精品解析：江西省上犹中学2025届高三下学期三模数学试题

数学三模 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模公式及复数除法法则，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得. 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据集合交并补运算即可得到答案. 【详解】对于集合，由得，所以或， 所以． 故选：D． 3. 设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值. 【详解】假设等差数列的公差为，由得, 所以，所以，故， 则 则． 故选：C． 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 5. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 6. 过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，得到，进而确定点的轨迹方程为，设其焦点为，得到，即可求解. 【详解】由得：， 平方可得：， 设，由题意可知：， 点绕逆时针旋转得到点，得与轴垂直，且， 可得：， 所以点的轨迹方程为：，焦点坐标为 所以， 即，当三点共线时取等号， 故选：C 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性结合对数运算计算比较即可. 【详解】设，， 则由对勾函数单调性，在上递减，上递增，， 且，， 因为，所以，即． 故选：． 8. 设函数，其中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定中有一个为2，然后再根据不等式性成立确定另两个的和即可得. 【详解】由已知是的零点， 在中令得，即，所以中有一个为2，设另两个为，则， 所以， 由得恒成立， ，，所以且，所以， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在上为增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，当时，在上单调递减， 且， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，令， 则，求导得， 由于，所以，单调递增. 当时，取得最大值； 当时，取得最小值. 因为，所以，即 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出椭圆的方程，利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A选项；由椭圆定义可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；设点、，可得出点，代入椭圆方程可得出点的轨迹方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】因为二项式系数之和为64，则，则. 则二项展开式通项为， 令，解得，则含的项的系数为. 故答案为：. 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可. 【详解】由，可得， 即，即， 又成等比数列， 可得：，联立，消去， 可得：，可得：或， 当时，，易得， 当时，，可得， 所以3或， 故答案为：3或 14. 从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过计数原理结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】从集合中任取4个不同的数，可得无重复数字的四位数共， 四位数能被3整除，即四个数的和是3的倍数，共有5种情况，故共有种， 若取出的4个数按从小到大排列，共有种， 中间两个数的和为7，只能时或， 若中间为，两端只能为，一种情况， 若中间为，第一个数可以从选，第四个数可以从选，有, 故共有种， 所以，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用射影定理结合辅助角公式求解角度即可. （2）利用三角形面积公式求解出，再利用余弦定理建立方程，解出即可. 【小问1详解】 因为 所以， 由射影定理得， 即，于是， 即，又，解得. 【小问2详解】 因为， 所以解得，又由余弦定理得， 得到，解得. 16. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式可得直线方程； （2）先问题等价于在时恒成立，构造函数，求导分析单调性后得到最小值即可. 【小问1详解】 ，，而，， 所以在处的切线方程为： 【小问2详解】 由题意得：恒成立， 因为，所以问题等价于在时恒成立， 令，，， 当时，，为增函数；当时， ，为减函数，则函数，故． 17. 如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面平面 所以，又因为，都在平面内， 所以平面，又因为平面 所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过，，得到平面，进而可求证； （2）由面面角的概念为平面与平面所成角，再结合求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等， 所以四点共面 由（1）知平面， 平面， ，在平面内， 得： 所以为平面与平面所成角， 设，点到平面的距离为 由可得： 所以 所以或 又因为 所以，所以 所以在中， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利． （1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率； （2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率； （3）求甲成为最终获胜者的概率． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）分甲连胜两局、乙连胜两局、甲胜第一局乙连胜后两局和乙胜第一局甲连胜后两局计算概率即可； （2）合理假设事件，利用独立性乘法公式以及互斥事件加法公式和条件概率公式即可得到答案； （3）分别计算不同状态下甲乙守擂成功的概率，从而得到方程组，解出即可. 【小问1详解】 甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为， 乙连胜两局，概率为； 甲胜第一局乙连胜后两局，概率为； 乙胜第一局甲连胜后两局，概率为； 设事件A为比赛在前三局内结束，则； 答：比赛在前三局内结束的概率为. 【小问2详解】 设事件为比赛在第四局结束，设事件为甲最终获胜，设事件为乙最终获胜． 则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局， 故. 比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为， 故； 故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率； 答：比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为. 【小问3详解】 定义：状态：当前擂主为甲，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前擂主为甲，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前擂主为乙，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为； 状态：当前擂主为乙，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为． 当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6），进入状态；甲失败（概率为0.4），进入状态， 可得，， 当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6），比赛结束；甲失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），进入状态；乙失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），比赛结束；乙失败（概率为0.4），进入状态， 可得，； 综合以上四个方程，可解得，． 又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5，故甲成为最终获胜者的概率. 19. 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记. （1）若，求； （2）求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式； （3）对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 设直线方程为，设， 由联立可得：，于是， 则有，即①， 于是可化为， 设直线方程为，设， 由联立得：，于是， 则有，即②， 下面证明成等比数列： 由①可得③， 由①③可得④， 由②④可得即⑤， 于是， 所以数列是等比数列，且首项为. （3）是， 【解析】 【分析】（1）由两点求得直线方程，联立抛物线方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，写出韦达定理，结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据三角形面积公式，整理化简，可得答案. 【小问1详解】 直线代入，可得， 设，则，所以，于是， 又因为，而直线方程为，代入可得， 设，则，所以，所以， 又因为，于是直线方程为， 令，得，所以，同理可得， 所以； 【小问2详解】 证明略， 由上知， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，所以， 于是，所以，又， 于是直线的方程为，设， 由联立，可得， 于是，，所以， 于是， 则公比，则， 所以； 【小问3详解】 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学三模 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（   ） A. B. C. D. 6. 过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 是的一个周期 C. 在上为增函数 D. 11. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______． 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 14. 从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 16. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 17. 如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利． （1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率； （2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率； （3）求甲成为最终获胜者的概率． 19. 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记. （1）若，求； （2）求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式； （3）对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $