重难点突破3.1 一元一次不等式（组）（6知识梳理+14题型解读+15拓展训练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

重难点突破3.1 一元一次不等式（组） （6知识梳理+14题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01  不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“>”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． [易错点]：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识03  一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式． 【易错点】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 知识04  解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 知识05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集--用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”．（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围． 知识06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）． 【易错点】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 题型解读 【题型一 不等式的定义以及列不等式】 【例1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)b与2的和小于； (2)x的一半与3的差不大于5； (3)a的绝对值不小于它本身； (4)m的6倍与3的和是非负数； (5)x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【变式训练4】（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【题型三 一元一次不等式（组）的定义】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1】（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【题型四 不等式（组）的解集以及在数轴上表示不等式（组）的解集】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【变式训练1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【变式训练3】（2025·湖北武汉·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式训练4】（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【题型五 解一元一次不等式】 【例5】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式训练2】（2025·浙江金华·二模）下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）当x满足什么条件时，代数式的值比代数式的值小1？ （2）若（1）中x的值是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【题型六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025·陕西西安·二模）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：，如．求不等式的负整数解． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？ 【变式训练4】（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知关于的方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的负整数解，求的值． 【题型七 一元一次不等式解的最值问题】 【例7】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【变式训练1】（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【变式训练3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【变式训练4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【题型八 解≥a型的不等式】 【例8】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【变式训练1】（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【变式训练2】（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【题型九 解一元一次不等式组】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）解下列不等式组： (1) (2) 【变式训练2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练3】（2025·陕西西安·三模）解方程组：． 【变式训练4】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【题型十 求一元一次不等式组的整数解】 【例10】（2025·江苏扬州·二模）解不等式组：并求出不等式所有整数解的和． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式组，把它的解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【变式训练2】（20-21七年级下·河南信阳·期末）解不等式组，在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 【题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②若，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【题型十二 不等式组和方程组结合的问题】 【例12】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【变式训练3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【变式训练4】（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【题型十三 列一元一次不等式（组）】 【例13】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4】（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【题型十四 一元一次不等式（组）的应用】 【例14】（2025·湖南衡阳·三模）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 (1)该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ (2)某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【变式训练1】（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【变式训练4】（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 5.（2025七年级下·全国·专题练习）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 7.（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 8.（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 9.我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 10.（20-21八年级上·重庆·开学考试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 3、 解答题 11.（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 12.已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 13.（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 14.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 15.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破3.1 一元一次不等式（组） （6知识梳理+14题型解读+15拓展训练） 知识梳理 知识01  不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“>”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． [易错点]：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识03  一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式． 【易错点】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 知识04  解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 知识05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集--用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”．（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围． 知识06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）． 【易错点】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 题型解读 【题型一 不等式的定义以及列不等式】 【例1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①，是不等式， ②是不等式， ③是代数式， ④是不等式， ⑤是等式， ⑥是不等式， ⑦是等式， ⑧是不等式， ⑨是不等式， 则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个， 故选：D 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)b与2的和小于； (2)x的一半与3的差不大于5； (3)a的绝对值不小于它本身； (4)m的6倍与3的和是非负数； (5)x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据不大于即小于和等于列出不等式即可． （3）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （4）根据非负数为大于等于0列出不等式即可． （5）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （6）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：b与2的和小于， 即． （2）解：x的一半与3的差不大于5， 即． （3）解：a的绝对值不小于它本身， 即． （4）解：m的6倍与3的和是非负数， 即． （5）解：x与y两数和的平方不小于7， 即． （6）解：a的n倍大于， 即． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： （2）解：根据题意可知： （3）解：根据题意可知： 【变式训练4】（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 【题型二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟练运用不等式的基本性质解题是本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】A．根据不等式的基本性质1，两边同时减，得，所以该选项错误，不符合题意；． B．依据不等式的基本性质2，两边同时除以4，得，该选项正确，符合题意； C．根据不等式的基本性质2，两边同时乘5，得，所以该选项错误，不符合题意； D．根据不等式的基本性质3，两边同时乘，不等号方向改变，得，所以该选项错误不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 【变式训练2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，由此即可求解． 【详解】解：， ∴A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，则，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式训练3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2），理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形． （1）根据不等式的性质分析即可求解； （2）根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：（1），且（已知）， （依据：不 等 式 的 性 质 2 ）， （依据：不 等 式 的 性 质 1）， 故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1； （2），理由如下： ，且（已知）， （依据：不等式的性质3）， （依据：不等式的性质1）． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：正确的解题过程如下： ， ． 【题型三 一元一次不等式（组）的定义】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式为一元一次不等式． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②有两个未知数，不是一元一次不等式； ③是分式，则不是一元一次不等式； ④未知数的次数是2，则不是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式； ⑥有两个未知数，不是一元一次不等式； 故正确的有①⑤，共两个， 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【变式训练4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【题型四 不等式（组）的解集以及在数轴上表示不等式（组）的解集】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 【变式训练1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集和解不等式．根据解不等式，结合选项即可求解． 【详解】解：A. ∵，解得： ∴是不等式的解，故该选项正确，符合题意；     B. 不等式，解得：的正整数解只有，故该选项不正确，不符合题意； C. 不等式的解集是     D. ∵ ∴是不等式的解集，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，由得，据此可得答案． 【详解】解：由得， ∴是不等式的解得是④，⑤4， 故答案为：④⑤． 【变式训练3】（2025·湖北武汉·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的运算法则是解本题的关键．先解不等式，再根据解集在数轴上表示的方法即可得出答案． 【详解】解：，解得， 在数轴上表示不等式的解集为：   ． 故选：B． 【变式训练4】（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上确定出解集，判断即可． 【详解】解：解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集为：； 故选：D． 【题型五 解一元一次不等式】 【例5】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出对应不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： （2）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解： 去分母，得 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 【变式训练2】（2025·浙江金华·二模）下面是小亮解不等式的过程： 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程从第步开始出现错误，正确解答见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，系数化为需要注意不等号的方向是否需要改变． 【详解】解：从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号， 小明的解答过程从第步开始出现错误， 正确解答过程如下： ， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料： 对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题： (1)_______； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据新定义可得答案； （2）根据新定义得出，再解之即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴的取值范围． 【变式训练4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）当x满足什么条件时，代数式的值比代数式的值小1？ （2）若（1）中x的值是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，已知不等式的解集的情况求参数的范围，正确的求出方程的解，不等式的解集，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程，进行求解即可； （2）求出不等式的解集，根据解集的情况，求出m的取值范围即可． 【详解】解：（1）由题意，得：， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴； ∵是关于x的不等式的解， ∴， ∴． 【题型六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025·陕西西安·二模）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 【答案】，见解析，正整数解为，2，3，4，5 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集．首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，2，3，4，5 【变式训练1】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先解不等式即，然后根据条件即可确定的取值范围，即可作答．本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有且只有三个负整数解， 则其负整数解为， ∴的取值范围为： ∴ 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：，如．求不等式的负整数解． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新定义的法则，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； ∴不等式的负整数解为：． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？ 【答案】1、2、3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和求不等式的正整数解，根据题意可得不等式，求出不等式的解集，进而求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值不小于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x可以取的正整数有1，2，3． 【变式训练4】（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知关于的方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的负整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟知解一元一次方程和解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）先解一元一次方程得到其解，再根据其解小于等于2建立关于a的不等式，解不等式即可得到答案； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而确定其负整数解，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的负整数解为， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴． 【题型七 一元一次不等式解的最值问题】 【例7】（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 【变式训练1】（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 【变式训练3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【答案】，满足条件的最小整数解为1 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程可得，再代入不等式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴关于的不等式为， 不等式的两边同乘以12，得， 解得， 所以满足条件的最小整数解为1． 【变式训练4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】(1)是 (2) (3)6 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【详解】（1）解方程，解得， 解不等式，解得， 满足不等式， 方程的解是一元一次不等式的“友好解”， 故答案为：是； （2）解：， 由②－①，得． 由，得， ∴，解得； （3）解：解方程，得． 由题意，得是不等式的“友好解”， ∴，解得， ∴m的最小整数值为6． 【题型八 解≥a型的不等式】 【例8】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 【变式训练1】（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 【变式训练2】（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 【题型九 解一元一次不等式组】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤，正确计算是解题的关键； （1）去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，即可求得每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）第一个不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；第二个不等式按照去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；再求出两解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； （2）解：第一个不等式去分母得：， 整理得：， 解得：； 第二个不等式去括号、移项、合并同类项，得：， 解得：， 则不等式组的解集为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2)原不等式组无解 【分析】本题主要考查求不等式组的解集，熟练掌握不等式的求解方法是解题关键 （1）先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可 【详解】（1）解： 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组无解 【变式训练2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 【变式训练3】（2025·陕西西安·三模）解方程组：． 【答案】该不等式组无解． 【分析】本题主要考查了解不等式组，掌握不等式组解集的确定方法成为解题的关键． 先求出各不等式的解集，然后根据不等式的解集确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得： ∴该不等式组无解． 【变式训练4】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 【题型十 求一元一次不等式组的整数解】 【例10】（2025·江苏扬州·二模）解不等式组：并求出不等式所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数求和即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解是：， ∴不等式组的整数解的和为． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式组，把它的解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，定边界，定方向，表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 【变式训练2】（20-21七年级下·河南信阳·期末）解不等式组，在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解为0和1 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解 【规范解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的非负整数解为0和1． 【题型十一 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②若，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它无解，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．根据不等式组解的情况，对进行讨论求解． 【详解】解：①若它的解集是， 则：，且， ， 故①正确； ②当时，不等式组无解， 故②不正确； ③由题意得：， 解得：， 故③不正确； ④由题意得：， 解得：， 故④正确． 故选：B． 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组有解， ，即， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组仅有三个整数解， ∴，且整数解为：， ∴， ∴； 故选A． 【变式训练4】（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由解为非负整数解，得到，且，即且， 不等式组整理得：， 由不等式组只有2个整数解，得到， 即， 解得：， 则符合题意，它们的和为8. 故选：C． 【题型十二 不等式组和方程组结合的问题】 【例12】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 【变式训练4】（24-25八年级下·广东梅州·期中）关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【题型十三 列一元一次不等式（组）】 【例13】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【规范解答】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【规范解答】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式训练3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【变式训练4】（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 【题型十四 一元一次不等式（组）的应用】 【例14】（2025·湖南衡阳·三模）电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下： “哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元） 1 2 210 3 4 480 (1)该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？ (2)某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？ 【答案】(1)“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件 (2)公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件． 根据题意，得， 解得：， 答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件． （2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件． 根据题意，得：， 解得， 则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件． 【变式训练1】（2025·四川绵阳·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设A种产x件，B种产品件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出x值，从而得出方案数． 【详解】解：设A种产x件，B种产品件， ， ， 因为x为整数， 所以，31，32 所以有3种方案 方案1，A产品30件，B产品20件； 方案2，A产品31件，B产品19件； 方案3，A产品32件，B产品18件． 有3种方案． 故选：B． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下： 每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格 及以下 a元/ 1.40元/ 超过不超过的部分 b元/ 1.40元/ 超过的部分 6.00元/ 1.40元/ [说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费] 已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元． (1)求a，b的值． (2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解． （1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 整理得：， 解得：； （2）解：当用水量为时，水费为：元，元， ∵， ∴小王家6月份的用水量超过， 设小王家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， ∴小王家6月份最多用水． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 【变式训练4】（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 拓展训练 一、选择题 1.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是，两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②中左边是分式，不是一元一次不等式； ③中含有个未知数，不是一元一次不等式； ④是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有个， 故选：． 2.（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质依次判断即可． 【详解】解：， ，故A错误； 当时，，故B错误； 当，时，，故C错误； ， ，故D正确； 故选：D． 3.（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 4.（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 5.（2025七年级下·全国·专题练习）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：， 解②得：， 关于的不等式组有且只有一个整数解， ， 解得：． 故选：B． 2、 填空题 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由左边图可知，2个的质量大于1个加1个的质量， ∴的质量大于的质量， 由右边图可知，3个的质量等于1个加1个的质量， ∴2个的质量等于1个的质量， 即的质量大于的质量， ∴“”、“”、“”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 7.（24-25八年级下·山东聊城·期中）若关于的不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 首先求出含有和的不等式组解集，再根据不等式组的解集为，求出和的值，即可得解． 【详解】解：解关于的不等式组得， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：． 8.（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 9.我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 10.（20-21八年级上·重庆·开学考试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 【答案】7 【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴，解得 解不等式组得： ∵关于的不等式组无解 ∴，解得 ∴ ∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个 故答案为7 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 3、 解答题 11.（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可； （2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可． 【详解】解：（1） 不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得 该不等式组得解集为， 非正整数解为，0． 12.已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范围； （2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，化简绝对值，合并同类项即可； （3）根据不等式以及不等式的解可确定，再结合（1）可进一步确定k的取值范围，取整数解即可． 【详解】解：（1）， ①+②得：，即， 又∵， ∴，即； （2）∵， ∴，， ∴； （3）由可得， 两边同时除以得到， 不等号的方向改变，故，解得， 由（1）可知，故， 故=-1时满足条件． 【点睛】本题考查解方程组，解不等式组，化简绝对值和求不等式组的整数解．（1）中掌握整体思想是解题关键；（2）中理解正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解决此题的关键；（3）中熟记不等式的三个性质，并且能根据不等式的性质进行分析是解题关键． 13.（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 (2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 14.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． 15.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$