精品解析：2025年江苏省泰州市姜堰区中考二模数学试卷

2025年春学期九年级第二次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各实数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 4. 将下列函数的图像向上平移一个单位长度后，经过点的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式，，则P和Q的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 要使代数式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是______． 8. 研究表明，语言模型在处理一定复杂程度的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015．数据0.0000000015用科学记数法表示是______． 9. 命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是______（填“真命题”或“假命题”）． 10. 如图，在菱形中，分别为的中点．若，则菱形的周长是______． 11. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 24 12. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是______（用“”连接）． 13. 如图，边长均为10正方形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，长为半径画弧，得到扇形，则的长为______（结果保留）． 14. 若m，n是一元二次方程的两个根，则______． 15. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则______． 16. 如图，在中，，，点D为平面内一点，且，，则的面积是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某商场财务显示，商场2020—2024年的销售总额一共是4000万元，图1是该商场2020—2024年销售总额条形统计图（部分），图2是该商场服装部2020—2024年销售额占商场年销量总额的百分比折线统计图． （1）补全商场2020—2024年销售总额条形统计图； （2）商场2022年销售总额的年增长率______2024年销售总额的年增长率（填“”，“＝”或“”）； （3）小明认为2024年服装部年销售额比2023年减少了，你同意他说法吗？请说明理由． 19. 如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． （1）任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是______． （2）任意转动转盘2次，用树状图或列表法求指针2次都指向红色区域的概率． 20. 端午食粽，是节日习俗之一．某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． （1）求甲、乙两种品牌每盒粽子的进价； （2）超市计划购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，总费用不超过4400元，则最多购买甲品牌粽子多少盒？ 21. 溱湖又名喜鹊湖，是湿地公园内最大的湖泊．如图，在东西方向的河岸线l上有长为的码头，在码头最西端A处，测得龙舟M在北偏东方向上；同一时刻，在A处正东方向的C处，测得龙舟M在北偏东方向上． （1）求龙舟M到河岸线l的距离（结果保留根号）； （2）若龙舟M沿着南偏东的方向行驶，那么该龙舟能否行至码头靠岸？请说明理由． （参考数据：，，，） 22. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 23. 某科技公司对甲、乙两款人形机器人行走性能进行测试．已知测试跑道的长为120m，甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以的速度匀速行走，乙机器人以的速度匀速行走了40s后，再以的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达终点B．两款机器人距离起点A的路程y（m）与行走时间x（s）之间的函数关系如图所示． （1）求a值； （2）甲、乙两机器人出发多长时间相距10m？ 24. 综合与实践：如图，矩形是一张纸，其中，小亮用该纸玩折纸游戏. 操作：将纸对折，使、重合，折痕为，展开后，连接； 操作：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，展开后，连接MN； （1）若，求的长； （2）求证：点为的中点. 25. 已知：是的弦，为的中点，为上一点，且与点位于异侧，过点的切线交的延长线于点． （1）如图，连接，交于点．试比较与的大小，并说明理由； （2）如图，连接，，，若，． 求的度数； 用无刻度的直尺与圆规，求作的内心（直尺与圆规分别只限用一次，保留作图痕迹，不要求证明）． 26. 定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； （2）已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； （3）点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期九年级第二次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各实数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 是无理数，不符合题意， B. 是无理数，不符合题意， C. =2，是有理数，符合题意， D. 是无理数，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的概念，是解题的关键． 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可． 【详解】解：明天将下雨、买一张电影票，座位号是奇数号、小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来，都是随机事件， 一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件， 故选：D． 4. 将下列函数的图像向上平移一个单位长度后，经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的平移，函数图像上的点，熟知平移规则得到正确的函数解析式是正确解答此题的关键． 先根据“上加下减”的平移法则写出平移后的函数解析式，再将点代入求解一一验证即可． 【详解】解：由题意得，一次函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴A选项不符合题意； 由题意得，一次函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴B选项不符合题意； 由题意得，函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴C选项符合题意； 由题意得，函数的图像向上平移一个单位长度后解析式为，∵平移后的图像过点，当时，∴D选项不符合题意； 故答案为：C． 5. 若代数式，，则P和Q的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 要使代数式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了分式有意义条件，根据分式的分母不等于0进行解答即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义， x应满足的条件，即． 故答案为： 8. 