精品解析：四川省南江中学2024-2025学年高一下学期半期考试数学试卷

南江中学2024-2025学年高一下学期半期考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 由两角和的余弦公式化简计算． 【详解】原式＝． 故选：B． 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】因为复数， 所以其虚部为-6， 故选：A 3. 若向量与垂直，则的值为（ ） A. －4 B. 4 C. －9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由两向量垂直的坐标表示列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量与垂直， 所以， 解得：. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用商数关系化弦为切即可得出答案. 【详解】解：. 故选：D. 5. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法原则,画出平面图,求出结果. 【详解】 做轴与交点为,由题意可知,, 根据勾股定理可知, 由斜二测画法可知,画出平面图形如图, 平面图为平行四边形,面积. 故选：A. 6. 一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得球的半径，再利用球的表面积公式即可求得该球的表面积 【详解】正方体的对角线是球的直径，所以，则， 所以球的表面积 故选：D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则b等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得. 【详解】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，， 则：， 整理得：， 解得：. 故选：C 8. 用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（ ） A. 72 B. 216 C. 24 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设球的球心为，半径为，△内切圆圆心为，由等边三角形的性质，可求出△的内切圆半径，且，可得四面体的高，则四面体体积的最大值. 【详解】设球的球心为，半径为，△内切圆圆心为， 由题意知△三边长均为， 则△内切圆半径，则， 所以四面体的高. 因为， 所以四面体体积的最大值. 故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离，属于中档题. 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分 9. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答. 【详解】向量，因，则与不共线，A不是； 因，则与不共线，B不是； 而，，则与都共线，即C，D是. 故选：CD 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 是 是锐角的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】考虑，可判断AB；根据向量三角不等式取等号条件可判断C；考虑同向时夹角为0，可判断D. 【详解】A选项：当时，不一定平行，A错误； B选项：当时，不存在实数使得，B错误； C选项：由向量三角不等式取等号条件可知，C正确； D选项：由可知，； 当 是锐角时，有. 所以是 是锐角的必要不充分条件，D正确. 故选：CD 11. （多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可. 【详解】设长方体的长宽高分别为，， 则，，， 故，，，，则B错误，ACD正确； 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用诱导公式化简，得，再利用诱导公式化简，从而可得结果 【详解】解：由，得， 所以， 故答案为： 【点睛】此题考查诱导公式的应用，属于基础题 13. 已知底面半径为，高为的圆柱的侧面积等于半径为的球的表面积，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，根据题意圆柱的侧面积等于球的表面积列出等量关系，即可找到与之间的关系，即可求解出. 【详解】由已知得，则，则. 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得 即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 故答案为： 四．解答题 15. 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法和模长的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量减法的坐标运算和向量共线可构造方程求得. 【小问1详解】 当时，，.. 【小问2详解】 又与共线， . 解得：. 16. 设，，.求： （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的的值. 【答案】（1）的最小正周期为，单调递减区间为; （2）， 【解析】 【分析】（1）结合向量的数量积公式，写出的表达式，再化简成的形式，再结合其单调性与周期性求解其最小正周期与单调递减区间； （2）结合第一问的函数表达式，结合正弦函数性质求解在上的最小值即可. 【小问1详解】 因为， 由，则的周期为， 令，解得， 解得的单调减区间为，. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，的单调减区间为， 则在上，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即在处取得最小值. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，. （1）求角B及边b的大小； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角即可得，再利用余弦定理即可得； （2）利用余弦定理求得，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得， 由于锐角三角形中，所以， 而是锐角，所以. 由余弦定理得. 【小问2详解】 由余弦定理得，而是锐角， 所以，所以. . 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江中学2024-2025学年高一下学期半期考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 3. 若向量与垂直，则的值为（ ） A. －4 B. 4 C. －9 D. 9 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则b等于（ ） A. B. C. D. 8. 用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为（ ） A. 72 B. 216 C. 24 D. 6 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分 9. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 是 是锐角的必要不充分条件 11. （多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为________. 13. 已知底面半径为，高为的圆柱的侧面积等于半径为的球的表面积，则__________． 14. 在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______． 四．解答题 15. 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求m的值 16. 设，，.求： （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的的值. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，. （1）求角B及边b的大小； （2）求的值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $