2025年高中数学解题技巧之共零点问题讲义

大招14  共零点问题 我们定义:的解区间为正值区间，的解区间为负值区间. （1） 假设对任意的恒成立，说明与有相同的正值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的. 如图:二次函数与具有相同的正值区间，有相同的负值区间，与具有相同零点. （2） 假设对任意的恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者 的负值区间是的正值区间，如果有零点，此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须是共有的.     如图:二次函数正值区间与负值区间均为，二次函数负 值区间与正值区间均为，，具有相同零点对于共零点问题. （3） 这些零点有的是变号零点，有的是不变号零点，可以安装以下解决策略进行： ①对于变号零点，可以利用“分离函数+数形结合”分析；②对于不变号零点，利用“续轴标根法（穿针引线法）”分析，③复杂问题，先讨论参数范围，转化为恒成立问题或者共零点问题. 【典例1】已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 【大招指引】本题是对任意的恒成立的模型，说明与有相同的正值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的.并且均为单变号零点，于是直接根据零点重合即可快速解决. 只须与的零点重合，所以，解得． 【题后反思】很多题给出来的就是乘积形式，有时会出现非乘积形式，要注意进行因式分解，变为这种形式，根据模型进行解答. 【温馨提醒】本题是“单变号零点×单变号零点”问题，直接利用共同零点解答即可，很多时候，最关键的是要掌握变形. 【举一反三】 1． 若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 ． 2． 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【典例2】设，若时均有，则_________． 【大招指引】本题仍然是对任意的恒成立的模型，同时发现有一个零点 ，有两个零点，关键的细节是都过定点，于是通过画图可知（右侧的零点）两个函数有共同的零点．便可得出结果. 设．注意到都过定点，如图所示，分析易知两个函数有共同的零点，即且，解得． 【题后反思】数形结合思想一直在做题中出现，很多问题可通过画图便能发现满足何种条件，就如本题，会发现直线需经过二次函数右侧的零点． 【举一反三】 3． 若不等式对任意的恒成立，则（    ） A． ， B．， B． ， D．， 4． 已知函数，当时，，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【典例3】若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【大招指引】本题是对任意的恒成立的模型，同时发现和均有两个零点，依题意只须与的零点重合即可. 如图，作出的图象，易知； 平移图象，依题意只须与的零点重合即可，即知；同时，结合对称性，易知，即，代入，故．则，故选D. 【题后反思】对于“双变号零点双变号零点”的情形，很多问题都存在着对称性，通过零点相等和对称性的特征，便可求出结果． 【举一反三】 5． 若不等式对恒成立，则的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 6． 对任意，不等式恒成立，则和的值分别等于（    ） A． B． C． D． 【典例4】 已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为_________． 【大招指引】本题并不是或对任意的恒成立的模型.但通过求导之后便知（一定要进行因式分解）在上恒成立，按共零点考虑. 由，即在上恒成立，则的零点0也是的零点，即，解得． 【题后反思】对于不是直接是乘积形式出现的问题，绝大可能是需要考虑能否进行因式分解，再利用共零点分析解决． 【举一反三】 7． 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 8． 已知函数，且在其定义域内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【2024四川仁寿一中月考】 9． 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【2024四川成都七中入学考试】 10． 若在时恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11． 若不等式对任意的恒成立，则（   ） A． B．， C．， D． 【2023浙江缙云中学四校联考】 12． 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 13． 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 14． 设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 15． 已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 ． 16． 不等式对任意恒成立，则 ． 17． 设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于 ． 18． 对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招14  共零点问题 我们定义:的解区间为正值区间，的解区间为负值区间. （1） 假设对任意的恒成立，说明与有相同的正值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的. 如图:二次函数与具有相同的正值区间，有相同的负值区间，与具有相同零点. （2） 假设对任意的恒成立，说明的正值区间是的负值区间或者 的负值区间是的正值区间，如果有零点，此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须是共有的.     如图:二次函数正值区间与负值区间均为，二次函数负 值区间与正值区间均为，，具有相同零点对于共零点问题. （3） 这些零点有的是变号零点，有的是不变号零点，可以安装以下解决策略进行： 1 对于变号零点，可以利用“分离函数+数形结合”分析；②对于不变号零点，利用“续轴标根法（穿针引线法）”分析，③复杂问题，先讨论参数范围，转化为恒成立问题或者共零点问题. 【典例1】已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为_________． 【大招指引】本题是对任意的恒成立的模型，说明与有相同的正值区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的.并且均为单变号零点，于是直接根据零点重合即可快速解决. 只须与的零点重合，所以，解得． 【题后反思】很多题给出来的就是乘积形式，有时会出现非乘积形式，要注意进行因式分解，变为这种形式，根据模型进行解答. 【温馨提醒】本题是“单变号零点×单变号零点”问题，直接利用共同零点解答即可，很多时候，最关键的是要掌握变形. 【举一反三】 1． 若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：令， 令． （1） 当时，，不符合题意； （2） 当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需,此时，符合题意； （3） 当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，，解得． 考点：1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想． 【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想．题目的突破口在于对条件的处理，把它变成两个函数相乘，是一次函数，是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式．利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了．对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力． 2． 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性及零点情况可得，构造函数判断单调性及最值. 【详解】函数，都是单调递增函数，都至多有一个零点， 因为恒成立，所以函数，有公共零点， 记为，则，即， ，设. ，，根据在上均单调递增， 则在单调递增，则当，，当，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，， ， 故答案为：. 【典例2】设，若时均有，则_________． 【大招指引】本题仍然是对任意的恒成立的模型，同时发现有一个零点 ，有两个零点，关键的细节是都过定点，于是通过画图可知（右侧的零点）两个函数有共同的零点．便可得出结果. 设．注意到都过定点，如图所示，分析易知两个函数有共同的零点，即且，解得． 【题后反思】数形结合思想一直在做题中出现，很多问题可通过画图便能发现满足何种条件，就如本题，会发现直线需经过二次函数右侧的零点． 【举一反三】 3． 若不等式对任意的恒成立，则（    ） A． ， B．， B． ， D．， 【答案】B 【分析】由选项可知，故原不等式等价于 ，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解 【详解】由选项可知，故原不等式等价于 ， 当时，显然不满足题意，故， 由二次函数的性质可知，此时必有，即， 故选：B 4． 已知函数，当时，，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，先画出的图象，函数过点 ， 若 ， 当 时 ， 那么函数 也必须过点 ， 即 ， 那么 ， 另外一个实根是 ，需满足条件 ， 解得： ， 故选：C. 【典例3】若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【大招指引】本题是对任意的恒成立的模型，同时发现和均有两个零点，依题意只须与的零点重合即可. 如图，作出的图象，易知； 平移图象，依题意只须与的零点重合即可，即知；同时，结合对称性，易知，即，代入，故．则，故选D. 【题后反思】对于“双变号零点双变号零点”的情形，很多问题都存在着对称性，通过零点相等和对称性的特征，便可求出结果． 【举一反三】 5． 若不等式对恒成立，则的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设，得出的符号变化情况，根据的单调性和对称性即可得出，的值． 【详解】解：当或时，， 当时，， 当或时，，当时，， 设，则在上单调递减，在上单调递增， 且的图象关于直线对称， ， ，即，又，故． ． 故选：B． 6． 对任意，不等式恒成立，则和的值分别等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，只须与的图象关于轴对称即可，即，根据诱导公式进行转化求解即可. 【详解】根据题意，只须与的图象关于轴对称即可， 即， 所以，， 所以，其中， ，其中. 故选：B. 【典例4】 已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为_________． 【大招指引】本题并不是或对任意的恒成立的模型.但通过求导之后便知（一定要进行因式分解）在上恒成立，按共零点考虑. 由，即在上恒成立，则的零点0也是的零点，即，解得． 【题后反思】对于不是直接是乘积形式出现的问题，绝大可能是需要考虑能否进行因式分解，再利用共零点分析解决． 【举一反三】 7． 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为不等式对恒成立，分别讨论当时，当时，不等式成立的情况即可得实数的取值范围. 【详解】注意到时，函数，所以它一定有这个因式， 则题意等价于“不等式对恒成立”； 当时，，则转化为“对恒成立”，即， 又对于函数，当时，其最小值为，所以； 当时，则不满足原不等式，不合题意. 综上所述. 8． 已知函数，且在其定义域内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为在上恒成立，设，通过讨论的符号，结合函数的单调性判断出的范围即可． 【详解】对于，整理得， 要使得在上恒成立，即. 令 1 当同时恒成立时， 由，即恒成立，设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 可得处取得极大值，且为最大值， 可得，即； 由，即恒成立得． ； 2 当，同时恒成立时，不存在； 3 当时，为增函数，为减函数， 若它们有共同零点，则恒成立， 由，，联立方程组解得：． 当时，在上不恒成立，故舍去； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【2024四川仁寿一中月考】 9． 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数的定义域为， 由，得，所以， 令， 由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由，得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，没有最小值， 由，得， 当时，在上单调递增， 在上单调递减， 所以有最大值，无最小值，不合题意， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以即， 所以，即m的取值范围为． 故选：A． 【2024四川成都七中入学考试】 10． 若在时恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的特点，去绝对值号转化为一元二次不等式，然后利用分离参数法即可解决. 【详解】在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立，即为恒成立， 所以恒成立，而，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，恒成立，即为恒成立， 所以恒成立，而在上单调递增，所以 所以； 综上，. 故选：B. 11． 若不等式对任意的恒成立，则（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案. 【详解】对任意恒成立， 当时，不等式等价为，即， 当时，，此时，则， 设，， 若，则， 函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件； 若，则，而此时时，不满足条件，故； 函数在上，则上， 而在上的零点为，且在上， 则，上， 要使对任意恒成立， 则函数与的零点相同，即， ， 故选：B 【2023浙江缙云中学四校联考】 12． 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先将函数分成两部分，和，然后考察的零点，利用两部分同号相乘为正数的原则，可知两部分的零点相同，代入并讨论去绝对值，即可求解. 【详解】由题设，f（x）定义域为 令，可得或 ∴在上，在上， 若， ∴要使在定义域上恒成立，则在上，在]上， ∴或也是g（x）的零点，则： ，无解；，解得：； ，无解. ∴ 故选：D 13． 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质可知在上，在上，结合题设条件，必有与的零点相同，进而求出参数a、b，即可得解. 【详解】由题设，定义域为， 令，可得或， ∴在上，在上， 若， ∴要使在定义域上恒成立，则在上，在上， ∴或也是的零点，则： ，无解；，可得；，无解； ∴. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将原函数拆分为、，根据对数函数的性质及题设恒成立条件，判断拆分后子函数的零点关系. 14． 设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】CD 【分析】根据给定条件可得，再分析函数式与的值的正负情况即可作答. 【详解】显然，因对任意的不恒成立， 因对任意的，都有恒成立，则当时，， 当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾， 因此，，当时，，当时，， 当时，若，则，此时，不符合题意， 因此，，当时，，当时，， 要恒成立，当且仅当，即，而， 从而得或，解得或， 所以或. 故选：CD 15． 已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 ． 【答案】0. 【分析】要使在定义域上恒成立，则函数与函数必有相同零点，进而得解． 【详解】令，解得或， 依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾． 即，解得． 经检验，符合题意． 故答案为：0． 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，函数的零点，考查逻辑推理能力，属于中档题． 16． 不等式对任意恒成立，则 ． 【答案】1 【分析】可将不等式转化为①或②，进一步求解即可 【详解】由题可知等价于①或②，先解①，，即， 又，所以，解得，等价于，要使不等式对任意恒成立，只能取到； 2 显然无解； 故答案为：1 【点睛】本题考查不等式的转化，绝对值不等连式的应用，二次函数恒成立问题的转化，属于中档题 17． 设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于 ． 【答案】﹣1 【详解】验证发现， 当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0， 当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0 令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0 又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x， 令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增 又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0 又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点 故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1 故ab=﹣1 故答案为﹣1 18． 对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数成立可得，再讲该问题转化为对任意的，不等式恒成立，构造函数，由函数在上单调递增，故时，则；时，则，再根据二次函数图象及性质，即可求出a的范围，最后取交集得答案. 【详解】由题可知，且成立，则 因为对任意的，不等式恒成立等价于不等式恒成立 记，则在上单调递增 当时，，即恒成立，则 所以，得 当时，不等式显然成立 当时，，即恒成立，则 因为函数在上单调递减 所以时，，得 因为对任意的，该不等式恒成立，故应取交集则 故答案为： 【点睛】本题考查构造函数研究不等式恒成立并求参数范围问题，还考查了二次函数的图象及性质，属于难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$