精品解析：2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷

2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 2. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，若其中一个数是，则这个数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 昌平作为北京国际科创中心建设的重要承载区，已经汇集69个国家级、省部级重点实验室，210个工程技术中心，全国重点实验室数量占全市总量的三分之一以上，并通过有组织的科技成果转化，使得近三年的技术合同成交额达1319亿元．其中131900000000用科学记数法记作（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，函数图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（ ） A. 为等腰直角三角形 B. 点坐标为 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 点到的图象距离为1 8. 连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为____________． 11. 已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是____________． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，．若，则____________填“>”，“=”或“<”)． 13. 某徒步团队由七人组成，每个人负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位：，此时七人负重数据的方差为．出发时又为每位成员补充了饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为，则______（填“>”，“=”或“<”）． 14. 如图，以为直径的上有两点C，D．若，则的度数为____________． 15. 如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为____________． 16. 某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示： 木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸 M 2块／次 4块／次 8块／次 N 不能加工 3块／次 6块／次 其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． （1）加工这批木材，M款切割机至少要使用____________次； （2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少____________元． 三、解答题（共68分，第17－22题每题5分，第23－26题每题6分，第27－28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 19. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 20. 如图，在平行四边形中，于点，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求． 21. 北京市中小学课间延长为15分钟后，某校为丰富学生的课间活动，准备购买一批课外读物．一班买4本《三国演义》与3本《红楼梦》共用190元，二班买3本《三国演义》与6本《红楼梦》共用255元．求《三国演义》和《红楼梦》每本多少元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 23. 某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选拔，其中一项是“五个位置定点投篮”．以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整理、描述和分析： a．甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图： b．甲、乙、丙三位同学投篮数据的中位数和总进球数如下： 甲 乙 丙 中位数 6 5 总进球数 30 29 30 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，表中的值为_____________； （2）从甲、乙两位同学的进球数条形图中可得，_____________发挥的稳定性较好（填“甲”或“乙”）； （3）若五个位置投篮命中一次对应的得分如下表所示： 位置 位置一 位置二 位置三 位置四 位置五 命中分值 1 2 2 2 3 则从甲、丙同学中选拔总分高同学进入班队，应选_____________（填“甲”或“丙”）． 24. 如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 27. 如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． （1）求证：； （2）若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 （1）若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； （2）求点的“隐圆线段”长的最大值； （3）若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．根据三视图选择符合的几何体即可． 【详解】解：∵该几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形， ∴符合几何体是三棱柱， 故选：C． 2. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用，根据两直线平行，同位角相等得，再根据补角的定义可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，若其中一个数是，则这个数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和数轴上的点与实数的对应关系，估算出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 观察数轴可知，， ∴可能是， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法的运算法则计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 昌平作为北京国际科创中心建设的重要承载区，已经汇集69个国家级、省部级重点实验室，210个工程技术中心，全国重点实验室数量占全市总量的三分之一以上，并通过有组织的科技成果转化，使得近三年的技术合同成交额达1319亿元．其中131900000000用科学记数法记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：D． 6. 不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下， 红1 红2 黄1 黄2 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） 共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种， ∴颜色相同的概率是， 故选：B ． 7. 在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（ ） A. 为等腰直角三角形 B. 点坐标为 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 点到的图象距离为1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误． 【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， 当时，，则；当时，，则； A、、， ，且，则为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意； B、， 点坐标为错误，不符合题意； C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， ，且、，则图象经过第一、二、四象限， 故该选项错误，不符合题意； D、过点作于点，如图所示： 是等腰直角三角形，， 由勾股定理可得， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线， ，即点到的图象距离为， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 8. 