2025年高中数学解题技巧之半周期双对称推导周期讲义

大招11  半周期&双对称推导周期 在一些涉及周期性问题的求解中，我们常采用以下两种思路求得函数的周期． 1． “半周期”推导周期 （1） 若函数满足，则． （2） 若函数满足，则． （3） 若函数满足，则． （4） 结合（1），（2），（3）可得：当一个函数时，一定有，是周期为2m的周期函数． 推论：当且仅当时，是周期为2m的周期函数． （5） 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． （6） 若函数满足，是周期为3m的周期函数． （7） 若函数满足，是周期为3m的周期函数． （8） 结合（6）（7）可得：当一个函数时，则可以根据迭代推出，那么是周期为3m的周期函数 （9） 函数，当且仅当时，是周期为3m的周期函数． （10） 若函数满足，则 （11） 函数，当且仅当时，是周期为4m的周期函数． （12） 若函数满足，则 （13） 函数，当且仅当时，是周期为6m的周期函数；当时，不会再产生周期函数． （14） 周期函数的迭代定理：若，则存在，，一定存在最小的正整数n，使得中成立，即，即为这个函数的最小正周期． （15） ，则是以6a为周期的周期函数． （16） 若函数满足或，则 2． 双对称推导周期 已知函数图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴：已知函数图象关于直线和直线对称，则函数是周期为|的周期函数．特别地，当为偶函数且函数图象关于直线对称时，函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于直线和直线对称，所以所以（用替换）所以，所以函数是周期为的周期函数． ③两个对称中心：已知函数图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数．特别地，当为奇函数且函数图象关于点中心对称时，函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于点和点对称，所以所以（用替换）以，所以函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴+一个对称中心：已知函数图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于点中心对称且关于直线对称，所以所以（用替换）所以，所以（用替换），所以，所以函数是周期为的周期函数． 注：一般而言，根据一条对称轴＋一个对称中心推导出来周期的函数能找到一个与之间的关系式，即可能有半周期． 【典例1】 若对任意的，都有，且，，则的值为______. 【大招指引】先利用周期函数的定义和题意得到函数的周期为1，再赋值进行求解. 【解析】因为对任意的都有， 得， 所以，则有， 即有，所以， 则， 即，则函数是周期为1周期函数， 则，， ，即， 所以，故．故答案为2． 【题后反思】本题直接利用以下结论即可得到周期为1：若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． 【温馨提醒】在求多个单独的函数值之和时，往往转化为周期函数进行简化，要结合题中所给等式的结构特点合理推导出周期性. 【举一反三】 1． 已知函数满足和,且当时,则 A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数满足和,可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，进而可求解答案． 【详解】函数满足和, 可函数是以为周期的周期函数，且关于对称， 又由当时,， 所以，故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性与函数的周期性的应用问题，其中解答中根据题设条件，得到函数的图象以为周期的周期函数，且关于对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 【典例2】 已知函数的定义域为，若函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法一定正确的为______． ①；②；③的周期为2；④． 【大招指引】先把题目中的已知条件转化成函数图象的对称条件，再使用双对称推导周期，进而根据函数的图象对称性、周期性、“半周期”性判断四个说法的正确性. 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 所以（用替换）， 所以函数的图象关于直线对称． 因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以函数的图象关于点中心对称， 所以函数是周期为4的周期函数，故③错误． 对于①②，因为图象关于直线对称，所以， 所以，所以图象关于直线对称，①无法确定，②正确． 对于④，无法确定．综上，只有②一定是正确的． 【题后反思】因为本题中两个对称的条件并不直接是函数图象的对称条件，所以要先把题目中的已知条件转化成函数图象的对称条件，这是解决本题的关键所证. 【温馨提醒】在处理双对称问题时，往往与函数的周期性联系，这是由三角函数的图象和性质推广得到，所以记忆结构时可利用三角函数的图象进行加强记忆. 【举一反三】 2． 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是 . 【答案】 【分析】依题意可得，结合奇函数的性质推导出，即是以为周期的周期函数，再分析函数在一个周期内的单调性，即可判断在一个周期内的零点个数，再根据对称性计算可得． 【详解】由知函数的图象关于直线对称， 所以， 由是上的奇函数知，， 所以， 所以，， 所以是以为周期的周期函数． 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数． 对于奇函数有，则， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 因为方程在上有实数根，则这个实数根是唯一的，因为在上是单调函数， 则由于，故方程在上有唯一实数． 在和上，故方程在和上无实数根， 由于为奇函数，方程在上有唯一实根，在上有唯一实根， 在上，则方程在上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有四个实数根之和为． 故答案为： 3． 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 4． 设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可以得到，即函数的周期为4，由是奇函数，可知，解不等式即可得到答案． 【详解】由，可得，则，故函数的周期为4，则， 又因为是定义在上的奇函数，，所以, 所以，解得， 故答案为A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的周期性，及一元二次不等式的解法，属于中档题． 5． 定义在上的函数的图象关于点成中心对称且对任意的实数都有且，，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据常见周期公式，可得函数的周期，结合中心对称性，求函数值，进而求和，可得答案. 【详解】，，则， 所以时周期为的周期函数. 则，， 函数的图象关于点成中心对称，， ，，由， 则. 故选：A. 6． 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到的最小正周期是4，运用周期性即可得到结论． 【详解】∵定义在上的奇函数， ， ， 可得． 则的周期是4， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质推出函数是周期为4的周期函数是解决本题的关键． 7． 已知函数是定义在上的偶函数，，当时， ，若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性确定函数周期，先在求出的一个值，再根据对称性得到的另一个值，最后根据周期确定最大值. 【详解】解：因为，所以，的对称轴为 因为函数是定义在上的偶函数，所以，故函数的周期为12， 当，由，解得， 由的对称轴为可得，当，的根为5，7， 所以当，则或，， 由得，即当时，此时最大为； 由得，即当时，此时最大为； 综上所述，的最大值是， 故选：D． 8． 设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为 A． B． B． D． 【答案】B 【分析】由，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围转化到上，则f (x)在区间上的表达式可求． 【详解】当时，， 又∵当时，， 又， 函数的周期为， 又∵函数是R上的奇函数， ， 当时，． 故选：B． 【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内． 9． 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【解析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有6个实数根，和为30. 【详解】由知函数的图象关于直线对称， ∵，是R上的奇函数， ∴， ∴， ∴的周期为4， 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 方程在上有实数根， 则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数， 则由于，故方程在上有唯一实数， 在和上， 则方程在和上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有6个实数根之和为. 故选：A. 【点睛】本题考查了由可判断关于对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题. 10． 已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是　　 A． 函数的最小正周期是10 B． 对任意的，都有 C． 函数的图象关于直线对称 D． 函数的图象关于中心对称 【答案】A 【分析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项. 【详解】由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.，，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A. 【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题. 11． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 12． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可知关于点中心对称，结合偶函数定义可推导得到的周期，根据周期性和奇偶性可得. 【详解】为奇函数，的图象关于点中心对称，， 又定义域为，； 为偶函数，，， 是周期为的周期函数， . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招11  半周期&双对称推导周期 在一些涉及周期性问题的求解中，我们常采用以下两种思路求得函数的周期． 1． “半周期”推导周期 （1） 若函数满足，则． （2） 若函数满足，则． （3） 若函数满足，则． （4） 结合（1），（2），（3）可得：当一个函数时，一定有，是周期为2m的周期函数． 推论：当且仅当时，是周期为2m的周期函数． （5） 若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． （6） 若函数满足，是周期为3m的周期函数． （7） 若函数满足，是周期为3m的周期函数． （8） 结合（6）（7）可得：当一个函数时，则可以根据迭代推出，那么是周期为3m的周期函数 （9） 函数，当且仅当时，是周期为3m的周期函数． （10） 若函数满足，则 （11） 函数，当且仅当时，是周期为4m的周期函数． （12） 若函数满足，则 （13） 函数，当且仅当时，是周期为6m的周期函数；当时，不会再产生周期函数． （14） 周期函数的迭代定理：若，则存在，，一定存在最小的正整数n，使得中成立，即，即为这个函数的最小正周期． （15） ，则是以6a为周期的周期函数． （16） 若函数满足或，则 2． 双对称推导周期 已知函数图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴：已知函数图象关于直线和直线对称，则函数是周期为|的周期函数．特别地，当为偶函数且函数图象关于直线对称时，函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于直线和直线对称，所以所以（用替换）所以，所以函数是周期为的周期函数． ③两个对称中心：已知函数图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数．特别地，当为奇函数且函数图象关于点中心对称时，函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于点和点对称，所以所以（用替换）以，所以函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴+一个对称中心：已知函数图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期为的周期函数． 证明 因为函数图象关于点中心对称且关于直线对称，所以所以（用替换）所以，所以（用替换），所以，所以函数是周期为的周期函数． 注：一般而言，根据一条对称轴＋一个对称中心推导出来周期的函数能找到一个与之间的关系式，即可能有半周期． 【典例1】 若对任意的，都有，且，，则的值为______. 【大招指引】先利用周期函数的定义和题意得到函数的周期为1，再赋值进行求解. 【解析】因为对任意的都有， 得， 所以，则有， 即有，所以， 则， 即，则函数是周期为1周期函数， 则，， ，即， 所以，故．故答案为2． 【题后反思】本题直接利用以下结论即可得到周期为1：若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． 【温馨提醒】在求多个单独的函数值之和时，往往转化为周期函数进行简化，要结合题中所给等式的结构特点合理推导出周期性. 【举一反三】 1． 已知函数满足和,且当时,则 A．0 B．2 C．4 D．5 【典例2】 已知函数的定义域为，若函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法一定正确的为______． ①；②；③的周期为2；④． 【大招指引】先把题目中的已知条件转化成函数图象的对称条件，再使用双对称推导周期，进而根据函数的图象对称性、周期性、“半周期”性判断四个说法的正确性. 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 所以（用替换）， 所以函数的图象关于直线对称． 因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以函数的图象关于点中心对称， 所以函数是周期为4的周期函数，故③错误． 对于①②，因为图象关于直线对称，所以， 所以，所以图象关于直线对称，①无法确定，②正确． 对于④，无法确定．综上，只有②一定是正确的． 【题后反思】因为本题中两个对称的条件并不直接是函数图象的对称条件，所以要先把题目中的已知条件转化成函数图象的对称条件，这是解决本题的关键所证. 【温馨提醒】在处理双对称问题时，往往与函数的周期性联系，这是由三角函数的图象和性质推广得到，所以记忆结构时可利用三角函数的图象进行加强记忆. 【举一反三】 2． 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是 . 3． 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 4． 设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5． 定义在上的函数的图象关于点成中心对称且对任意的实数都有且，，则（    ） A．1 B．0 C． D． 6． 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A．-1 B． C． D．1 7． 已知函数是定义在上的偶函数，，当时， ，若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 8． 设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为 A． B． B． D． 9． 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 10． 已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是　　 A． 函数的最小正周期是10 B． 对任意的，都有 C． 函数的图象关于直线对称 D． 函数的图象关于中心对称 11． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 12． 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$