精品解析：2025年江苏省淮安市涟水县中考模拟数学试题

涟水县2024-2025学年度第二学期中考模拟试卷（1） 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意：本卷所有答案一律填写在答题卡上，否则成绩无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将下列各题正确的结果填写在答题卡相应的位置上） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量已达到793 000 000次，其中793 000 000用科学记数法表示为_____． 11. 分解因式：=_________________________． 12. 一只蚂蚁在一块黑白两色的正六边形地砖上任意爬行，并随机停留在地砖上某处，则蚂蚁停留在黑色区域的概率是______． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 14. 我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为______．（结果用表示） 15. 如图是某电影院一个圆形VIP厅的示意图,是的直径,且,弦是该厅的屏幕,在处的视角,则______． 16. 如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则=______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 解不等式组，并在数轴上表示出公共解集． 19. 如图，是平行四边形的对角线，作于E，作于F．求证：． 20. 在2024年巴黎奥运会上，中国射击队取得了优异成绩，共获得5金2银3铜，创下了中国射击项目在奥运赛场的历史最佳纪录，李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 李雷10次射击成绩统计表 命中环数 命中次数 5环 1 6环 2 7环 4 8环 2 9环 1 林涛10次射击成绩分布图 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 众数（单位：环） 中位数（单位：环） 李雷 7 a 7 林涛 7 8 b 此表格中： ； ． （2）已知林涛射击成绩的方差为5环，求李雷射击成绩的方差； （3）李雷和林涛都很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 21. 某超市为“庆五一”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“A.国是家、B.孝为先、C.善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为30元、20元、10元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； （2）如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于50元的概率． 22. 如图是某座山的索道缆车，如图是其中一段索道的示意图，点A为观景台，点B是缆车停靠点．从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． （1）求点A到山脚的距离； （2）求的长（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 23. 如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在边上找一点，使得； （2）如图，在边上找一点，使得． 24. 综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 （1）求、的值； （2）小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ （3）小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 25. 如图，在中，是的直径，C是上一点，连接，作于E，的延长线交直线l于点D，且． （1）求证：直线l与相切； （2）若的半径为4，，求的长． 26. 已知抛物线（a为常数，且）． （1）求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； （2）若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 27. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涟水县2024-2025学年度第二学期中考模拟试卷（1） 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意：本卷所有答案一律填写在答题卡上，否则成绩无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，左视图就是从左边看到的视图，其中能看到的边用实线表示，不能看到的用虚线表示． 【详解】解：是完整的长方形，未体现中间凹陷，错误，故选项不符合题意； 是三个小长方形的组合，不符合左视图形状，错误，故选项不符合题意； 这是主视图，故选项不符合题意； 是长方形且中间有两条水平虚线，符合左视图的特征，正确，故选项符合题意． 故选：． 4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5. 若点，在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，利用函数的增减性求解．根据反比例函数的值，判断函数的增减性即可求解． 【详解】解：反比例函数，， ∴函数的图象在一 、三象限， 根据函数性质，函数在一 、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 6. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 7. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可． 【详解】A．，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； C．，，，符合全等直角三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，当时，，求出，即可得到答案. 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，如图， ∴当时，， 解得， ∴， 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将下列各题正确的结果填写在答题卡相应的位置上） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量已达到793 000 000次，其中793 000 000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键． 确定的值时，即可以用整数位减一得到，又可以把原数变成，看小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 12. 一只蚂蚁在一块黑白两色的正六边形地砖上任意爬行，并随机停留在地砖上某处，则蚂蚁停留在黑色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2， ∴蚂蚁停留在黑色区域的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 解得，， 故答案为：． 14. 我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为______．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 15. 如图是某电影院一个圆形VIP厅的示意图,是的直径,且,弦是该厅的屏幕,在处的视角,则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接,根据直径所对的圆角是直角,可得到,然后利用在同圆中,同弧所对的圆周角相等,得到,再根据锐角三角函数解出即可． 【详解】 如图,连接, ∵是的直径, ∴ , ∵, ∴, 在 中,, ∴ , 故答案为:． 【点睛】本题主要考查了关于圆的知识,同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆角是直角,锐角三角函数,解题的关键是熟练掌握相关知识点的运用及圆中常作的辅助线方法． 16. 如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则=______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 【详解】解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，化简绝对值，分式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先由负整数指数幂，特殊三角函数值，化简绝对值法则分别进行计算，然后合并即可； （）先算括号内的分式加法，然后计算分式除法即可． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 =． 18. 解不等式组，并在数轴上表示出公共解集． 【答案】， 在数轴上表示出它的解集如图：                  【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，， 由②得，，                          解得，，                             所以不等式组的解集是．                   数轴略． 19. 如图，是平行四边形的对角线，作于E，作于F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，进而结论得证． 【详解】略 20. 在2024年巴黎奥运会上，中国射击队取得了优异成绩，共获得5金2银3铜，创下了中国射击项目在奥运赛场的历史最佳纪录，李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 李雷10次射击成绩统计表 命中环数 命中次数 5环 1 6环 2 7环 4 8环 2 9环 1 林涛10次射击成绩分布图 （1）完成下列表格： 平均数（单位：环） 众数（单位：环） 中位数（单位：环） 李雷 7 a 7 林涛 7 8 b 此表格中： ； ． （2）已知林涛射击成绩的方差为5环，求李雷射击成绩的方差； （3）李雷和林涛都很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 【答案】（1）7，8 （2）环 （3）李雷成绩更好是因为：在平均数一样的情况下，李雷的方差更小，成绩更稳定；林涛成绩更好是因为：林涛的众数和中位数都高于李雷的 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求方差和求众数，用中位数，众数和方差做决策，正确求出对应的方差，中位数和众数是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）从方差，中位数和众数的角度出发阐述理由即可． 【小问1详解】 解：∵李雷射击成绩中，命中7环的次数最多， ∴李雷射击成绩的众数为7环，即， 把林涛的射击成绩按照从低到高排列为：3，4，5，6，8，8，8，9，9，10（单位为环），处在第5名和第6名的成绩分别为8环，8环， ∴林涛射击成绩的中位数为环，即； 【小问2详解】 解：李雷成绩的方差为环 【小问3详解】 解：李雷成绩更好是因为：在平均数一样的情况下，李雷的方差更小，成绩更稳定； 林涛成绩更好是因为：林涛的众数和中位数都高于李雷的． 21. 某超市为“庆五一”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“A.国是家、B.孝为先、C.善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为30元、20元、10元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； （2）如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于50元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于50元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于50元的结果有：，，共3种， 小明两次所获奖品总值不低于50元的概率为． 22. 如图是某座山的索道缆车，如图是其中一段索道的示意图，点A为观景台，点B是缆车停靠点．从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． （1）求点A到山脚的距离； （2）求的长（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点到山脚的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于，则， 在中，， ， 答：点到山脚的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长约为． 23. 如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在边上找一点，使得； （2）如图，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）在的延长线上截取，可得，由可得，即可得，故点即为所求； （）作的垂直平分线，交于点，可得，即得，故点即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 （1）求、的值； （2）小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ （3）小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】（1）； （2）元； （3）这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； 【小问2详解】 解：元， 答：小美需要支付元快递费； 【小问3详解】 解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 25. 如图，在中，是的直径，C是上一点，连接，作于E，的延长线交直线l于点D，且． （1）求证：直线l与相切； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴, ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴直线l是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理和解直角三角形，做出正确辅助线，是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，再导角证明，即，据此可证明结论； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 26. 已知抛物线（a为常数，且）． （1）求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； （2）若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴该抛物线的图像与x轴有公共点； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得证该抛物线的图像与x轴有公共点，即可作答． （2）①根据抛物线与x轴交于A，B两点，且，得，解得，，得，即可作答． ②先得该函数的顶点坐标D为，则D关于对称的点，算出，再进行分类讨论，作图，运用数形结合思想且根据二次函数的图象性质，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵抛物线与x轴交于A，B两点，且， ∴， 则， ∴， 解得，， ∴，得（舍）；或，得 ∴； ②抛物线 则该函数的顶点坐标D为 则D关于对称的点， 当时，； 当时，， 即， Ⅰ、当在E上方时，， 解得 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴ ； Ⅱ、当在E下方时，， 解得， 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴； 综上：满足题意的t的取值范围为． 27. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ， ， ， ， ； ②； （3）能，或或12或． 【解析】 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：； 理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②连接， ，，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $