清单05 相交线、平行线与平移（5个考点清单+12个题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单05 相交线、平行线与平移 清单01 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 清单02 垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 清单03 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 清单04 平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 清单05 平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点提醒： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点提醒： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【考点题型一】对顶角、邻补角的识别（） 例题：（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期中）下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】利用对顶角的性质求角（） 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，，相交于点O，且平分，若比大，则的度数为(　　) A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建莆田·期末）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】利用垂线段最短（） 例题：（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）测量沙坑跳远成绩时，往往测量踏板前端到身体接触沙坑最后一个痕迹的垂线段的长度，其道理用数学知识解释正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务。如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点作于点．沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 3．（23-24七年级下·福建·期末）如图，处有个雨污分流工厂，计划铺设一条雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场．已知，，，以下挖渠方式能使管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】相交线中求角的度数问题（） 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【考点题型五】画垂线、平行线并求点到直线的距离（） 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【考点题型六】同位角、内错角、同旁内容角的识别（） 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，、被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点题型七】判断条件是否使两直线平行（） 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④.其中能判断的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【考点题型八】平行线的性质与判定（） 例题：（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，，说明：． 解：（已知）， ， （已知）， （ ）， （ ） （ ） 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数．    解：∵（    ）， ∴ （    ）， ∴ （    ）， ∴（    ）， 又∵已知， ∴（    ）， ∴ （    ）， ∴ （    ）， ∵（已知）， ∴ ． 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，，与互余， (1)猜想与的位置关系，并证明你的结论 (2)求的度数． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【考点题型九】生活中的平移现象（） 例题：（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）下列现象中，属于平移的是（    ） A．钟摆的摆动 B．铝合金窗户左右移动 C．电风扇的转动 D．骑自行车时车轮的转动 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列四幅图案中，能用其中的一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）苏州园林中的花窗图案丰富多样，美不胜收．下列花窗图案中可以由一个基本图案经过平移得到的是（　　） A．B． C． D． 【考点题型十】利用平移的性质求解（） 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G．则下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点，，，三角形的面积为1，下列结论：①；②三角形平移的距离是2；③；④四边形的面积为4，正确的有（    ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿射线的方向平移6个单位长度得到三角形，连接．则下列结论： ①且； ②四边形的面积等于四边形的面积； ③四边形的周长为36； ④． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型十一】利用平移解决实际问题（） 例题：（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西玉林·期末）为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【考点题型十二】平移与平行线的综合问题（） 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，三角形沿直线l向右平移得到三角形； (1)若，求的度数； (2)若，，求三角形平移的距离. 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 相交线、平行线与平移 清单01 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 清单02 垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 清单03 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 清单04 平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 清单05 平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点提醒： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点提醒： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【考点题型一】对顶角、邻补角的识别（） 例题：（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的知识，解题的关键是掌握对顶角的定义：两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线，即可． 【详解】解：∵对顶角的定义：两个角有一个公共顶角，并且一个角是另外一个角的两边的反向延长线， ∴A、与的两边互为反向延长线，符合题意； B、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意； C、与的两边没有互为反向延长线，不符合题意； D、与没有公共点，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 3．（23-24七年级下·云南昭通·期中）下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查了邻补角的定义，正确掌握邻补角的定义是解题的关键，根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，作出判断即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有选项C中的是邻补角， 故选：C． 【考点题型二】利用对顶角的性质求角（） 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角相等是解题的关键． 直接利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵直线与，它们相交于点O，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可． 【详解】解：的对顶角为， ． 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，，相交于点O，且平分，若比大，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等等知识，根据角平分线的定义，对顶角相等以及平角的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则， ∵比大， ∴， ∵，即， ∴， 即． 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建莆田·期末）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题考查了角度的计算，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【考点题型三】利用垂线段最短（） 例题：（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：， 要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）测量沙坑跳远成绩时，往往测量踏板前端到身体接触沙坑最后一个痕迹的垂线段的长度，其道理用数学知识解释正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段最短． 【详解】解：测量沙坑跳远成绩时，往往测量踏板前端到身体接触沙坑最后一个痕迹的垂线段的长度，其道理用数学知识解释为：垂线段最短， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）合理利用资源，防止环境污染，保持生态平衡，是环境保护的重要任务。如图，污水处理厂要从处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点作于点．沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建·期末）如图，处有个雨污分流工厂，计划铺设一条雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场．已知，，，以下挖渠方式能使管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形直角边小于斜边即可得到，进一步结合，则，即可求得挖渠方式能使管道最短的线段． 【详解】解：根据直角三角形直角边小于斜边，在中，；在中，；则， ∵， ∴， 则挖渠方式能使管道最短的是， 故选：B． 【考点题型四】相交线中求角的度数问题（） 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，对顶角相等 (2) 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，邻补角等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，邻补角是解题的关键． （1）由对顶角相等判断作答即可； （2）由，可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，数学依据是对顶角相等， 故答案为：，对顶角相等； （2）解：解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴的度数为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角和垂直定义、解一元一次方程，理解相关定义并正确进行角的运算是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，再根据邻补角定义求得，然后利用垂直定义求解即可； （2）设，则，利用角平分线的定义求得，再根平角定义得出x的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 【答案】(1)；，． (2) 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、对顶角的定义、找邻补角 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角： （1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为，． 故答案为：；，． （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直；理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算、利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角等知识．确定角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，即，由，，可得，计算求解即可； （2）由与互补，可得，则，即，则，进而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（或垂直），理由如下； ∵与互补， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点题型五】画垂线、平行线并求点到直线的距离（） 例题：（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【知识点】画垂线、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线以及垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题目要求结合网格特点即可作图． （2）结合垂线段最短性质，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）线段，，中，最短的线段是，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【考点题型六】同位角、内错角、同旁内容角的识别（） 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列四个图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题考查了同位角的定义：两条直线被同一条直线所截，在截线的同旁，在两直线的同侧的两个角角同位角，据此判断 【详解】解：A.与是同位角，故该项不符合题意； B.与是同位角，故该项不符合题意； C.与是不同位角，故该项符合题意； D.与是同位角，故该项不符合题意； 故选：C 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，与是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义、对顶角的定义，根据同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截得到的两个角，分别位于截线的同侧，被截线的同侧”求解即可． 【详解】解：由图可得，和是同位角， 故选：A． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，、被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握定义是解题的关键．根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：如图，、被所截， 和在和的上方，在的同一侧 的同位角是 故选：A． 3．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】对顶角相等、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键． 根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义， 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角． 同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 逐一判断即可． 【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确； ②∠4和∠8是同位角，说法正确； ③∠3和∠7是内错角，说法正确； ④∠4和∠7是同旁内角，说法正确； 结论一定正确的有①②③④共4个； 故选：A． 【考点题型七】判断条件是否使两直线平行（） 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据内错角相等，同旁内角互补逐一判断平行即可． 【详解】解：A、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不符合题意； B、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不能判断，符合题意； C、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不符合题意； D、，由“同旁内角互补，两直线平行”可判断，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、邻补角的定义理解 【分析】本题考查了平行线的判定，邻补角的定义，掌握平信线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，点分别在上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，故此选项符合题意； C、∵与为邻补角， ∴， 不能判定，故此选项不符合题意； D、由，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④.其中能判断的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行分别进行判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①∵，∴根据内错角相等两直线平行可得； ②∵，∴根据内错角相等两直线平行可得； ③∵，∴根据同位角相等两直线平行可得； ④∵，不能证明任两条直线平行； 故选：B． 【考点题型八】平行线的性质与判定（） 例题：（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答． （1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，，说明：． 解：（已知）， ， （已知）， （ ）， （ ） （ ） 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质和判定求解即可． 此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． 【详解】∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数．    解：∵（    ）， ∴ （    ）， ∴ （    ）， ∴（    ）， 又∵已知， ∴（    ）， ∴ （    ）， ∴ （    ）， ∵（已知）， ∴ ． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，进行作答即可． 【详解】解：解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵已知， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，，与互余， (1)猜想与的位置关系，并证明你的结论 (2)求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）平行结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）互余关系结合平行线的性质，推出，即可 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵与互余， ∴，即：， ∴． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【考点题型九】生活中的平移现象（） 例题：（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；     B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；     C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；     D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；     故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）下列现象中，属于平移的是（    ） A．钟摆的摆动 B．铝合金窗户左右移动 C．电风扇的转动 D．骑自行车时车轮的转动 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中钟摆的摆动，不属于平移，故不符合要求； B中铝合金窗户左右移动，属于平移，故符合要求； C中电风扇的转动，不属于平移，故不符合要求； D中骑自行车时车轮的转动，不属于平移，故不符合要求； 故选：B． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列四幅图案中，能用其中的一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据图形平移得性质即可求解，熟知平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，选项，，都不能通过平移得到，只有选项利用图形的平移得到， 故选：． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）苏州园林中的花窗图案丰富多样，美不胜收．下列花窗图案中可以由一个基本图案经过平移得到的是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 【考点题型十】利用平移的性质求解（） 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，三角形的面积，根据三角形平移性质逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，由平移的性质得：， ∴当点D为的中点时，，故选项A不一定正确，符合题意； 对于选项B，由平移的性质得：，故选项B正确，不符合题意； 对于选项C，由平移的性质得：， ， ， 即，故选项C正确，不符合题意； 对于选项D，由平移的性质得，则， 故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G．则下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可进行判断选项． 【详解】解：将沿方向平移一定距离得到， ，故①④正确； ，故②③正确； ， ， ，故⑤正确； 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点，，，三角形的面积为1，下列结论：①；②三角形平移的距离是2；③；④四边形的面积为4，正确的有（    ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④根据，得出，利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：①∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②平移距离应该是的长度， ∵，， ∴， 即三角形平移的距离大于2，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故③正确，符合题意； ④∵的面积是1，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 根据平移可知，， ∴， ∴ ，故④正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿射线的方向平移6个单位长度得到三角形，连接．则下列结论： ①且； ②四边形的面积等于四边形的面积； ③四边形的周长为36； ④． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，理解“平移前后对应线段平行且相等”是解题的关键． 根据平移的性质和平行线的性质以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵沿射线的方向平移个单位长度得到， ∴，，故①正确； 由题意可知，， ∴，即有， ∴，故②正确； 由题意可知，，， ∴四边形的周长为， 故③正确； 由平移性质可知，， ∴， 故④正确； 故选：D． 【考点题型十一】利用平移解决实际问题（） 例题：（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： =， 绿化区的面积是， 故选：B． 3．（23-24七年级下·广西玉林·期末）为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【答案】300 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和，即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∵， ∴小桥总长为． 故答案为：300． 【考点题型十二】平移与平行线的综合问题（） 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平移的性质求解、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，三角形沿直线l向右平移得到三角形； (1)若，求的度数； (2)若，，求三角形平移的距离. 【答案】(1) (2)4 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解； （2）由平移的性质可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由三角形沿直线l向右平移得到三角形可知：， ∴， ∵， ∴； （2）解：由平移的性质可知：， ∵，， ∴，即， ∴三角形平移的距离为4． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$