研究表明，语言模型在处理一定复杂程度的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015．数据0.0000000015用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此进行作答即可． 【详解】； 故答案为：． 9. 命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是______（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据矩形的判定定理即可判断，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：四个角都是直角的四边形是矩形，原命题是假命题， 故答案为：假命题． 10. 如图，在菱形中，分别为的中点．若，则菱形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，由中位线定理可得，则有，又四边形是菱形，所以，从而求出菱形的周长，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，菱形的四条边都相等． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长是， 故答案为：． 11. 甲、乙、丙三名运动员最近几次射击成绩的平均数（单位：环）与方差（单位：环）如表所示．其中成绩好且发挥稳定的运动员是______． 甲 乙 丙 平均数 8.8 92 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表知乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数， ∴从乙、丙中选择一人参加竞赛， ∵乙的方差较小， ∴乙发挥稳定， ∴选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 12. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，边长均为10的正方形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，长为半径画弧，得到扇形，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形内角和和弧长公式是解题的关键． 根据正五边形、正方形的性质求出它的内角的度数，进而求出的圆心角的度数，由弧长公式进行计算即可． 【详解】 解：正五边形和正方形， ，， ， 弧的长为． 故答案为：． 14. 若m，n是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，则，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，推出，，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵， ∴ 故答案为： 16. 如图，在中，，，点D为平面内一点，且，，则的面积是______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，角直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，求出，，则，由三角形内角和定理求出，然后分两种情况讨论，当点在上方时，记为，求出，即可求解面积；当点在下方时，记为，证明出，则由即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上方时，记为， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，记为， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的面积是1或2， 故答案为：1或2． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要是考查了分式的混合运算，乘方，特殊角的三角函数值等知识点． （1）根据乘方，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可求解； （2）先将括号内的进行合并，再约分可得结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某商场财务显示，商场2020—2024年的销售总额一共是4000万元，图1是该商场2020—2024年销售总额条形统计图（部分），图2是该商场服装部2020—2024年销售额占商场年销量总额的百分比折线统计图． （1）补全商场2020—2024年销售总额条形统计图； （2）商场2022年销售总额的年增长率______2024年销售总额的年增长率（填“”，“＝”或“”）； （3）小明认为2024年服装部年销售额比2023年减少了，你同意他的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）不同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先求出2023年销售总额，即可补全统计图； （2）分别求出2022年和2024年销售总额的年增长率，再比较即可； （3）分别计算出2023年和2024年服装部年销售额，即可判断． 【小问1详解】 解：2023年销售总额为， ∴补全商场2020—2024年销售总额条形统计图： 【小问2详解】 解：2022年销售总额的年增长率为，2024年销售总额的年增长率为， 故， 故答案为：； 【小问3详解】 解：不同意，理由如下： 2023年服装部年销售额：（万元）， 2024年服装部年销售额：（万元）， 可得2024年服装部年销售额比2023年增加了，故不同意小明看法． 19. 如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． （1）任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是______． （2）任意转动转盘2次，用树状图或列表法求指针2次都指向红色区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率和利用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）通过列表可得共有16种等可能情况，指针2次都指向红色区域的情况有4种，再根据概率公式求解即可． 小问1详解】 解：一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，其中，两个红色扇形， ∴任意转动转盘1次，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） 由表可得，共有16种等可能情况，其中，指针2次都指向红色区域的情况有4种， ∴其概率为． 20. 端午食粽，是节日习俗之一．某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． （1）求甲、乙两种品牌每盒粽子的进价； （2）超市计划购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，总费用不超过4400元，则最多购买甲品牌粽子多少盒？ 【答案】（1）甲种品牌每盒粽子50元，乙种品牌每盒粽子35元 （2）最多购买甲种品牌60盒 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设甲、乙两种品牌每盒粽子的进价分别为元，元，根据甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲品牌粽子盒，根据总费用不超过4400元，列出不等式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种品牌每盒粽子的进价分别为元，元，由题意，得： ，解得：， 答：甲种品牌每盒粽子50元，乙种品牌每盒粽子35元； 【小问2详解】 设购进甲品牌粽子盒，由题意，得：， 解得：； 答：最多购买甲种品牌60盒． 21. 溱湖又名喜鹊湖，是湿地公园内最大的湖泊．如图，在东西方向的河岸线l上有长为的码头，在码头最西端A处，测得龙舟M在北偏东方向上；同一时刻，在A处正东方向的C处，测得龙舟M在北偏东方向上． （1）求龙舟M到河岸线l的距离（结果保留根号）； （2）若龙舟M沿着南偏东的方向行驶，那么该龙舟能否行至码头靠岸？请说明理由． （参考数据：，，，） 【答案】（1）龙舟M到河岸线l的距离为 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点M作于点H，解直角三角形求出，，利用，即可求解； （2）连接，作，交直线与点D，由（1）知，，解直角三角形求出，再求出，由，即可说明． 【小问1详解】 解：过点M作于点H， 根据题意得：， 在中，，则， 在中，，则， ∴， 解得：， 答：龙舟M到河岸线l的距离为； 【小问2详解】 解：该龙舟能行至码头靠岸，理由如下： 连接，作，交直线与点D， 由（1）知，， 则， ∵，且， ∴该龙舟能行至码头靠岸． 22. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，解题关键在于掌握性质． （1）连接，根据直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定即可证明结论； （2）根据题意可得，，利用勾股定理即可求得的值，利用三角形面积公式即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连接， 是边上中线，是边上的高， ， ， ， 和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ，， 在直角中， ， ． 23. 某科技公司对甲、乙两款人形机器人的行走性能进行测试．已知测试跑道的长为120m，甲、乙两款机器人同时从起点A向终点B行走，甲机器人以的速度匀速行走，乙机器人以的速度匀速行走了40s后，再以的速度匀速行走，结果两款机器人同时到达终点B．两款机器人距离起点A的路程y（m）与行走时间x（s）之间的函数关系如图所示． （1）求a的值； （2）甲、乙两机器人出发多长时间相距10m？ 【答案】（1） （2）20s或50s 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由函数图象获取信息，正确理解题意，读懂函数图象是解题的关键． （1）先求出甲机器人走完全程时间，然后再列一元一次方程求解； （2）分别求出和关于的函数关系式，再根据相距10m，得到，从而建立一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：由图象可得，甲机器人走完全程时间为， ∴由题意可得，， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 设，代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，同理可求：； 当时，设， 代入，得：， 解得：， ∴， 当甲、乙两机器人相距10m时， 则或， 分别解得：或， ∴甲、乙两机器人出发20s或50s时相距10m． 24. 综合与实践：如图，矩形是一张纸，其中，小亮用该纸玩折纸游戏. 操作：将纸对折，使、重合，折痕为，展开后，连接； 操作：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，展开后，连接MN； （1）若，求的长； （2）求证：点为的中点. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及方程思想。解题关键在于利用折叠性质得到相等线段，通过勾股定理建立等式（方程），进而求解线段长度或证明线段间的关系． （1）要求的长．需先根据矩形和折叠性质求出相关线段长度，再利用勾股定理求出，最后根据来计算． （2）要证明点为中点，可设长度为，长度为，通过折叠性质和勾股定理建立关于和的方程，求解得出与的数量关系． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，且， ∴．， ∴操作，对折后，，． 在中，根据勾股定理． ∵操作，根据折叠性质， ∴． 【小问2详解】 解：设，则，设， ∴． ∴折叠性质知，． 根据勾股定理得， ∴． 在中，根据勾股定理，即． ∴． 解得． ∵， ∴， ∴点为的中点． 25. 已知：是的弦，为的中点，为上一点，且与点位于异侧，过点的切线交的延长线于点． （1）如图，连接，交于点．试比较与的大小，并说明理由； （2）如图，连接，，，若，． 求的度数； 用无刻度的直尺与圆规，求作的内心（直尺与圆规分别只限用一次，保留作图痕迹，不要求证明）． 【答案】（1），理由见解析； （2）；作图见解析． 【解析】 【分析】（）连接，，交于点，由为的中点，则，即，所以，根据等边对等角得，又是的切线，则，故有，从而可得，最后由等角对等边即可求解； （）连接，交于点，由，，则，，由圆周角定理得，故有，设，根据三角形内角和定理和外角性质得出，故有； 连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：，理由， 如图，连接，，交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，点即为所求； 理由：连接，， ∵为的中点， ∴垂直平分，平分， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， 由上得：， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴是的内心． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，三角形外角性质，圆周角定理，菱形的判定与性质，三角形内心，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； （2）已知，点D“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； （3）点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）C （2）①等腰直角三角形，理由见解析；② （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何变换，反比例函数与几何变换，二次函数与几何变换，等腰直角三角形的判定定理，勾股定理及其逆定理，正确理解“变换点”的定义是解题的关键． （1）根据定义分别求出各个点的“变换点”即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可证明，则由勾股定理的逆运算可得到结论； （3）设，则，则有，可得，根据，得到或，据此根据二次函数的性质求出在或时的函数值取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，在x轴上； ∴只有的“变换点”在x轴上； 【小问2详解】 解：①的等腰直角三角形，证明如下： 设，则， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形； ②设，则， ∵点E在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴在直线的图像上， 即L的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设，则，即， ∵G在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 令， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 在中，当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； 当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； ∵，且或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$