专题04 分式（考点串讲，3大考点+19大题型突破+7大易错剖析）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题04 分式 沪科版 2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 十九大题型典例剖析 七大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 B D C A D x＋1 C C 专题强化一　分式的化简求值技巧 题型剖析 D 专题强化二　分式方程及其应用 1 －8 A A 易混易错 1. [2024信阳期末]化简 ＋ 的结果是(　B　) A. 0 B. 1 C. D. a －2 B 押题预测 2. [2023唐山路北区期末]若关于 x 的方程 － ＝1的解为整数，则整数 a 的值的个数为(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 点拨：两边都乘 x ( x －1)，得 x ( x － a )－3( x －1)＝x ( x －1)，解得 x ＝ .由题意得 为整数， a 为整数， C ∴ a ＋2＝3或1或－1或－3.∵ 不能为0或1， ∴ a ＋2≠3，∴ a ＋2＝1或－1或－3，解得 a ＝－1或－3或－5，共3个值. 3. [2023邢台期末]对于分式 ，若将 x ， y 的值都扩大到原来的3倍，则分式的值(　A　) A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 不变 D. 无法确定 A 4. [2023绍兴期末]现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表. 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数/千克 20 10 20 单价/(元/千克) 15 20 25 商店以糖的平均价(平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数)作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克. 12.5　 5. [2023保定竞秀区期末]已知分式 A ： ÷ ，解答下列问题： (1)化简分式 A . 解：(1) ÷ ＝ · ＝ · ＝ · ＝ x －4. (2)分式 A 的值能等于－2吗？请说明理由. 解：(2)分式 A 的值不能等于－2.理由：若 A ＝－2， 则 x －4＝－2，解得 x ＝2. ∵当 x ＝2时，原分式无意义， ∴分式 A 的值不能等于－2. 　分式的概念及基本性质 1．分式eq \f(－a,m－n)与下列分式相等的是(　　) A.eq \f(a,m－n)　 B．eq \f(a,－m＋n) C．eq \f(a,m＋n)　 D．－eq \f(a,m＋n) 2．分式eq \f(－1＋2x－x2,x2－1)约分等于(　　) A．1－x B．1＋x C．－eq \f(1－x,1＋x) D．eq \f(1－x,1＋x) 3．若将分式eq \f(3x2,x2－y2)与分式eq \f(x,2x－y)通分后，分式eq \f(x,2x－y)的分母变为2(x－y)(x＋y)，则分式eq \f(3x2,x2－y2)的分子应变为(　　) A．6x2(x－y)2 B．2(x－y) C．6x2 D．6x2(x＋y) 4．在代数式eq \f(2x2,x)，eq \f(ab,3)，eq \f(1,3x)，eq \f(2,x－y)中，是分式的有 ，是最简 分式的有 . 5．已知分式eq \f(2x－m,x－n)，当x＝2时，分式的值为0；当x＝－2时，分式无意义，则mn＝ . eq \f(2x2,x)，eq \f(1,3x)，eq \f(2,x－y) eq \f(1,3x)，eq \f(2,x－y) eq \f(1,16) 　分式的运算 6．当分式－eq \f(1,xy)与－eq \f(1,x2y)经过计算后的结果是－eq \f(x＋1,x2y)时，则它们进行的运算是(　　) A．分式的加法 B．分式的减法 C．分式的乘法 D．分式的除法 7．(济宁中考)计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3，结果是(　　) A．2a5－a B．2a5－eq \f(1,a) C．a5 D．a6 8．(潍坊中考)计算：(1－eq \f(1,x－1))÷eq \f(x－2,x2－1)＝ . 9．化简下列各式： (1)eq \f(m2－n2,m－n2)·(eq \f(n－m,mn))2÷eq \f(m＋n,m)； 解：原式＝eq \f(m－n,mn2)； (2)eq \f(x2－4x＋4,x2－4)＋eq \f(x－2,x2＋2x)＋2. 解：原式＝eq \f(3x2＋3x－2,xx＋2). 10．(东莞中考)先化简，再求值：(eq \f(3,a＋1)－a＋1)÷eq \f(a2－4a＋4,a＋1)＋eq \f(4,a－2)－a，并从－1,0,2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 解：原式＝(eq \f(3,a＋1)－eq \f(a2－1,a＋1))·eq \f(a＋1,a－22)＋eq \f(4,a－2)－a＝eq \f(4－a2,a＋1)·eq \f(a＋1,a－22)＋eq \f(4,a－2)－a＝eq \f(2＋a2－a,a－22)＋eq \f(4,a－2)－a＝eq \f(－2－a,a－2)＋eq \f(4,a－2)－a＝eq \f(2－a,a－2)－a＝－1－a.由题意可知a≠－1且a≠2，∴当a＝0时，原式＝－1. 　分式方程及其应用 11．下列关于方程eq \f(3,x2－x)＋eq \f(6,1－x2)＝eq \f(7,x2＋x)的解的情况，说法正确的是(　　) A．0是它的解 B．－1是它的解 C．原分式方程无解 D．1是它的解 12．关于x的分式方程eq \f(7x,x－1)＋5＝eq \f(2m－1,x－1)有增根，则m的值为(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 13．(江西中考)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其 中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设 小明通过AB的速度是x米/秒，根据题意列方程得 . eq \f(6,x)＋eq \f(6,1.2x)＝11 14．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元． (1)若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价； (2)若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据(1)中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵． 解：(1)设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为(x＋2)元．依题意得：eq \f(2500,x)＝eq \f(3500,x＋2)，解得x＝5.经检验x＝5是原分式方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元； (2)设购买梨树苗a棵，则购买苹果树苗(1100－a)棵．依题意得：(5＋2)(1100－a)＋5a≤6000.解得a≥850.答：梨树苗至少购买850棵． 强化角度1 整体通分 1．计算：eq \f(a2,a＋1)－a＋1. 解：原式＝eq \f(a2,a＋1)－(a－1)＝eq \f(a2,a＋1)－eq \f(a2－1,a＋1)＝eq \f(1,a＋1). 强化角度2 先约分，再通分 2．计算：eq \f(y2＋6y＋9,y2＋3y)－eq \f(y2－3y,y2－9). 解：原式＝eq \f(y＋32,yy＋3)－eq \f(yy－3,y＋3y－3)＝eq \f(y＋3,y)－eq \f(y,y＋3)＝eq \f(y＋32,yy＋3)－eq \f(y2,yy＋3)＝eq \f(y2＋6y＋9－y2,yy＋3)＝eq \f(6y＋9,y2＋3y). 强化角度3 逐步通分 3．计算：eq \f(1,a－1)－eq \f(1,a＋1)－eq \f(2,a2＋1)－eq \f(4,a4＋1). 解：原式＝eq \f(a＋1,a－1a＋1)－eq \f(a－1,a＋1a－1)－eq \f(2,a2＋1)－eq \f(4,a4＋1)＝eq \f(2,a2－1)－eq \f(2,a2＋1)－eq \f(4,a4＋1)＝eq \f(2a2＋1,a2－1a2＋1)－eq \f(2a2－1,a2－1a2＋1)－eq \f(4,a4＋1)＝eq \f(4,a4－1)－eq \f(4,a4＋1)＝eq \f(4a4＋1,a4－1a4＋1)－eq \f(4a4－1,a4－1a4＋1)＝eq \f(8,a8－1). 强化角度4 分组通分 4．计算：eq \f(1,x－4)－eq \f(2,x－2)＋eq \f(2,x＋2)－eq \f(1,x＋4). 解：原式＝(eq \f(2,x＋2)－eq \f(2,x－2))＋(eq \f(1,x－4)－eq \f(1,x＋4)) ＝eq \f(－8,x＋2x－2)＋eq \f(8,x－4x＋4) ＝eq \f(－8x2－16＋8x2－4,x2－4x2－16)＝eq \f(96,x2－4x2－16). 强化角度5 分离分子 5．计算eq \f(x＋2,x＋1)－eq \f(x＋3,x＋2)＋eq \f(x－5,x－4)－eq \f(x－4,x－3). 解：原式＝(1＋eq \f(1,x＋1))－(1＋eq \f(1,x＋2))＋(1－eq \f(1,x－4))－(1－eq \f(1,x－3))＝eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x＋2)－eq \f(1,x－4)＋eq \f(1,x－3) ＝eq \f(1,x＋1x＋2)－eq \f(1,x－3x－4) ＝eq \f(－10x＋10,x＋1x＋2x－3x－4). 强化角度6 裂项相消 6．计算eq \f(1,x2＋x)＋eq \f(1,x2＋3x＋2)＋eq \f(1,x2＋5x＋6). 解：原式＝eq \f(1,xx＋1)＋eq \f(1,x＋1x＋2)＋eq \f(1,x＋2x＋3)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x＋2)＋eq \f(1,x＋2)－eq \f(1,x＋3)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋3)＝eq \f(3,x2＋3x). 强化角度7 巧用分配律 7．(eq \f(x,x－2)－eq \f(2,x＋2))·(x2－4)－x2. 解：原式＝eq \f(x,x－2)·(x2－4)－eq \f(2,x＋2)·(x2－4)－x2＝x2＋2x－2x＋4－x2＝4. 强化角度8 巧用乘法公式 8．计算(x＋eq \f(1,x))(x2＋eq \f(1,x2))(x4＋eq \f(1,x4))(x2－1)(x≠1且x≠0)． 解：∵x≠0且x≠1，∴原式＝[(x－eq \f(1,x))(x＋eq \f(1,x))(x2＋eq \f(1,x2))(x4＋eq \f(1,x4))·(x2－1)÷(x－eq \f(1,x))]＝(x8－eq \f(1,x8))(x2－1)×eq \f(x,x2－1)＝x9－eq \f(1,x7). 强化角度9 谨防求值中的隐含条件 9．(黑龙江中考)先化简，再求值：(eq \f(m,m－2)－eq \f(2m,m2－4))÷eq \f(m,m＋2)，请在2，－2,0,3当中选一个合适的数代入求值． 解：原式＝[eq \f(m,m－2)－eq \f(2m,m－2m＋2)]·eq \f(m＋2,m)＝eq \f(m,m－2)·eq \f(m＋2,m)－eq \f(2m,m－2m＋2)·eq \f(m＋2,m)＝eq \f(m＋2,m－2)－eq \f(2,m－2)＝eq \f(m,m－2).由各分式(包括化简过程)的分母不为0，得m≠2，－2,0，所以当m＝3时，原式＝3. 强化角度10 设参数求值 10．已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)(xyz≠0)，求eq \f(3x＋2y－3z,2x＋y＋5z)的值． 解：设eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴原式＝eq \f(3·2k＋2·3k－3·4k,2·2k＋3k＋5·4k)＝0. 11．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq \f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值． 解：以x、y为主元，将已知两个等式转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－3y＝6z,x＋2y＝7z))，解得x＝3z，y＝2z(z≠0)． 所以，原式＝eq \f(5×9z2＋2×4z2－z2,2×9z2－3×4z2－10z2)＝－13. 强化角度11 巧取倒数求值 12．已知a＋eq \f(1,a)＝5，求eq \f(a2,a4＋a2＋1)的值． 解：∵eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋eq \f(1,a2)＋1＝(a＋eq \f(1,a))2－1＝25－1＝24，∴eq \f(a2,a4＋a2＋1)＝eq \f(1,24). 强化角度12 整体代入求值 13．已知数a满足a2＋4a－8＝0，求eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a2－1)·eq \f(a2－2a＋1,a2＋6a＋9)的值． 解：原式＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a＋1a－1)·eq \f(a－12,a＋32)＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a－1,a＋1a＋3)＝eq \f(4,a2＋4a＋3). 由a2＋4a－8＝0得，a2＋4a＝8，故原式＝eq \f(4,11). 14．已知a＋b＋c＝0，求a(eq \f(1,b)＋eq \f(1,c))＋b(eq \f(1,a)＋eq \f(1,c))＋c(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))的值． 解：原式＝eq \f(a,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,a)＋eq \f(b,c)＋eq \f(c,a)＋eq \f(c,b)＝eq \f(a＋c,b)＋eq \f(a＋b,c)＋eq \f(b＋c,a)，∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a，∴原式＝eq \f(－b,b)＋eq \f(－c,c)＋eq \f(－a,a)＝－3. 强化角度1 根据分式方程解的定义求字母的值 1．(成都中考)已知x＝3是分式方程eq \f(kx,x－1)－eq \f(2k－1,x)＝2的解，那么实数k的值为(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　　 D．2 2．关于x的分式方程eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)与分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值． 解：解分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)，得x＝3.将x＝3代入eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)，得eq \f(2,7)＝eq \f(m,3).解得m＝eq \f(6,7).∴求m2－2m＝(eq \f(6,7))2－2×eq \f(6,7)＝－eq \f(48,49). 强化角度2 根据分式方程有增根求字母的值 3．(宿迁中考)若关于x的分式方程eq \f(m,x－2)＝eq \f(1－x,2－x)－3有增根，则实数m的值是 . 4．若关于x的方程eq \f(m,x2－9)＋eq \f(2,x＋3)＝eq \f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值． 解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)得，m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，当原方程的增根是x＝3时，m＝6；当原方程的增根是x＝－3时，m＝12. 强化角度3 根据分式方程无解求字母的值 5．若关于x的方程eq \f(x－1,x－5)＝eq \f(m,10－2x)无解，则m＝ . 6．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：eq \f(？