,则的实部为 ，虚部为，，. 故选：C． 2. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】 从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可. 【详解】解：平均数为， ， 第5个数50即为第60百分位数. 众数为50， 它们的大小关系是平均数第60百分位数众数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可. 【详解】结合题意：，， ，， ． 故选：A. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案. 【详解】由题意，根据正弦定理有，所以， 要使有两组解，则，且，即， 即，即， 所以选项所给四个数据中只有符合， 故选：B. 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用线面垂直性质、面面垂直的判定推理判断B. 【详解】对于A，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，A错误； 对于B，由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而， 于是，，B正确； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，C错误； 对于D，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，D错误. 故选：B 6. 如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出原图，然后逐个分析判断即可. 【详解】根据题意可知原图如图所示，其中，则， 因为点为线段的中点，所以为的中点，则， 对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，因为，所以在上的投影向量为 ，所以C错误， 对于D，因为，所以与同向的单位向量为 ，所以D正确. 故选：D 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 8. 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设这组得分从小到大分别为，由数据的平均数、中位数和极差均为6，因为平均数为6，求得，分和，得出数据，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】因为这组得分的中位数和极差均为6， 可设这组得分从小到大分别为， 因为平均数为6，可得 又因为，，所以，所以， 所以，故. 当时，这组得分分别为2，6，6，8，8. 方差： 当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9， 方差: ， 此时方差最大. 又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量 ，若 ，则 B. 已知非零向量，“”是“ ”的充要条件 C. 若 是直线 上不同的三点，点在直线 外，，那么 D. 已知非零向量，“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，由由数量积的定义分析判断，对于C，将用表示，然后由三点共线可求出，对于D，由数量积的定义结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，而与不一定平行，所以A错误， 对于B，当时，，而当时，， 因为为非零向量，所以， 因为，所以，所以， 所以“”是“ ”的充要条件，所以B正确， 对于C，由，得 ， 所以， 若，则，则在直线上，不合题意，所以， 所以， 因为是直线 上不同的三点，点在直线外， 所以，即，得，所以C错误， 对于D，为非零向量，若夹角为锐角，则， 而当时，则，所以， 因为，所以或为锐角， 所以“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：BD 10. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可以判断A，线面平行的判断定理可以判断A，构造长方体，求出外接球半径，从而可判断C，作出所求二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，从而可以判断D. 【详解】对于A，在正方体 中，，所以四点共面，所以直线 与 不是异面直线，故A错误； 对于B，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，又为 的中点，为 的中点，所以，又，所以，故B正确； 对于C，在正方体 中，分别在上取中点，并依次连接，易知四棱柱为长方体，三棱锥 的外接球就是长方体的外接球，且外接球的直径为长方体体对角线的长， 又长方体体对角线长度为：， 所以外接球的半径为3，所以三棱锥 的外接球的体积为，故C正确； 对于D，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，连接EO，FO，因为都是等腰三角形，所以，所以为二面角 的平面角， 又， 所以由余弦定理可得，,故D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的内切圆的半径为 C. 与夹角的余弦值为 D. 过点作直线交线段和于点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理求解即可；对于B，运用等面积法可解；对于C，建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可；对于D，设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可. 【详解】对于A，在中，且，， 由余弦定理得，解得，(负根舍去)，则A正确； 对于B，设的内切圆的半径为， 则，即， 即，解得，故B错误； 对于C，如图所示， 以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，设， 由两点间距离公式得，， 解得，，(负根舍去)， 故，由中点坐标公式得，， 故，，设与的夹角为， 故，故C正确； 对于D，易知由于边上的中点为，边上的中点为， 而是两条中线的交点，故是的重心，所以， 设，，， 由于在直线上，所以，即， 而，所以，， 故得，， 所以，， 故得， 则 ， 由于， 则，则D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，求出范围，进而求出数量积的范围即可， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为_______． 【答案】2800 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到答案. 【详解】样本中教师人数为15人，学生人数为， 该校学生人数为. 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得∥平面，则点到平面的距离等于点平面的距离，然后利用可求得答案. 【详解】因为∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为动点在棱上，所以点到平面的距离等于点平面的距离， 设点平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以点到平面的距离等于. 故答案为; 14. 在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为______，的最小值为______. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】利用角平分线定理结合给定条件得到边长的比例关系，进而求解第一空，利用三角形面积公式结合余弦定理把目标式表示为一元函数，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】在中，设对应的边分别为， 因为为的中点，所以. 因为为的平分线，， 所以， ，所以， 因为，所以. 在中，，所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，所以，所以. 故答案为：6； 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是利用余弦定理把目标式转化为一元函数，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知，， 复数在复平面内对应的点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 16. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 【答案】（1）5.35，第95百分位数为8.3． （2）3． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数及百分位数公式计算求解； （2）应用分层抽样平均数及方差公式计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数约为， 由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为， 年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为， 因此，第95百分位数一定位于内， 由， 可以估计该地年龄在内的老年人年收入的第95百分位数为8.3． 【小问2详解】 设年龄在内的老年人样本的平均数为，方差记为； 年龄在内的老年人样本的平均数记为，方差记为； 年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为． 由（1）得，，由题意得，，，， 则， 由， 可得， 即估计该地年龄在内的老年人的年收入方差为3． 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 18. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥． （1）证明：平面ADE； （2）当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在正方形中，点，分别是，的中点， 所以，且， 故四边形为平行四边形，于是 在四棱锥中，平面，平面， 所以平面； （2） 当为正三角形时，因为点是的中点，所以， 在正方形中，点E，F分别是AB，CD的中点，故 又，平面，平面，故平面， 因为平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （3）在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接.从而可证，进而得到平面，从而可得为二面角的平面角，计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接. 在正方形中，令，则，. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，从而，即 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 故平面，从而. 又平面平面， 故平面，而平面，故， 所以为二面角的平面角. 在中， 在中，， 因为，所以，于是， 从而在中，， 故， 因此，二面角的余弦值为 19. 如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且． （1）求证：； （2）已知在棱上（不含端点）且， （ⅰ）若，求二面角的大小； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为侧面和底面均为正三角形， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义求解即可, （2）（ⅰ）结合第一小问可以证明出是二面角的平面角，接着利用解三角形的知识求解从而；（ii）利用直线与平面PBC所成角的正弦值为，求出与平面的距离为，利用待定系数法结合等体积法求解出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）连接，由，所以为的中点， 由（1）可知平面，又平面，所以． 所以是二面角的平面角， 又侧面和底面均为正三角形，， 所以， 所以平分，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以二面角的大小为； （ⅱ）因为，又直线与平面PBC所成角的正弦值为， 所以与平面的距离为， 由（ⅰ）可得，由题意，可得， 在出，由余弦定理可得： ， 由， 可得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $