清单02 一元一次不等式与不等式组（7个考点清单+12个题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单02 一元一次不等式与不等式组 清单01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 清单02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 清单03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 清单04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 清单05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【考点题型一】不等式的定义（） 例题：（23-24七年级下·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【考点题型二】不等式的基本性质（） 例题：（23-24七年级下·全国·期末）若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则下列各式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型三】解一元一次不等式（组）（） 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）解不等式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 3．（24-25八年级上·广西贵港·期末）解不等式组在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 【考点题型四】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 例题：（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得第一步 第二步   由②，得第三步 第四步   不等式组的解是第五步 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【考点题型五】根据一元一次不等式的解集求参数（） 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果关于的不等式解集为，则的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ．    【考点题型六】利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于的不等式只有4个正整数解，则的取值范围为 ． 3．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【考点题型七】利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为 ． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于的不等式组有4个整数解，那么实数的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【考点题型八】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·云南昭通·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ． 【考点题型九】整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题（） 例题：（23-24七年级下·北京延庆·期末）如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）已知关于，的方程组，其中，则的取值范围是 3．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）若关于x、y的方程组的解满足，则k的最小整数值是 ． 【考点题型十】整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题（） 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【考点题型十一】用一元一次不等式（组）的解决实际问题（） 例题：（23-24七年级下·新疆克拉玛依·期末）围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴．“家乡好”超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，购进甲种葡萄15千克和乙种葡萄20千克需要430元；购进甲种葡萄10千克和乙种葡萄8千克需要212元； (1)求甲乙两种葡萄的单价； (2)超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种葡萄m千克（m为正整数），求有几种购买方案？ 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市为了中学生能吃上放心的午餐，要求学校周边不允许有“三无”的午餐叫卖，三月份，某一餐饮公司向学生推荐甲、乙两种午餐可供选择，甲种午餐每盒25元，乙种午餐每盒20元，某校七年一班的学生一天中午，共花费了1000元订购了该餐饮公司的午餐48盒． (1)试问七年一班甲、乙两种午餐各订了多少盒． (2)由于这个餐饮公司的午餐深受七年一班学生的好评，所以七年二班的学生也想在四月份订购该餐饮公司的午餐，若七年二班订购的乙种午餐比甲种午餐盒数的 多5盒，他们准备了850元，试问七年二班最多能买几盒甲种午餐？ 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）“花田里”小区为激励居民积极参与“节约用水，拒绝浪费”的社区活动，决定购买大米和食用油作为参与活动的奖品，奖励给节约用水表现优异的居民．若购买3袋大米和4桶食用油共需375元，购买5袋大米和2桶食用油共需345元． (1)请问大米和食用油的单价是多少元？ (2)现准备购买大米和食用油共140件，且要求购买食用油的费用不低于购买大米的费用，所有购买的资金不超过7240元，请问有哪几种购买方案？ 3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）中国书法的工具和材料基本上是由笔、墨、纸、砚演变而来的，人们通常把它们称为“文房四宝”，实验中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团．经过市场调研后最终确定为学生购买甲、乙两种“文房四宝”，已知购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元． (1)每套甲种“文房四宝”和每套乙种“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种“文房四宝”共100套，总费用不超过8360元，并且根据学生需求，要求购进甲种“文房四宝”的数量低于乙种“文房四宝”数量的2倍，共有几种购买方案？最低费用是多少元？ 【考点题型十二】一元一次不等式（组）中的新定义型问题（） 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对a、b定义一种新运算：. 如： (1)计算： . (2)若，求m、n的值. (3)若，求x的取值范围. 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元一次不等式与不等式组 清单01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 清单02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 清单03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 清单04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 清单05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【考点题型一】不等式的定义（） 例题：（23-24七年级下·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可． 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式不含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式含有个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】不等式的基本性质（） 例题：（23-24七年级下·全国·期末）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确，不符合题意； B．∵，∴，故不正确，不符合题意； C．∵，∴，故不正确，不符合题意； D．∵，∴，正确，符合题意； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、， 故A不符合题意； B、， ， 故B不符合题意； C、， ， 故C符合题意； D、， ， 故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则下列各式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， 即，该选项正确，不合题意； 、∵， 当时，；当时，， ∴不一定成立，该选项错误，符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A．若若，，则，选项正确，不符合题意； B．当时不成立，选项错误，符合题意； C．由可得，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，选项正确，不符合题意； D．，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，选项正确，不符合题意． 故选：B． 【考点题型三】解一元一次不等式（组）（） 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：     数轴表示如下： （2）解： 解①得：，         解②得， 不等式组的解为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）解不等式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组，解不等式组并在数轴上将解集表示出来是解题的关键； 根据题意求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可求解； 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得， 故该不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 3．（24-25八年级上·广西贵港·期末）解不等式组在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解为0和1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后在数轴上画出解集即可 【详解】解：， 解不等式①，得：，解不等式②，得：， 不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 不等式组的非负整数解为：0和1 【考点题型四】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 例题：（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可； 任务二：根据不等式的解法作答即可． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （2）去分母，得…第一步 去括号，得……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 在数轴上表示如图所示： 任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 两边都除以，得．⑤ 【答案】①，过程见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得第一步 第二步   由②，得第三步 第四步   不等式组的解是第五步 【答案】第一次出错在第三步； 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．根据去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，即可求解． 【详解】解：解不等式组的过程有错误，第一次出错在第三步；       由①得， ， 由②得， ， 所以不等式组的解是． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 【考点题型五】根据一元一次不等式的解集求参数（） 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是 ． 【答案】/0.5 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集、解一元一次方程，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于的一元一次方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴可得该不等式的解集为：， ， 解之得，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：由不等式得：， ∵由数轴可知， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果关于的不等式解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意可知关于的不等式解集为，则的系数的正数，再根据这个结果求出的取值范围，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵关于的不等式解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ．    【答案】3 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式表示不等式的解集，求出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴可得不等式的解集为：， ∴， 则． 故答案为：3． 【考点题型六】利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 【答案】10 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴， ∴a的取值范围是． ∴整数a的最小值是10． 故答案为：10． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于的不等式只有4个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了不等式的整数解，首先确定不等式的正整数解，则a的范围，根据a的取值范围正确确定a与4和5的关系是关键． 【详解】解：关于x的不等式只有4个正整数解， 则正整数解是：1，2，3，4， 则a的取值范围：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型七】利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【详解】解： 解不等式 得：， 解不等式得：. 则不等式组的解集是：， ∵不等式组只有两个整数解，是和0． ∴． 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组的解法．根据题意，先各解出每个不等式，再根据不等式组有4各整数解来确定其范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组恰好有4个整数解 解得． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于的不等式组有4个整数解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解每个不等式可得，根据不等式组只有四个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴ ∵不等式组有四个整数解， ∴整数解是1，2，3，4； ∴ ∴， 故答案为： 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ． 【答案】1或4/4或1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵关于x的不等式组所有整数解的和为9 ∴或者 则或者 ∴或 故答案为：1或4 【考点题型八】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（） 例题：（23-24七年级下·云南昭通·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据不等式组有解即可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组有解， ， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程组，先求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组的解集可得一个关于a的一元一次方程组，解方程组可得a的值即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）关于x的不等式组无解，a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴，解得： 故答案为：． 【考点题型九】整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题（） 例题：（23-24七年级下·北京延庆·期末）如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出，再结合题意得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解： ， ， ∵关于的方程的解为负数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，把看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出的范围，即可得出答案，列出关于的不等式求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：由解得， ∵关于的方程的解是非负数， ∴，解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）已知关于，的方程组，其中，则的取值范围是 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要列出了二元一次方程的解和解二元一次方程．把方程①减去方程②得到，然后根据，列出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， ①②得：， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）若关于x、y的方程组的解满足，则k的最小整数值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的范围，将两个方程相加后，结合方程组的解的情况，得到关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴k的最小整数值是； 故答案为：． 【考点题型十】整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题（） 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 【考点题型十一】用一元一次不等式（组）的解决实际问题（） 例题：（23-24七年级下·新疆克拉玛依·期末）围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴．“家乡好”超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，购进甲种葡萄15千克和乙种葡萄20千克需要430元；购进甲种葡萄10千克和乙种葡萄8千克需要212元； (1)求甲乙两种葡萄的单价； (2)超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种葡萄m千克（m为正整数），求有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种葡萄的单价为元/千克，乙种葡萄的单价为元/千克； (2)有三种购买方案：方案一：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案二：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案三：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键． （1）设甲种葡萄的单价为元/千克，乙种葡萄的单价为元/千克，根据“购进甲种葡萄15千克和乙种葡萄20千克需要430元；购进甲种葡萄10千克和乙种葡萄8千克需要212元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种葡萄m千克，则购买乙种葡萄千克，根据“投入资金不少于1160元又不多于1168元”列一元一次不等式组，求出的取值范围，进而得到的可能取值，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种葡萄的单价为元/千克，乙种葡萄的单价为元/千克， 由题意得：，解得：， 答：甲种葡萄的单价为元/千克，乙种葡萄的单价为元/千克； （2）解：设购买甲种葡萄m千克，则购买乙种葡萄千克， 由题意得：， 解得：， m为正整数 的可能取值为58、59、60， 即有三种购买方案：方案一：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案二：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案三：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市为了中学生能吃上放心的午餐，要求学校周边不允许有“三无”的午餐叫卖，三月份，某一餐饮公司向学生推荐甲、乙两种午餐可供选择，甲种午餐每盒25元，乙种午餐每盒20元，某校七年一班的学生一天中午，共花费了1000元订购了该餐饮公司的午餐48盒． (1)试问七年一班甲、乙两种午餐各订了多少盒． (2)由于这个餐饮公司的午餐深受七年一班学生的好评，所以七年二班的学生也想在四月份订购该餐饮公司的午餐，若七年二班订购的乙种午餐比甲种午餐盒数的 多5盒，他们准备了850元，试问七年二班最多能买几盒甲种午餐？ 【答案】(1)七年一班甲种午餐各订了8盒、乙种午餐各订了40盒 (2)七年二班最多能买21盒甲种午餐 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设七年一班甲种午餐各订了x盒、乙种午餐各订了y盒，根据：①甲午餐盒数乙午餐盒数，②甲午餐总费用午餐总费用，列方程组求解可得； （2）设七年二班能买z盒甲种午餐，则乙种午餐有盒，根据：甲午餐总费用乙午餐总费用，列不等式求解可得． 【详解】（1）解∶设七年一班甲种午餐订了x盒、乙种午餐订了y盒，根据题意，得：， 解得：， 答：七年一班甲种午餐订了8盒、乙种午餐订了40盒． （2）解：设七年二班能买z盒甲种午餐，则乙种午餐有盒，根据题意，得： ， 解得：， ∵z与都是正整数， ∴z的最大值为21． 答：七年二班最多能买21盒甲种午餐． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）“花田里”小区为激励居民积极参与“节约用水，拒绝浪费”的社区活动，决定购买大米和食用油作为参与活动的奖品，奖励给节约用水表现优异的居民．若购买3袋大米和4桶食用油共需375元，购买5袋大米和2桶食用油共需345元． (1)请问大米和食用油的单价是多少元？ (2)现准备购买大米和食用油共140件，且要求购买食用油的费用不低于购买大米的费用，所有购买的资金不超过7240元，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)大米和食用油的单价分别是和元 (2)共有种购买方案：方案一：购买大米件，则购买食用油件；方案二：购买大米件，则购买食用油件；方案三：购买大米件，则购买食用油件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，正确列出一元一次不等式组和二元一次方程组是解此题的关键． （1）设大米和食用油的单价分别是和元，根据“购买3袋大米和4桶食用油共需375元，购买5袋大米和2桶食用油共需345元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买大米件，则购买食用油件，根据“要求购买食用油的费用不低于购买大米的费用，所有购买的资金不超过7240元”列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：设大米和食用油的单价分别是和元， 由题意得：， 解得：， ∴大米和食用油的单价分别是和元； （2）解：设购买大米件，则购买食用油件， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴、、， ∴共有种购买方案：方案一：购买大米件，则购买食用油件；方案二：购买大米件，则购买食用油件；方案三：购买大米件，则购买食用油件． 3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）中国书法的工具和材料基本上是由笔、墨、纸、砚演变而来的，人们通常把它们称为“文房四宝”，实验中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团．经过市场调研后最终确定为学生购买甲、乙两种“文房四宝”，已知购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元． (1)每套甲种“文房四宝”和每套乙种“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种“文房四宝”共100套，总费用不超过8360元，并且根据学生需求，要求购进甲种“文房四宝”的数量低于乙种“文房四宝”数量的2倍，共有几种购买方案？最低费用是多少元？ 【答案】(1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是80元，90元 (2)有3种购买方案；最低费用是8340元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元，列出方程组，求解即可； （2）设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据不等关系列出不等式组，求出，根据m取正整数，得出有3种购买方案，根据甲型号“文房四宝”的价格小于乙型号“文房四宝”的价格，得出当甲型号“文房四宝”购买数量最多时，费用最少，当时，总费用最少，求出最少费用即可． 【详解】（1）解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是80元，90元； （2）解：设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意得： ， 解得：， ∵m取正整数， ∴，65，66， ∴有3种购买方案， ∵甲型号“文房四宝”的价格小于乙型号“文房四宝”的价格， ∴当甲型号“文房四宝”购买数量最多时，费用最少， ∴当时，总费用最少，且最少费用为： （元）， 答：有3种购买方案；最低费用是8340元． 【考点题型十二】一元一次不等式（组）中的新定义型问题（） 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对a、b定义一种新运算：. 如： (1)计算： . (2)若，求m、n的值. (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义下的运算，掌握新定义下的运算，加减消元法，解一元一次不等式是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可得； （2）相据新定义进行计算得，再运用加减消元法进行计算即可得； （3）根据题意计算得，去括号，移项，系数法为1进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 整理得， ，得， ， 将代入③，得， ， ∴方程组的解集为 （3）解： ． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）（原创）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程． (1)问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)； 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握船山方程的定义和分类讨论的思想是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据船山方程的定义进行判断即可； （2）解方程，得，解不等式组得到，根据方程是不等式组的船山方程，得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， 解得， 方程的解为， 由，得， 由，得， 不等式组的解集为， ， 不是不等式组的解， 方程不是不等式组的船山方程． （2）解：， 解得， 由得，， 解得， 由得，， 解得， 不等式组的解集为， 方程是不等式组的船山方程， ， 由得，， 由得，， ． （3）解：， 解得， ， 解得， 由得，， 当，即，， 当，即，， 由得，， 分两种情况： ① 当时，不等式组的解集为：； ② 当时，不等式组的解集为：； 方程和都是关于的不等式组的船山方程， ，都是不等式组的解， 当时，不等式组解集为：，不符合题意， 当时，不等式组得解集为，符合题意， 要使得，都是不等式组的解， ，且， ． 即的取值范围为． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$