2025年高中数学解题技巧之类周期函数讲义

大招13  类周期函数 1． 类周期函数的定义 从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中，情形就是周期函数． 2． 类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，我们往往知道其在（或）上的解析式．此时我们通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析 则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 【典例1】已知函数若函数有4个零点，求实数的取值范围． 【大招指引】先根据函数的“类周期”性，将函数各段解析式求出来，画出图象，然后将函数有4个零点转化为函数的图象与直线有4个交点，进而根据函数各段的图象，求出的取值范围． 因为所以所以当时，，所以当 时， （如果能根据图象评议和伸缩理清楚，这里不求解析式也可以），画出的图象如图所示． 因为函数有4个零点，所以函数的图象与直线有4个交点，所以， 所以实数的取值范围为 ． 【题后反思】对于种函数满足的类周期形式，可先求出一段区间到二段的解析式，画出对应的图象，从中找出规律，研究其他区间的解析式和图象特征. 【温馨提醒】类周期形式的各段区间解析式的求法，重点关注两步：第一步，求啥设啥；第二步，变形.变形既要保证变形后在已知区间内，又要确保知道变形后与变形前的关系式. 【举一反三】 1． 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是 2． 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 ． 【典例2】【2023河南许济洛平三检】定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ． 【大招指引】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解． 因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以，同理可得 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则， 对任意，都有，则. 故的取值范围为，故答案为：. 【题后反思】通过函数的具体图象可以看出函数值的特征，而对于恒成立的情况，要找到那个函数值为2的点，确定t的范围． 【举一反三】 3． 定义域为的函数满足，当时， 当时，恒成立，则实数t的取值范围是 ． （2019全国Ⅱ卷） 4． 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． B． D． 【2023浙江十校联盟联考】 5． 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【2023宁夏中卫市二模】 6． 设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1） 当时， （2） （3） 若，则实数的最小值为 （4） 若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【2023湖北省部分名校届高考适应性考试】 7． 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【天津市南开区2023届高三一模】 8． 已知函数则下列结论： 1 2 恒成立 3 关于的方程有三个不同的实根，则 4 关于的方程的所有根之和为 其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【2023陕西省西安市长安区届高三下学期质量检测】 9． 设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（    ） 1 ； 2 若对任意，都有，则的取值范围是； 3 若方程恰有3个实数根，则的取值范围是； 4 函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【2023四川巴中零诊】 10． 已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【2023山东济南历城第一中学押题卷】 11． 已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【2023东北三省四城市联考暨沈阳市高三二模】 12． 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为（    ） A． B． C． D． 【2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷】 13． 已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的所有解的和为 . 【2023四川省高考专家联测卷】 14． 对于函数，下列5个结论正确的是 . （1） 任取，都有； （2） 函数在上严格递减； （3） （），对一切恒成立； （4） 函数有3个零点； （5） 若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招13  类周期函数 1． 类周期函数的定义 从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中，情形就是周期函数． 2． 类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，我们往往知道其在（或）上的解析式．此时我们通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析 则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 【典例1】已知函数若函数有4个零点，求实数的取值范围． 【大招指引】先根据函数的“类周期”性，将函数各段解析式求出来，画出图象，然后将函数有4个零点转化为函数的图象与直线有4个交点，进而根据函数各段的图象，求出的取值范围． 因为所以所以当时，，所以当 时， （如果能根据图象评议和伸缩理清楚，这里不求解析式也可以），画出的图象如图所示． 因为函数有4个零点，所以函数的图象与直线有4个交点，所以， 所以实数的取值范围为 ． 【题后反思】对于种函数满足的类周期形式，可先求出一段区间到二段的解析式，画出对应的图象，从中找出规律，研究其他区间的解析式和图象特征. 【温馨提醒】类周期形式的各段区间解析式的求法，重点关注两步：第一步，求啥设啥；第二步，变形.变形既要保证变形后在已知区间内，又要确保知道变形后与变形前的关系式. 【举一反三】 1． 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是 【答案】 【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围. 【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2, 当时，1＜2x≤2，所以f(x)=, 当时，＜2x≤1，所以f(x)=, 当时，＜2x≤，所以f(x)=, 当时，＜2x≤，所以f(x)=, 所以函数的图象为：    其图象为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,) 直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系， 由题得C(),D(), 当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图象有三个不同的交点， 由题得. 所以k的取值范围为. 故答案为 【点睛】（1）本题主要考查函数的图象和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图象.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图象法、方程+图象法. 2． 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 ． 【答案】10000 【详解】试题分析：，此时两解的和为1； ，此时两解的和为3； …… ，此时两解的和为，199； 所以所有解的和为； 考点：1.函数的周期性；2.分段函数；3.等差数列的求和公式；4.归纳推理； 【典例2】【2023河南许济洛平三检】定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ． 【大招指引】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解． 因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以，同理可得 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则， 对任意，都有，则. 故的取值范围为，故答案为：. 【题后反思】通过函数的具体图象可以看出函数值的特征，而对于恒成立的情况，要找到那个函数值为2的点，确定t的范围． 【举一反三】 3． 定义域为的函数满足，当时， 当时，恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出上的值域，根据可以求出上的的值域，然后只需，解不等式即可. 【详解】时，， 则当，， 而，则，由 于是当时， 因此当时，． 而当时，恒成立， 等价于，即， 由得，即， 由可得， 于是. 故答案为： （2019全国Ⅱ卷） 4． 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． B． D． 【答案】B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．    【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 【2023浙江十校联盟联考】 5． 若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】A 【分析】根据函数的周期性和对称性求解. 【详解】由，，知函数关于，点对称， 结合当时，，作出函数图象如图， 为向上攀爬的类周期函数，由图象可得， 由可得， ， 由可得， ， 所以，则有， 因为，所以， 所以， 故选:A. 【2023宁夏中卫市二模】 6． 设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1） 当时， （2） （3） 若，则实数的最小值为 （4） 若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由 是奇函数，是偶函数，得，再依据 作出函数的图像，再逐项判断即可 【详解】因为 是奇函数，是偶函数， 所以 ，解得， 由 当时，，则，所以， 同理：当时，， 以此类推，我们可以得到如下的图象： 对于（1）∶根据上述规律，当时，，故（1）错误； 对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数， 则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故（2）正确； 对于（3）∶根据图象，当时， 由图像可得（3）正确； 对于（4）∶有三个零点， 等价于函数与函数有三个不同的交点，设， 则函数的图象为恒过点A的直线，如图所示. 当函数与，相切的时候，有三个交点， 相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为 故有三个零点， ，故（4）错误． 说法正确的个数为2. 故选：B． 【点睛】思路点睛：根据函数奇偶性的定义，解出，再依据的函数特征，作出函数的图像，由图像研究相关性质. 【2023湖北省部分名校届高考适应性考试】 7． 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案. 【详解】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 【点睛】分段函数的零点方法点睛： 可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析与处理，合理归纳. 【天津市南开区2023届高三一模】 8． 已知函数则下列结论： 1 2 恒成立 3 关于的方程有三个不同的实根，则 4 关于的方程的所有根之和为 其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据已知递推可判定①正确；根据函数的变换规律，只需证明时，恒成立，作差构造函数，求导结合，可判定②错误；作出函数的图形，结合图象，可判定③正确；结合每个区间的对称轴，利用等差数列的求和公式，可判定④错误. 【详解】由题意知，，所以①正确； 又由上式知，要使得恒成立， 只需满足时，恒成立，即， 即恒成立， 令，则， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，函数取得极大值，极大值，所以②不正确； 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，要使得方程有三个不同的实根， 则满足，即，所以③正确； 由知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到， 因为的对称轴为，故的两根之和为， 同理可得：的两个之和为，，的两个之和为， 故所有根之和为，所以④不正确. 故选：B. 【2023陕西省西安市长安区届高三下学期质量检测】 9． 设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（    ） 1 ； 2 若对任意，都有，则的取值范围是； 3 若方程恰有3个实数根，则的取值范围是； 4 函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意推出函数的解析式，作出函数图象，利用解析式可判断①；解方程，结合函数图象可判断②；举反例取特殊值，可判断③；根据函数解析式求得最值，可得表达式，分离参数，将，使得成立转化为数列的单调性问题，可判断④. 【详解】函数的定义域为，满足，即， 且当时，, 当时，，故, 当时，，故， 依次类推， 当时， ， 由此可作出函数的图象如图： 对于①， ，此时，故 ，①正确； 对于②，当时，；结合①可知当时，； 故当时，令， 即，解得 ， 又，故对任意，都有，则的取值范围是，正确； 对于③，取，则直线，过点， 结合图象可知恰有3个交点， 即恰有3个实数根，即说明符合题意，则③错误； 对于④，当时， ， 其最大值为， 若，使得成立，即，即需； 记，则， 故，当时，，递增； 当时，，递减，又， 则，故的最大值为， 则，即，故④错误， 综合可知，结论正确的个数是2个， 故选：B 【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的性质以及数列的单调性等，综合性较强，解答的难点在于要明确函数的性质，明确函数的解析式，从而作出函数图象，数形结合，解决问题. 【2023四川巴中零诊】 10． 已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，， 且，令，解得或，结合图像即可得到结果. 【详解】由得， 因为当时，，所以； 当时，，； 当时，，； 且，如图令，得或； 若对任意，都有，结合图像则的取值范围是. 故选：B. 【2023山东济南历城第一中学押题卷】 11． 已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD. 【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误； 函数定义域为，满足，当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此当时，函数在上递减， 在上递增，当时，取得最大值， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此当时，函数， 在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，      当时，函数的图象有唯一公共点， 因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确； 显然， 所以，C正确； ，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键. 【2023东北三省四城市联考暨沈阳市高三二模】 12． 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件求的函数的解析式，结合偶函数的性质作函数的图象，根据图象逐项确定满足条件的函数即可. 【详解】由已知当时，， 又时，， 所以当时，， 又为偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 根据以上信息作出函数的图象如下， 对于A，再作函数的图象可得， 观察图象可得函数的图象与函数的图象有四个交点， 所以方程有四个不相等的实数根，A正确； 对于B，再作函数的图象可得， 观察图象可得函数的图象与函数的图象有三个交点， 所以方程有三个不相等的实数根，B错误； 对于C，再作函数的图象可得， 观察图象可得函数的图象与函数的图象有四个交点， 所以方程有四个不相等的实数根，C正确； 对于D，再作函数的图象可得， 观察图象可得函数的图象与函数的图象有一个交点， 所以方程有一个不相等的实数根，D错误； 故选：AC. 【2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷】 13． 已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的所有解的和为 . 【答案】 【分析】由函数在上的解析式可知在上单调递减，在上单调递增，求出最值，并利用求出其他区间内函数的表达式为，又可得出时关于的方程，利用韦达定理即可求得所有解的和. 【详解】当时，， 易知在上的图象可由函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且函数在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，又，且， ∴. ∵， ∴当时，，，∴，， ∴，， 此时的最小值为，最大值为.. 易知，∴当时，，， ∴， 整理得， 函数在上单调递减，在上单调递增，且在上的最小值为，最大值为，，，∴方程必有2个解； 由韦达定理可知方程的所有解的和为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数在上的解析式判断出其单调性求出最值，再结合求出其他区间内函数的表达式，即可构造关于的方程，即可实现问题求解. 【2023四川省高考专家联测卷】 14． 对于函数，下列5个结论正确的是 . （1） 任取，都有； （2） 函数在上严格递减； （3） （），对一切恒成立； （4） 函数有3个零点； （5） 若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 【答案】(1)(3)(5) 【分析】作出函数的图象，结合函数图象以及函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】的图象如图所示， ，所以对，都有，故（1）正确； 由的图象可知：在上严格递增；故（2）错误； 由于当时，，因此当时，，所以 （），故（3）正确； 在同一直角坐标系中画出与的图象，当时，，，由于,所以，结合两者的图象可知只有一个交点，故（4）错误； 根据图象可知：当时，有且只有两个不同的实根，，此时，关于对称，故，因此（5）正确； 故答案为：（1）（3）（5） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$