6.4简单的三元一次方程组（教学课件）数学新教材冀教版七年级下册

6.4 简单的三元一次方程组 第六章 二元一次方程组 冀教版七年级数学下册 冀教版七年级数学下册 教学目标 素质目标 技能目标 知识目标 1、了解三元一次方程（组）的有关概念 2、能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法，会解简单的三元一次方程组． 类比二元一次方程组的解法进一步体会“化未知为已知”的化归思想，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 通过实际问题抽象出数学模型，提升分析问题解决问题能力，感受方程组的应用价值，增强学习兴趣 重点 1 掌握解三元一次方程组的基本思想和步骤 难点 2 如何选择合适的消元策略（代入或加减） 知识回顾 1、二元一次方程概念 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组的概念 方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组 3.二元一次方程组一般形式： 其中： a1,a2不同时为0, b1,b2不同时为0 二元一次方程（组）含义 4.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 化二元为一元 化归转化思想 解二元一次方程（组）方法 知识回顾 1.代入消元法 2 【代入】 3 【解元】 从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 1 【变形】 4 【求值】 2.加减消元法 2 【加减】 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 3 【解元】 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数 1 【变形】 将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 4 【求值】 4 新课导入 今有：上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗; 上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗; 上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗. 请问：上、中、下三等谷每束各得实几斗? 三元一次方程（组）含义 在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题: 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 若设上等谷x束，中等谷y束，下等谷z束，由题意可得到方程组是什么 ？ 上述问题中有几个未知数？ 议一议 3个 新课探究 三元一次方程（组）含义 1.方程组中三个方程有什么共同特点？ 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1； 2.类比二元一次方程，你能说出这样的三个方程是什么方程吗？ 是三元一次方程； 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.（linear equation with three unknowns） 三元一次方程定义 含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫作三元一次方程组(system of linear equations with three unknowns). 三元一次方程组的解 三元一次方程组中各个方程的公共解. 新课探究 三元一次方程（组）含义 三元一次方程组定义 三元一次方程组 三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组. 注意： 新课讲授 三元一次方程组解法 解三元一次方程组 ①×5+②消z得： ④ ③-① 消去z得： ⑤ 联立④、⑤得到关于x，y的二元一次方程组 解得 z=1 ∴方程组的解 将 先利用方程组中的①②、①③消去未知数z，将三元方程组转化为二元方程组 小明的想法 新课讲授 三元一次方程组解法 解三元一次方程组 你能帮助小丽求出这个三元一次方程组的解吗?与同学交流一下. ①+②消去y得： ④ ③-①消去z得： ⑤ 联立④、⑤得到 小丽的想法是 这样消元比较简单 这样做达到消元的目的了吗？ 新课讲授 三元一次方程组解法 解三元一次方程组 ①+②消去y得： ④ ③+①×3消去y得： ⑤ 联立④、⑤得到 方程组中每个方程都有三个未知数，需要先分两次消去同一个未知数，可以选①②、②③、①③这三种组合中的任意两组消去同一个未知数（加减消元） 解得 ∴方程组的解 将 例题精讲 三元一次方程组解法 例1、解三元一次方程组 解:由①，得： 将④分别代入②和③ 解这个二元一次方程组，得： 把x=4代入④ ∴原方程组的解为 方程组中有一个方程为二元方程，可以用二元方程中的一个未知数表示另一个未知数，代入其他两个方程，达到消元目的一个未知数(代入消元) 例题精讲 三元一次方程组解法 例2、解三元一次方程组 方程组中三个方程均为二元方程，观察方程组中各未知数的系数，选择一个二元方程保留，用另外两个方程消去所保留方程中没有的未知数，得到二元方程组 解:由①+③，得： 联立④、②得到 解这个二元一次方程组，得： 把y=4代入① ∴原方程组的解为 新课再探 三元一次方程组的应用 (1)在本题中，有几个等量关系?请分别表示出来. (2)设爸爸的年龄是x岁，妈妈的年龄是y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组. 有3个等量关系 已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸的年龄大12岁，他们的年龄分别是多少岁? 可列方程组为 （1）爸爸的年龄+妈妈的年龄+小明的年龄=92岁； （2）爸爸的年龄-2=妈妈的年龄； （3）小明的年龄+妈妈的年龄-爸爸的年龄=12. (3)解这个方程组. 新课再探 三元一次方程组的应用 已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸的年龄大12岁，他们的年龄分别是多少岁? 解：设爸爸的年龄是x岁，妈妈的年龄是y岁，小明的年龄是z岁，由题意得 解:由①-③，得： 即 把𝒙=𝟒𝟎代入② 解得： ∴方程组的解 把𝒙=𝟒𝟎，𝒚=𝟑𝟖,代入① 答：爸爸的年龄是40岁，妈妈的年龄是38岁，小明的年龄是14岁。 新课再探 例2 在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗;上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗.上、中、下三等谷每束各得实几斗? 三元一次方程组的应用 解：设上等谷x束，中等谷y束，下等谷z束，由题意可： ②×3 - ③，得 ① - ②得 ④×7+⑤，得 ∴原方程组的解为 7x=35. x=5. x-4y=5. x+y+z=5. 消元 求解 求解 代入 得解 得解 得解 得解 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 转化 转化 解三元一次方程组的基本方法和步骤 归纳总结 1.化“三元”为“二元” 2.化“二元”为“一元” （也就是消去一个未知数） 例3 解方程组 ① ③ ② 解: ③ - ②，得 ① + ④，得 ∴ ④ ∴原方程组的解： 把 x=1 代入方程①、③，分别得 变式训练 （1）方程组中有二元方程保留一个二元方程① 基本思路 （2）用方程组③ - ②消去①中没有的未知数z，然后与①联立解关于x，y的方程组 注意：在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次． 方法一： 解：①+②+③,得 即 ⑤－①,得 ⑤－②,得 ① ③ ② ⑤－③，得 ∴原方程组的解是 ⑤ ④ 变式训练 例3 解方程组 方法二： （1）方程组三个方程中未知数的系数比较有规律，将①+②+③会得到x+y+z的值作为④号方程 基本思路 （2）用方程组④ 整体代入消元或加减消元，进而分别求出未知数的值 变式训练 例4 解方程组 解：由①得 由②得 将④、⑤代入③得 将𝒚=𝟐𝟎分别代入④、⑤得 ∴方程组的解 【方法归纳】 类型一：有表达式，用 类型二：缺某元， 类型三：相同未知数系数相同或相反， 。 代入法 消某元 加减消元法 1.解方程组 解： 课堂练习 利用①+③和①-②先消去未知数z 利用①×2+③先消去未知数y 把x，y都用z的代数式表示后代入③ 利用利用①+③①×2-②消去未知数z 课堂小结 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用 含有三个未知数 每个方程中含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程 通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组 1.下列方程组不是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. D 提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数． 拓展练习 拓展练习 2．解方程组 以下解法不正确的是(　　) A．由①②消去z，再由①③消去z B．由①②消去z，再由②③消去z C．由①③消去y，再由①②消去y D．由①②消去z，再由①③消去y D 拓展练习 3.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表： 农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？ 解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、z公顷种蔬菜。由题意得 答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用。 4x+8y+5z=300， x+y+2z=67. x+y+z=51， x=15， y=20， 解得： z=16. 拓展练习 4．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数． 解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，组成以下方程组： 解这个方程组，得 答：甲为10，乙为9，丙为7. 5.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值。 拓展练习 解： 因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0。 可得方程组 解得 所以a＝－3，b＝－4，c＝－2。 $$