精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高一下学期第二次调研考试数学试题

勤建学校高一年级下学期第二次调研考试 数学试卷2025.5 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图， 由，，所以， 所以，则， 即原平面图形的面积是． 故选：D 4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解. 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为所在直线为时，与相交， 当所在直线为所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确. 故选：D 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】， 由余弦定理得， 解得，舍去， 则的面积为. 故选：A. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 8. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积. 【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和， 则圆台侧面积为， 上、下底面面积分别为和. 由圆台表面积为，得， 所以圆台高， 设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1. 作于点， 设，由，则球心在圆台外部. 则有，解得， 所以球的体积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，，，则或，是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面平行的性质、线面平行的性质逐一判断即可. 【详解】A：当时，，可以相交、平行、异面，因此本选项不正确； B：当，时，直线可以在平面内，因此本选项不正确； C：当，时，，是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确； D：因为，，，所以直线，是两条没有交点的直线， 所以或，是异面直线，因此本选选项正确， 故选：ABC 10. 中，下列说法不正确的是（ ） A. B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由正弦定理得，所以A选项错误. B选项，若，则， 所以为锐角，但无法判断两个角是否是锐角，所以B选项错误. C选项，若，则， 由正弦定理得，所以C选项正确. D选项，若， 由正弦定理得，所以D选项错误. 故选：ABD 11. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D． 【详解】由已知，圆锥侧面积为，A错； 在圆周上，易得，．B正确； ，又中，，所以， 所以．C错； 时，把和摊平，如图， 的最小值是，此时，，，， ，D正确． 故选：BD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 13. 已知向量, ,，若，，则___________. 【答案】10 【解析】 【分析】首先根据向量平行和垂直的条件求出和的值，然后计算，进而利用向量的坐标运算得到，再求模即可. 【详解】因为，，且， 所以存在一个实数，使得， 即，则，， 解得，得到，而， 因为，所以，解得. 则，， 因为，所以， 由向量模的坐标运算公式得. 故答案为：10 14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果. 【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为 由正方体的表面积为24，所以 则，又，所以 所以外接球的表面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查正方体外接球的表面积，属基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知向量，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出向量的坐标，然后平面向量的模长公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，，则， 因为，故. 【小问2详解】 因为向量满足， 所以，解得，所以，故. 16. 已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）若，求复数的共轭复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算及纯虚数的定义即可得解； （2）先根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， ∵是纯虚数，，解得， 又∵，∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴的共轭复数为. 17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 【答案】（1） 连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可得解； （2）由正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题，计算即可得； （3）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 由，可得, ， , ，又，则, ，又， . 【小问2详解】 由（1），由正弦定理得，， ， 因为为锐角三角形，所以， ，则， ， 所以的周长范围为. 【小问3详解】 由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即， 解得或（舍去）， 所以. 19. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） 如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得平面，再结合已知条件与面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）过点在平面内作交于点，连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出，然后在平面内，利用平面向量的基本定理和共线向量的基本定理可求得的值； （3）分析可得，求出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式结合基本不等式可求得三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，，则为的中点， 因为，且正三棱锥的棱长均为， 则，，， 所以，， ， 因为，所以，，则存在，使得， 即， 因为、不共线，则，解得. 综上所述，. 【小问3详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 设点在平面上的射影为点，则为等边的中心， 由正弦定理可得，则， 所以， 因为，所以，点到平面的距离， 点到直线的距离为， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高一年级下学期第二次调研考试 数学试卷2025.5 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 6. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，，，则或，是异面直线 10. 中，下列说法不正确的是（ ） A. B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 13. 已知向量, ,，若，，则___________. 14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知向量，. （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量满足，求的值. 16. 已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）若，求复数的共轭复数． 17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． （1）求A； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 19. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $