2025年高中数学解题技巧之二次函数零点分布问题讲义

大招12  二次函数的零点分布问题 探讨“二次函数的零点分布”问题，我们可以运用函数的单调性与函数零点存在定理进行处理．主要需要考虑以下四个问题： 1 二次函数图象的开口方向； 2 对应一元二次方程根的判别式； 3 二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系； 4 二次函数在所给区间端点处函数值的正负． 【典例1】已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【解析】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 【题后反思】因为该题是二次函数在某区间上有零点，无法单独利用判别式的符号进行判定，所以本题采用了分离法和数形结合思想进行处理. 【温馨提醒】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】 1． 已知函数在区间内恰有一个零点，则满足条件的所有实数的集合是（    ） A． B． B． D． 【典例2】已知二次函数有两个零点，若，，求实数的取值范围． 【大招指引】首先根据二次函数有两个零点，得到判别式，解出实数的范围，又，，接着根据二次函数的单调性，以及区间端点处的函数值，得到关于实数的不等式，求出实数最终的取值范围． 【解析】因为二次函数有两个零点， 所以，，所以或． 因为函数在上单调递减， 在上单调递增，且 所以所以 所以．综上所述，实数的取值范围为． 【题后反思】本题在考虑单调性时利用了零点所在区间和对称轴的关系，因为若，，所以，则该函数的对称轴，所以可以得到. 【温馨提醒】在处理由二次函数的零点求参数问题时，往往要结合二次函数的图象（开口方向、对称轴、端点函数值）、性质（单调性、对称性）进行处理，且一般要用到数形结合思想. 【举一反三】 2． 已知函数，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3． 设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4． 已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． B． D． 5． 已知在上有两实根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 6． 若关于x的方程的两个不相等实根均在区间内，求实数m的可能取值为（    ） A． B． C． D．2 7． 已知是三个互不相等的正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． B． D． 8． 已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9． 已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 10． 已知函数．若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 11． 若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是 . 12． 已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为 13． 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ． 14． 已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为 ． 15． 已知函数 (1) 若函数在上有最大值，求实数a的值； (2) 若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招12  二次函数的零点分布问题 探讨“二次函数的零点分布”问题，我们可以运用函数的单调性与函数零点存在定理进行处理．主要需要考虑以下四个问题： 1 二次函数图象的开口方向； 2 对应一元二次方程根的判别式； 3 二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系； 4 二次函数在所给区间端点处函数值的正负． 【典例1】已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【解析】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 【题后反思】因为该题是二次函数在某区间上有零点，无法单独利用判别式的符号进行判定，所以本题采用了分离法和数形结合思想进行处理. 【温馨提醒】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1） 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2） 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3） 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】 1． 已知函数在区间内恰有一个零点，则满足条件的所有实数的集合是（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】通过分类讨论二次函数的根的个数，结合零点定理即可求出实数的集合. 【详解】由题意， 在中，对称轴， 函数在区间内恰有一个零点， ∴， 当 时, 只需 ,即 , 解得：, 且 , ∴，, 当时，,在定义域内的零点只有，符合要求, 当时，,在定义域内的零点只有，符合要求, 当 时, 即 时, ，零点为, 符合题意， 综上所述, 实数 的取值范围为：， 故选：D. 【典例2】已知二次函数有两个零点，若，，求实数的取值范围． 【大招指引】首先根据二次函数有两个零点，得到判别式，解出实数的范围，又，，接着根据二次函数的单调性，以及区间端点处的函数值，得到关于实数的不等式，求出实数最终的取值范围． 【解析】因为二次函数有两个零点， 所以，，所以或． 因为函数在上单调递减， 在上单调递增，且 所以所以 所以．综上所述，实数的取值范围为． 【题后反思】本题在考虑单调性时利用了零点所在区间和对称轴的关系，因为若，，所以，则该函数的对称轴，所以可以得到. 【温馨提醒】在处理由二次函数的零点求参数问题时，往往要结合二次函数的图象（开口方向、对称轴、端点函数值）、性质（单调性、对称性）进行处理，且一般要用到数形结合思想. 【举一反三】 2． 已知函数，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的分布求得关于实数的不等式组，再利用不等式的性质即可求得的取值范围 【详解】由函数中，，， 可知一元二次方程有二相异根，分别位于区间和内 则，即，即 由，可得， 则，即 由，可得 则，则 综上，的取值范围为 故选：B 3． 设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 要使二次函数在区间上有且仅有一个零点， 则需， 所以的取值范围是. 故选：C 4． 已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】根据解析式，讨论、结合二次函数性质研究函数的零点情况，判断符合条件的m范围. 【详解】①当时，由，得，符合题意． 5 当时， 由，得，此时，解得，符合题意； 由，得，此时设的两根分别为，，且， 若，则，，即，，符合题意， 若，则，，即，，符合题意． 综上，，即实数的取值范围为． 故选：B 5． 已知在上有两实根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示及，再用基本不等式求出范围即可. 【详解】设方程的两个实根为，则，显然， 此时，即方程有两个实根， 因此 ，当且仅当时取等号，显然，即， 所以的值可能为，，即AB错误，CD正确. 故选：CD 6． 若关于x的方程的两个不相等实根均在区间内，求实数m的可能取值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】根据二次方程根的分布得到，对称轴，，解得答案. 【详解】两个不相等实根均在区间内， 故，故或， 设，则对称轴， ，解得， 综上所述：，BC选项满足. 故选：BC 7． 已知是三个互不相等的正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． B． D． 【答案】BC 【分析】根据等式结构，构造函数，分析，根据二次函数性质得，再由即可分析出，均小于或，均大于. 【详解】设，由知，则，故函数有零点， 所以，即，又，所以， 又， 故，均小于或，均大于，即或. 故选：BC 8． 已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】方程根的问题等价于函数零点问题，利用函数图象进行处理. 【详解】由题得，函数的大致图像如图： 方程一定有两实数根，故 ， 所以不一定成立， 由图可知：必有，，所以C，D一定成立， 若，方程的根为， 此时，所以此时不成立. 故选：CD. 9． 已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式组，求解得答案. 【详解】由函数两个零点，一个大于2另一个小于2， 所以 有两个不同的根，且一个根大于2另一个根小于2， 所以， 因为， 当时，只需，即，解得， 当时，只需，即，无解， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为：. 10． 已知函数．若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可. 【详解】易知，令， 则满足条件，需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 则，解得． 故答案为： 11． 若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意转化为方程在区间上有解，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，可得，即， 由函数在区间上存在零点， 即方程在区间上有解， 设，可得， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 12． 已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为 【答案】 【分析】由已知得出，即，设，利用待定系数法求解得出结果. 【详解】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即， 又， 设， 则，解得， 即，且， 故3b－8a的取值范围为. 故答案为：. 13． 已知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，进一步可将原问题等价转换为一元二次方程根的分布问题，从而列出不等式组即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示， 发现当且仅当时，关于的方程的根的个数最多，且有3个根， 而关于的一元二次方程最多有两个根， 若方程有六个不相等实根， 则当且仅当关于的一元二次方程有两个不同的根，且， 所以当且仅当，解得， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 14． 已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为 ． 【答案】## 【分析】由a，b为函数的两个零点可得，即可得、，结合题意可得，即可将多变量问题转化为单一变量，借助导数求取函数的单调性即可得的范围，即可得. 【详解】由a，b为函数的两个零点，故有， 即恒成立， 故，，则，， 由a，b，c为某三角形的三边长，且， 故，且，则， 因为必然成立， 所以，即，解得， 所以， 则 ， 令，，则， 故在上单调递增， 故， 故恒成立，故的最小值为为. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题目条件，将多变量问题转化成单变量问题，计算出该单变量的范围，构造函数求导得到单调性后即可得其范围，即可得解. 15． 已知函数 (1)若函数在上有最大值，求实数a的值； (2)若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题，，令，转化为关于的二次函数求参数范围； （2）由（Ⅰ），令，因为函数在上有且只有一个零点，所以的图像在上与轴只有一个交点，进而得到答案． 【详解】（1）由题， 因为，所以令，对称轴为 ， 当时， ，解得（舍）， 当时，，解得， 所以. （2）由（1）， 由，令，对称轴为， 因为函数在上有且只有一个零点， 所以的图像在上与轴只有一个交点， 所以 ，解得， 或者，即，解得， 当时，与轴在上有两个交点，故舍去， 综上，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$