连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正五边形性质、圆周角定理、全等三角形判定与性质、三角形内角和及外角性质；解题关键是熟练运用上述知识，结合正五边形的对称性，通过角度和线段关系的推导来判断结论正误． 对于①：利用正五边形内角和公式求出内角，再依据圆周角定理计算度数判断对错．对于②：截取，根据正五边形轴对称性找全等条件证，推导线段关系判断．对于③：用三角形外角性质和圆周角定理计算与关系判断．对于④：由圆周角定理求角，结合三角形内角和求，依等角对等边判断． 【详解】如图：在上截取， 正五边形内角和为， ∴． 因为是正五边形， 所以，， 正五边形中心角，，故①错误． 因为五边形正五边形，平分，平分，，． ，在中，根据三角形内角和定理，． ，即 ． 在和中： ∴， ∴，． 由正五边形性质可知，，，，． ∵，，， ∴． 已证， ∵， ∴． ∴． 又，． 在和中： ． ∴， ∴． ∵， ∴；故②正确． ∵是的外角，． 由圆周角定理，，，且， ∴，故③错误． ∵，， 在中，，， ∴． 则， ∴，故④正确． 综上，②④正确， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】##x≥-1.5 【解析】 【分析】二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负数． 【详解】要使在实数范围内有意义 则0 解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解本题的关键在于掌握二次根式有意义的条件；注意，有意义的条件中，0也是可以的． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移性质，由平移到可确定平移方式，进而根据平移方式即可确定点的坐标． 【详解】解：由平移到可知： A点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴， ∴则点的对应点的坐标为， 故答案为： 11. 已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是____________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当时，，则由不等式的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴当时，， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，．若，则____________填“>”，“=”或“<”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据题意得出，反比例函数图象在第一，三象限，y随x的增大而减小，进而根据即可求解． 【详解】解：函数的图象经过点， 反比例函数图象在第一，三象限，随的增大而减小， ， ，在第三象限， ． 故答案为：． 13. 某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位：，此时七人负重数据的方差为．出发时又为每位成员补充了饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为，则______（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】＝ 【解析】 【分析】本题考查了方差，解题关键是理解数据整体加上相同数值时，数据间相对离散程度不变，利用方差公式及该性质判断前后方差关系． 明确方差衡量数据波动大小，依据方差性质，一组数据同时加上相同数，数据相对波动不变，每人负重都增加，符合上述情况，所以前后方差相等． 【详解】∵每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17，出发时又为每位成员补充了饮用水， ∴相当于每个数据都加上． 设原数据，平均数为 ，方差为； ∴新数据，新数据平均数 ． 新数据方差 ． ； ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，以为直径的上有两点C，D．若，则的度数为____________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，是解题的关键． 先根据邻补角互补求出，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：70． 15. 如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，设交于点，折叠得到垂直平分，进而得到，，进而得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2； 故答案为：2． 16. 某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示： 木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸 M 2块／次 4块／次 8块／次 N 不能加工 3块／次 6块／次 其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． （1）加工这批木材，M款切割机至少要使用____________次； （2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少____________元． 【答案】 ①. 2 ②. 235 【解析】 【分析】该题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，即可得到答案； （2）将3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材，全部转化为小尺寸木材，则需要加工小尺寸木材块，设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，则，结合，均为正整数，据此求解即可． 【详解】解：∵需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材， 设加工这批木材，M款切割机使用x次， 则，解得：， ∵x为正整数， ∴加工这批木材，M款切割机至少使用 2 次， 故答案为：2； （2）∵某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． 全部转化为小尺寸木材， 则需要加工小尺寸木材块， 设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次， 则，即， ∵，均为正整数， ∴有以下方案：，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ∴加工这批木材成本最低为元， 故答案为：235． 三、解答题（共68分，第17－22题每题5分，第23－26题每题6分，第27－28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊三角函数的混合运算，解答此题的关键是熟练掌握运算法则，原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并； 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 19. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 20. 如图，在平行四边形中，于点，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质与判定以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可； （2）过点作于点，求出，，再根据勾股定理可求出． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． 【小问2详解】 解：过点作于点． 四边形是矩形， ， ． ． 在Rt中，， ， ． 在Rt中， ， ． 21. 北京市中小学课间延长为15分钟后，某校为丰富学生的课间活动，准备购买一批课外读物．一班买4本《三国演义》与3本《红楼梦》共用190元，二班买3本《三国演义》与6本《红楼梦》共用255元．求《三国演义》和《红楼梦》每本多少元． 【答案】《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元，得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元 根据题意列方程组，得：， 由得：③， 由得：， 解得：， 把代入①，得 解得：． 答：《三国演义》每本元，《红楼梦》每本元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入,求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 23. 某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选拔，其中一项是“五个位置定点投篮”．以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整理、描述和分析： a．甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图： b．甲、乙、丙三位同学投篮数据的中位数和总进球数如下： 甲 乙 丙 中位数 6 5 总进球数 30 29 30 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，表中的值为_____________； （2）从甲、乙两位同学的进球数条形图中可得，_____________发挥的稳定性较好（填“甲”或“乙”）； （3）若五个位置投篮命中一次对应的得分如下表所示： 位置 位置一 位置二 位置三 位置四 位置五 命中分值 1 2 2 2 3 则从甲、丙同学中选拔总分高的同学进入班队，应选_____________（填“甲”或“丙”）． 【答案】（1）见解析，； （2）乙 （3）丙 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，方差等知识，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据丙同学的总进球数求出在位置三的进球数，补全条形统计图，再根据乙同学在五个位置的投篮进球数，求出中位数即可； （2）根据条形统计图求出甲、乙两位同学的方差，即可得到答案； （3）根据表格求出甲、丙两位同学的总分，即可得到答案． 【小问1详解】 解：丙同学的总进球数为30， 在位置三的进球数为， 补全条形统计图如下： 由条形统计图可知，乙同学在五个位置的投篮进球数分别为7、7、7、4、4， 乙同学投篮数据的中位数； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 乙发挥的稳定性较好； 【小问3详解】 解：甲的总分为：（分）， 丙的总分为：（分）， ， 丙同学的总分更高， 应选丙． 24. 如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案． （2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出， 再利用垂径定理求值即可． 小问1详解】 解：连接，． 与相切， ． 在中，， ． ． 【小问2详解】 解：过点作于点，连接． 设的半径为，则． ， ． 在中， ， ． ． 解得：． 为的弦， ． ， 四边形为矩形． ． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 【答案】（1）见详解 （2） （3）①4，② 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与是正比例函数，设与的关系式为，根据待定系数法求解即可； （3）①将代入求解即可； ②根据图象可得当，与是正比例函数，求出；设需要挪动的物体质量约为，则，求解即可． 【小问1详解】 解：补全的函数图象如图： 【小问2详解】 解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①将时，， 即这些重物的质量为； ②根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用二次函数的性质即可解答； （2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可； （3）表示出，再表示出，最后解不等式即可． 【小问1详解】 解：对称轴为； 【小问2详解】 解：令，， 解得， 二次函数与轴的交点为， 当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时； 当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：对称轴为， 为顶点， 二次函数开口向上， ， ， 可得， ， ， ， 可得， 解得． 27. 如图1，中，，点为线段上一点，的平分线交于点，将线段绕点顺时针旋转，与射线交于点． （1）求证：； （2）若，如图2，连接，连接交射线于点． ①补全图形； ②判断与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据等腰三角形的性质得，进而说明，再根据“角角边”证明，则结论可得； 对于（2），先画出图形；在线段上取一点，使得，连接，先说明是等边三角形，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，然后根据锐角三角函数可得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ． 在和中，， ． 平分， ． 在和中， ． ； 【小问2详解】 解：①如图， ②判断：． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ． 是的垂直平分线． ． ， 是等边三角形． ∴ ， ． ． ． 在中，， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正切，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 （1）若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； （2）求点的“隐圆线段”长的最大值； （3）若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）和 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答； （3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1， ∴或． ①当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． ②当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． 综上所述，点A的“隐圆线段”长为或． 【小问2详解】 解：连接，取的中点，连接， ∵， ∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴， ∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动， ∴， ∴的最大值为， 即点的“隐圆线段”长的最大值为3． 【小问3详解】 解：由（2）可知点D在上运动， 又点的“隐圆线段”所在直线为， ∴直线过点B， ∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴． ①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G， 由（2）有，， ∴在中，， ∵，轴， 轴， ∴， 设，则， ∵轴， ∴， ∵与相切于点M ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． ②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K， ∴，，， ∵，是的切线， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． 综上，． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，两点间的距离公式，三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点到圆上的点的最短距离，相似三角形的判定及性质，切线的性质，待定系数法等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$