清单04 分式（5个考点清单+16个题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单04 分式 清单01 分式的定义及有意义与值为0 1.分式的定义：（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． 2.分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 清单02 分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 清单03 分式的运算 1.分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2.分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3.分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单04 分式方程 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 3.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4.分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 清单05 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的识别（） 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型二】分式有无意义的条件（） 例题：（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【考点题型三】判断分式变形是否正确（） 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】利用分式的基本性质判断分式值的变化（） 例题：（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 【考点题型五】最简分式、最简公分母（） 例题：（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分式与的最简公分母是 ． 【考点题型六】分式值为0时求值（） 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 2．（23-24七年级下·北京·期末）若分式的值为0，则x的值为 ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【考点题型七】分式的混合运算（） 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【变式训练】 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【考点题型八】分式的化简求值（） 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【考点题型九】分式方程的定义（） 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型十】解分式方程（） 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1)， (2)． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解下列分式方程： (1)； (2) 【考点题型十一】解分式方程错解复原问题（） 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【考点题型十二】已知方程的根的情况求参数的取值范围（） 例题：（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 2．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 4．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【考点题型十三】分式方程的实际应用（） 例题：（24-25八年级上·云南昆明·期末）“文房四宝”笔、墨、纸、砚起源于南北朝时期，是我国独有的书法绘画工具．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格是B型号的“文房四宝”的价格的倍，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的倍多元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了元和元． (1)求甲、乙两种无人机的单价． (2)该公司拟计划再订购这两种无人机共台，且总费用不超过元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？ 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【考点题型十四】与分式有关的规律性问题（） 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： (1)第4个等式是 ； (2)用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 【考点题型十五】与分式方程有关的规律性问题（） 例题：（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【考点题型十六】与分式及分式运算有关的新定义型问题（） 例题：（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 3．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 分式 清单01 分式的定义及有意义与值为0 1.分式的定义：（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． 2.分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 清单02 分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 清单03 分式的运算 1.分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2.分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3.分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单04 分式方程 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 3.解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4.分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 清单05 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的识别（） 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据定义逐个分析，即可求解． 【详解】解：在，，，，，中，，，是分式，共3个 故选：B． 【考点题型二】分式有无意义的条件（） 例题：（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 【考点题型三】判断分式变形是否正确（） 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 无法约分，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项不成立，不符合题意； B、，原选项不成立，不符合题意； C、，原选项成立，符合题意； D、，原选项不成立，不符合题意； 故选C． 【考点题型四】利用分式的基本性质判断分式值的变化（） 例题：（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分式中的x、y分别用替换，求出替换后的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为， ∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】 ∴x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值扩大到原来的3倍． 故选：C 【考点题型五】最简分式、最简公分母（） 例题：（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键． 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【考点题型六】分式值为0时求值（） 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 2．（23-24七年级下·北京·期末）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，因式分解，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故当时，分式的值为零． 故答案为：． 【考点题型七】分式的混合运算（） 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键； （1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）； ， ； （2） = ． 【考点题型八】分式的化简求值（） 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握方法是解答本题的关键，先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 当时， 原式， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 【答案】，0 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解；分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，同时将除法变成乘法，约分后得到最简结果；然后解不等式组求出不等式组的整式解，得到m的值，再代入计算即可． 【详解】解： ； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为或或0或1， ∵，， ∴， 当时，原式． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；3 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据根式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 因为， 所以， 所以； 当时，原式． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 【考点题型九】分式方程的定义（） 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 【考点题型十】解分式方程（） 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程： (1)， (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可； （）按照解分式方程的步骤解答即可； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解下列分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：把代入最简公分母， 所以是原方程的增根，应舍去． 因此原方程无解． 【考点题型十一】解分式方程错解复原问题（） 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)五，没有对分式方程的根进行检验 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质； （2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：观察可知，上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验， 故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 【答案】(1)B (2)一；去分母时，第二项没有乘以 (3) 【分析】（1）在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， （2）第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， （3）根据解分式方程的方法，即可求解， 本题考查了，解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 【详解】（1）解：在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：B， （2）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， 故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以， （3）解： ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 【考点题型十二】已知方程的根的情况求参数的取值范围（） 例题：（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．将分式方程化为整式方程，解得，再利用原方程的解为正数，得到且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有正数解， 且， 且， 且且， 且． 故答案为：且． 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【答案】4或0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解分式方程： 去分母得：， 当时， ， 当时， ， 故m的值为4或0． 故答案为∶ 4或0． 2．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 3．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】0或3/3或0 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴或或， 解得或1或3， 当时，， 解得，此时，符合题意； 当时，， 解得，此时，不合题意，舍去； 当时， 解得，此时，符合题意； 所以或3． 故答案为：0或3． 4．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 【考点题型十三】分式方程的实际应用（） 例题：（24-25八年级上·云南昆明·期末）“文房四宝”笔、墨、纸、砚起源于南北朝时期，是我国独有的书法绘画工具．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格是B型号的“文房四宝”的价格的倍，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设每套B型号的“文房四宝”的价格为x元，则每套A型号的“文房四宝”的价格为元，根据为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每套B型号的“文房四宝”的价格为x元， 则每套A型号的“文房四宝”的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的工程问题、不等式组的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的倍多元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了元和元． (1)求甲、乙两种无人机的单价． (2)该公司拟计划再订购这两种无人机共台，且总费用不超过元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？ 【答案】(1)甲种无人机的单价是元， 乙种无人机的单价是元； (2)该公司最多可以购买台乙种型号的无人机． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设甲种无人机的单价是 元，则乙种无人机的单价为 元．根据题意列出方程 ，然后解方程并检验即可； （）设购买乙种无人机 台，则购买甲种无人机台，根据题意得 ，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种无人机的单价是元，则乙种无人机的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种无人机的单价是元，乙种无人机的单价是元； （2）解：设购买乙种无人机台，则购买甲种无人机台， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：该公司最多可以购买台乙种型号的无人机． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【知识点】异分母分式加减法、几何问题(一元一次方程的应用)、不等式的性质、分式方程和差倍分问题 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 【考点题型十四】与分式有关的规律性问题（） 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题、异分母分式加减法 【分析】本题考查找规律，分式的运算． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个等式； （2）先写出猜想，然后将等号两边的式子化简，即可证明猜想成立． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为：， 证明：∵左边， 右边左边， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． （1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为：； （2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律： ， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）有下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请你按照上面的规律解答下列问题： (1)第4个等式是 ； (2)用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分式的规律性问题、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式等式的规律，分式的加减混合运算，通过前3个等式找出等式分母的变化规律，是解题的关键． （1）根据规律直接得出 第④个等式； （2）根据规律可以得出第n个等式，然后利用分式的加减混合运算法则计算得出结果． 【详解】（1）； （2）由以上规律可知：， 证明：左边． 右边． ∵左边右边． ∴． 【考点题型十五】与分式方程有关的规律性问题（） 例题：（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：, 然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：, 再方程两边同时减去3，方程变形为, 再根据题意给出的规律，即可得出答案 【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程的解为： ，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， ∴， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式的规律性问题 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： 第1个等式；； 第2个等式：； 第3个等式；； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请计算的值； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)n的值为 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：， 当时， ； （2）解：由（1）知， 猜想第n个等式为：， 理由如下： 左边 右边，故此等式成立． （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 因为， 所以， 解得 当时，， 所以是原分式方程的解， 故n的值为． 【考点题型十六】与分式及分式运算有关的新定义型问题（） 例题：（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明见解析 (2) (3)1 【知识点】同分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； （2）解：关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$