第七章 §7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第七章立体几何与空间向量 §7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 点到直线、点到平面的距离 2024·全国甲卷 2024·天津卷 2023·全国甲卷 2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国乙卷 求空间中点到直线以及点到平面的距离；以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件。 【知识梳理】 1.点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 图1 2.点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝. 图2 3.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 4.直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量. 两平行平面α，β之间的距离d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) 2.空间点A(-1，1，1)，B(-1，2，3)，C(1，2，4)，则点A到直线BC的距离d等于(　　) A. B. C. D. 3.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为(　　) A.1 B. C. D. 4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是　　　　.  【必练核心题型】 题型一　空间距离 命题点1　点线距离 【典例】1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为　　　　　　.  命题点2　点面距离 【典例】2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A.2 B. C. D. 命题点3　异面直线的距离 【典例】3.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=6，点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB，则异面直线PC和DG的距离为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=BD；点F在CB1上，且CF=CB1.则下列结论正确的是(　　) A.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段 B.异面直线AA1与BD的距离为 C.点D1到直线EF的距离为 D.点D1到平面DEF的距离为 题型二　立体几何中的探索性问题 【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB=CD=AD=1，M为棱PC的中点. (1)证明：BM∥平面PAD； (2)若PC=，PD=1， ①求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； ②在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练】如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=120°，AB=2，且直线BD1与平面BCC1B1所成的角为30°. (1)求直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高； (2)在棱AA1上是否能找到一点M，使得平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°？若能，求出的值；若不能，说明理由. 【限时训练】（限时：60分钟） 1.(12分)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点. (1)证明：MN∥平面A1CP；(6分) (2)求点P到直线MN的距离.(6分) 2.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上的动点. (1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(5分) (2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(7分) 3.(13分)已知平行四边形ABCD，如图甲，D=60°，DC=2AD=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P-ABC，如图乙. (1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(5分) (2)在线段PC上是否存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.(8分) 4.(13分)三棱锥P-ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形且AC=2，各侧棱的长均为3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点. (1)求点E到平面ABC的距离；(5分) (2)设点Q到平面PBC的距离为d1，Q到直线AB的距离为d2，求d1+d2的最小值.(8分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章立体几何与空间向量 §7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 点到直线、点到平面的距离 2024·全国甲卷 2024·天津卷 2023·全国甲卷 2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国乙卷 求空间中点到直线以及点到平面的距离；以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件。 【知识梳理】 1.点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 图1 2.点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝. 图2 3.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 4.直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量. 两平行平面α，β之间的距离d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　　) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【解析】(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交. (2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离. (4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交. 2.空间点A(-1，1，1)，B(-1，2，3)，C(1，2，4)，则点A到直线BC的距离d等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得=(0，1，2)，=(2，0，1)， 所以cos〈〉===， 所以sin∠ABC==， 所以点A到直线BC的距离d=||sin∠ABC=×=. 3.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)， 所以=(1，1，2)，=(-1，2，1)，=(-2，2，0)， 设平面EMN的法向量为m=(x，y，z)， 则 令x=1，可得m=(1，1，-1)，所以·m=0， 即⊥m， 又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN， 故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离， 又=(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为==， 即直线AC与平面EMN之间的距离为. 4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是　　　　.  【答案】 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， 所以=(2，0，0)， =(2，0，2)，=(2，2，0). 设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令x=1，则n=(1，-1，-1)， 所以点D1到平面A1BD的距离 d===. 【必练核心题型】 题型一　空间距离 命题点1　点线距离 【典例】1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 则=(-3，0，1)，=(-3，4，0)， 故点P到直线BD的距离 d===. 命题点2　点面距离 【典例】2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， 所以=(-2，0，1)，=(0，2，0)，=(0，λ，1). 设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则 取x=1，得n=(1，0，2)， 所以点G到平面D1EF的距离为 d===. 命题点3　异面直线的距离 【典例】3.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=6，点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB，则异面直线PC和DG的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，以点A为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，6)，G(1，0，4). 所以=(1，-3，4)，=(3，3，-6)，=(3，0，0)， 设n=(x，y，z)为直线PC和DG的公垂线的方向向量， 则有可取n=(1，3，2)， 所以异面直线PC和DG的距离为 ==. 【解题技巧】 (1)点到直线的距离 ①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d=. ②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离. (2)求点面距一般有以下三种方法 ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离. ②等体积法. ③向量法. 【变式训练】(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=BD；点F在CB1上，且CF=CB1.则下列结论正确的是(　　) A.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段 B.异面直线AA1与BD的距离为 C.点D1到直线EF的距离为 D.点D1到平面DEF的距离为 【答案】ACD 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， ==， ==， 所以E，F. 对于A，==(1，1，0)， =(1，0，1)， 所以·=-=0， ·=-=0， 即EF⊥DB，EF⊥CB1，所以线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体的性质可得异面直线AA1与BD的公垂线的一个方向向量为=(-1，1，0)， 又=(1，0，0)，所以异面直线AA1与BD的距离为==，故B错误； 对于C，==， 所以在方向上的投影向量的长度为h==，所以点D1到直线EF的距离为==，故C正确； 对于D，设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，=， 则即 令x=1，得y=-1，z=2， 所以n=(1，-1，2)，又=(0，0，1)， 所以点D1到平面DEF的距离d===，故D正确. 题型二　立体几何中的探索性问题 【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AB=CD=AD=1，M为棱PC的中点. (1)证明：BM∥平面PAD； (2)若PC=，PD=1， ①求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； ②在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，请说明理由. 【证明】 (1)　取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示. ∵M为棱PC的中点， ∴MN∥CD，MN=CD， ∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MN，AB=MN， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN， 又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD. 【解析】 (2)∵PC=，PD=1，CD=2， ∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC， ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC， ∴PD⊥平面ABCD， 又AD，CD⊂平面ABCD， ∴PD⊥AD，PD⊥CD，而AD⊥DC， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，B(1，1，0)， ∵M为棱PC的中点，∴M. ①==(1，1，0)， 设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)， 则 令z=2，则∴n=(1，-1，2)， 平面PDM的一个法向量为=(1，0，0)， ∴|cos〈n，〉|===， 则平面PDM与平面BDM夹角的余弦值为. ②假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设=λ，0≤λ≤1，又=(1，0，-1)， 则Q(λ，0，1-λ)，=(λ-1，-1，1-λ)， 由①知平面BDM的一个法向量为n=(1，-1，2)，·n=λ-1+1+2(1-λ)=2-λ， ∴点Q到平面BDM的距离是 ==，∴λ=，∴PQ=. 【解题技巧】 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”. (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【变式训练】如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=120°，AB=2，且直线BD1与平面BCC1B1所成的角为30°. (1)求直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高； (2)在棱AA1上是否能找到一点M，使得平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°？若能，求出的值；若不能，说明理由. 【解析】 (1)设AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故OA，OB，OO1两两垂直， 如图，以OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，∠ABC=120°， 所以OA=，OB=1，设AA1=h>0， 则B(0，1，0)，C(-，0，0)，C1(-，0，h)，D1(0，-1，h)， 所以=(，1，0)，=(0，0，h)，=(0，-2，h). 设平面BCC1B1的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则由得 令x1=1，得n1=(1，-，0)， 所以cos〈，n1〉==， 因为直线BD1与平面BCC1B1所成的角为30°， 所以|cos〈，n1〉|=sin 30°， 即=，解得h=2. (2)假设能找到这样的点M， 设M(，0，t)，且0≤t≤2， 则=(2，0，t)，=(，-1，2)， 设平面CD1M的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则由 得 令x2=t，得n2=(t，t-4，-2)， 则|cos〈n1，n2〉|==， 由平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°， 可得|cos〈n1，n2〉|=cos 30°， 即=， 解得t=∈[0，2]， 所以能找到这样的点M，此时，AM=t=， 故==. 【限时训练】（限时：60分钟） 1.(12分)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点. (1)证明：MN∥平面A1CP；(6分) (2)求点P到直线MN的距离.(6分) 【证明】 (1)　由题意知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=60°， 而AB⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，得M，N(1，0，1)，P， 所以=(1，，-2)，==， 设平面A1CP的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，得y=-，z=-1， 所以n=(1，-，-1)， 所以·n=-×1+×(-)+1×(-1)=0， 又MN⊄平面A1CP， 即MN∥平面A1CP. 【解析】 (2)如图，连接PM， 由(1)得=(0，0，-2)， 则·=-2，||=，||=2， 所以点P到直线MN的距离 d==. 2.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上的动点. (1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(5分) (2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(7分) 【证明】 (1)因为AB∥CD，CD=BC=2，∠ABC=90°， 所以∠BCD=90°，BD=2， 在△ABD中∠ABD=45°，AB=4，由余弦定理得AD==2， 所以AD2+BD2=AB2， 即∠ADB=90°，AD⊥BD， 取AD的中点O，连接PO， 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD， 又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD， 又BD⊂平面MBD， 所以平面MBD⊥平面PAD. (2)假设存在点M，使得直线AP与平面MBD所成的角为30°，取AB的中点N，连接ON，则ON∥BD，所以AD⊥ON， 以{}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，-，0)，D(0，，0)，B(2，0)，C(，2，0)，P(0，0，)， 设=λ，0≤λ≤1，则==+λ=(0，-)+λ(，2，-)=(λ，2λ--λ)， 又=(2，0，0)， 设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)， 则 即 取z=2λ-1， 则n=(0，(λ-1)，2λ-1)，=(0，)， 由直线AP与平面MBD所成的角为30°，得 sin 30°=|cos〈，n〉|= = ==， 化简得10λ2-13λ+4=0，解得λ=或λ=， 故存在点M，当=或=时，直线AP与平面MBD所成的角为30°. 3.(13分)已知平行四边形ABCD，如图甲，D=60°，DC=2AD=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC，连接PB得三棱锥P-ABC，如图乙. (1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(5分) (2)在线段PC上是否存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.(8分) 【证明】 (1)　翻折前，因为四边形ABCD为平行四边形，D=60°，DC=2AD=2，则AD∥BC， 由余弦定理可得AC2=DC2+AD2-2DC·AD·cos D=4+1-2×2×1×=3， 所以AC2+AD2=DC2，则AD⊥AC， 又AD∥BC，所以BC⊥AC； 翻折后，BC⊥AC，PA⊥AC， 因为PC⊥BC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC， 因为PA⊂平面PAC，则PA⊥BC， 因为AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥平面ABC， 因为PA⊂平面PAB，故平面PAB⊥平面ABC. 【解析】 (2)因为PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以点A为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，，0)，B(-1，，0)， 设=λ=λ(0，，-1)=(0，λ，-λ)，其中0<λ<1， 则==(0，0，1)+(0，λ，-λ)=(0，λ，1-λ)，=(-1，，0)， 设平面ABM的法向量为m=(x，y，z)， 则取y=λ-1，则z=λ，x=(λ-1)， 所以m=((λ-1)，λ-1，λ)， 易知平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)， 则|cos〈m，n〉|===，整理可得8λ2+2λ-1=0， 因为0<λ<1，解得λ=， 故线段PC上存在点M，使二面角M-AB-C的余弦值为，且=. 4.(13分)三棱锥P-ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形且AC=2，各侧棱的长均为3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点. (1)求点E到平面ABC的距离；(5分) (2)设点Q到平面PBC的距离为d1，Q到直线AB的距离为d2，求d1+d2的最小值.(8分) 【解析】 (1)取AC的中点O，连接PO，BO，如图， 因为PA=PC=3，AC=2，所以PO⊥AC， 且PO==， 因为△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，所以BO⊥AC，且BO=， 又PB=3，满足PB2=PO2+BO2， 所以PO⊥BO，因为AC∩BO=O，AC，BO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC， 因为点E为棱PA的中点， 所以点E到平面ABC的距离为PO=. (2)如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 则C(0，，0)，P(0，0，)， A(0，-，0)，B(，0，0)， E， 则=(，0，-)，=(0，，-)，=(，0)，=， 设=λ(0≤λ≤1)， 则可得=， 则Q， 则=， 所以cos∠QAB==， 所以sin∠QAB=， 所以d2=AQ·sin∠QAB=， 设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令x=，可得n=()， 则d1==λ， 所以d1+d2=f(λ)=λ，0≤λ≤1，所以f'(λ)=， 令f'(λ)=0，解得λ=， 令g(λ)=f'(λ)=，0≤λ≤1， 则g'(λ)=>0， 所以g(λ)=f'(λ)在[0，1]上单调递增，所以当λ∈时，f'(λ)<0，f(λ)单调递减； 当λ∈时，f'(λ)>0，f(λ)单调递增， 所以f(λ)min=f=， 即d1+d2的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$