2025届江苏省常州市第一中学高三第三次模拟考试数学试题

常州市第一中学2025届高三第三次模拟考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 2．已知（为虚数单位)，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 3．已知为的一个内角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 5．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（    ） A．当时， B． C．随机变量，当，都减小时，概率增大 D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，平面，，，，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. (1)求点的轨迹的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 18．（本小题满分17分）对于函数，若则称为的不动点.设. (1)当时， (i)求的极值点； (ii)若存在既是的极值点，也是的不动点，求的值. (2)判断是否存在实数，使得有两个极值点，且这两个极值点均为的不动点？判断并说明理由. 19．（本小题满分17分）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和. ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 试卷第1页，共3页 常州市第一中学2025届高三第三次模拟考试 数学试题参考答案 1．A 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 2．B 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 3．D 【分析】由两角和正切公式求出的值，进而得出为钝角，再结合常数“1”的代换和齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】由题意得，因此为钝角， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知，又， 所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)， 抛物线的焦点，准线，， 故 故. 故选：C 5．D 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 6．A 7．B 【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5， 从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法， 要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类： 若两数中不含5，不同的选法有种； 若两数中含5，则不同的选法有种， 所以共有种不同的选法，所以概率为 故选：B. 8．B 【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用得到，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把代入即可得到点C的坐标，从而求出，，得到平行四边形ABCD的面积. 【详解】解：∵函数f（x）＝log2， 由f（2）＝1可得，∴a＝b+2， 由f（）＝0可得，∴a＝1， 解得：a＝4，b＝2， ∴f（x）， 设点C，D的横坐标分别为x1，x2，由题意可知，则，∴， 由f（x2）﹣f（x1）＝1得：， ∴， ∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4， 又∵点C不与B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3）， ∴，， 故平行四边形ABCD的面积S＝ ， 故选：B. 【点睛】此题考查四边形面积的求法，考查对数函数的性质，考查运算求解能力、推理能力，属于中档题. 9．BD 【分析】由定义即可判断A；根据结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的准则可判断CD. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确； 对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴， 根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误． 故选：BD. 10．ABD 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】A选项，利用二项式定理的二项式系数性质进行求解；B选项，根据二项式定理得到，赋值法证明出结论；C选项，计算出当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为78，C错误；D选项，用数学语言表述，并用两种方法表达中的系数，从而得到证明. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是,A正确； 由“第行所有数之和为”猜想：， 理由如下：， 令得：，B正确； 在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78，故C错误； 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 用数学语言表述为 证明如下： 对应相乘可得的系数为 而利用二项式定理可得通项公式为，当时，可得， 即的系数为：， 所以，D正确. 故选：ABD 12．3或4（写对一个即可） 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 14．16 【分析】依题意可得第二名选手至少得分，又全胜得分，假设第二名选手得分分推出矛盾，即可得解. 【详解】每个选手需要进行场比赛，则全胜的选手得分， 而最后五名选手之间赛场，至少共得分，所以第二名选手至少得分. 又因为名选手的得分各不相同，若第二名选手得分（赢了8场平1场），则第一名选手得分分（赢场）， 这时，第一全赢，第一赢了第二一局，第二输了一局，所以矛盾. 所以不可得分，所以第二名选手得分是分. 故答案为：. 15．(1)(2) 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 此时. （2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点， 、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 16．(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 17．(1)(2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 18．(1)(i)当时，无极值点，当时，是的极大值点，是的极小值；(ii)；(2)不存在，理由见解析. 【分析】(1)(i)求出函数的导数，再按b值分类讨论的根并辨析即可； (ii)由(i)的信息，解方程组即可得解； (2)假定存在满足题设的，从极值点和不动点两个角度分别分析即可判断作答. 【详解】(1)当时，， （i）当时，在上单调递增﹐无极值点， 当时，由得：或，当或时，，当时，， 于是有在，上都单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点； （ii）因是的极值点，也是的不动点，则有，即，其中， 消去得：，即，而，则，从而， 所以的值是； (1)假设存在满足题设的，令为的两个极值点且为的不动点，并不妨令， 因，则为方程的两个根， 当时，，于是有在上单调递减，则， 又为的不动点，则，即与矛盾， 所以不存在满足题设的. 19．(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关 (2)①分布列见解析，；②证明见解析， 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）①对于一道题而言，先分析竞赛发起权在组的次数的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再计算概率即可； ②根据题干列出等式进而求出数列的通项公式，由通项公式即可证明结论，即可求出聚点A的值. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）①依题意可知，可取0，1，2， 则， ， ， 0 1 2 所以次数的数学期望. ②第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则 ②+③得：，由①得， ，，， ，，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，， 所以数列为“聚点数列”；. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$