,x－2)＋3＝eq \f(1,2－x). (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 解：(1)方程两边同时乘(x－2)得5＋3(x－2)＝－1，解得x＝0，经检验x＝0是原分式方程的解； (2)设？为m，方程两边同时乘以(x－2)得m＋3(x－2)＝－1，由于x＝2是原分式方程的增根，所以把x＝2代入上面的等式得m＋3(2－2)＝－1，解得m＝－1.所以，原分式方程中“？”代表的数是－1. 强化角度4 根据分式方程有解求字母的取值范围 7．(黑龙江中考)已知关于x的分式方程eq \f(2x－m,x－3)＝1的解是非正数，则m的取值范围是(　　) A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 8．m为何值时，关于x的方程eq \f(3,x)＋eq \f(6,x－1)＝eq \f(x＋m,xx－1)有解？ 解：将分式方程去分母，得3(x－1)＋6x＝x＋m.化简，得8x－3＝m.解得x＝eq \f(m＋3,8).原分式方程的最简公分母为0的x的取值是0或1.故当eq \f(m＋3,8)≠0且eq \f(m＋3,8)≠1时，原分式方程有解．由此可知，m≠－3且m≠5. 强化角度5 列分式方程解应用题 9．A、B两地相距135 km，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5 h，小汽车比大汽车晚到30 min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．设大汽车的速度为2x km/h，则所列方程是(　　) A.eq \f(135,2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(135,5x)＋5　　 B．eq \f(135,2x)－eq \f(1,2)＝eq \f(135,5x)－5 C.eq \f(135,2x)－eq \f(1,2)＝eq \f(135,5x)＋5 D．eq \f(135,2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(135,5x)－5 10．甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少字？李明同学是这样解答的： 设甲同学打印一篇3000字的文章需要x分钟．根据题意，得eq \f(3000,x)－eq \f(2400,x)＝12.① 解得：x＝50.经检验x＝50是原方程的解．② 答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．③ (1)请从①、②、③三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来； (2)请你用直接设未知数的方法列方程，不需解答． 解：(1)第③步不正确，应为：甲每分钟打字eq \f(3000,50)＝60(个)，乙每分钟打字60－12＝48(个)； (2)设乙每分钟打字x个，则甲每分钟打字(x＋12)个．根据题意，得eq \f(3000,x＋12)＝eq \f(2400,x). 强化角度6 方案设计型应用题 11．市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天，由题意得eq \f(1,x)＋eq \f(1,2x)＝eq \f(1,10).解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.2×15＝30(天)．答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天； (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 解：方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15＝67.5(万元)；方案二：由乙工程队单独完成需要2.5×30＝75(万元)；方案三：由甲、乙两队合作完成需要4.5×10＋2.5×10＝70(万元)．所以选择甲工程队单独完成此项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少． 强化角度7 分式方程与不等式的综合应用 12．国庆节前夕，一网店销售三种规格的手摇小国旗，其部分相关信息如下表： 型号 规格(mm) 批发价 (元/面) 建议零售价 (元/面) 大号 45×30 2.00 中号 28×20 1.50 小号 22×14 已知大号小国旗比中号的批发价贵0.3元，小号小国旗比中号的批发价便宜0.1元 .某小商品零售商店，第一次用 380元购进了一批大号小国旗，紧接着又用780元购进了第二批中号小国旗，第二批的数量是第一批的3倍． (1)求三种型号小国旗的批发价分别是多少元？ (2)该商店很快又购进了第三批小号小国旗1200面．如果三批小国旗全部按网店建议零售价销售完后，该零售商店获利不少于1980 元，那么小号小国旗的建议零售价至少为多少元？ 解：(1)设中号小国旗的批发价为x元，则大号的批发价为(x＋0.3)元，根据题意，得eq \f(780,x)＝3×eq \f(380,x＋0.3)，解得x＝0.65，经检验x＝0.65是分式方程的解，∴x＋0.3＝0.95，x－0.1＝0.55.答：大、中、小国旗的批发价分别为0.95元、0.65元、0.55元； (2)设小号小国旗的建议零售价为y元，由(1)知，大号的数量为380÷0.95 ＝ 400(面)，中号的数量为400×3 ＝ 1200(面)，根据题意得，400×(2－0.95)＋1200×(1.5－0.65)＋1200(y－0.55)≥1980，解得y≥1.答：小号小国旗的建议零售价至少为1元． $$