精品解析：吉林省松原市宁江区2024～2025学年下学期九年级第三次模拟测试.名校调研 数学　

名校调研系列卷·九年级第三次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 倒数等于的数（ ） A. B. C. D. 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，值日生小东和小明两人共同拉着一根细线对课桌进行对齐，这样做所蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 8. 单项式的系数是_______． 9. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是___． 10. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为_______________． 11. 如图，在平行四边形中，，，以为直径的交于点，则的长为________（结果保留）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 13. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是_____． （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 14. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，． 15. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在线段上找一点E，使． （3）如图③，在线段上找一点F，连接，使． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 17. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生观看春晚的方式（：平板观看：：手机观看；：电视观看：：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为______； （3）该校九年级共有学生1000人，请估计九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 18. “中国天眼”是世界最大单口径射电望远镜，其设计综合体现了中国高科技创新能力．小伟一家周末从家出发，自驾前往中国天眼科普基地参观，经过途中唯一的服务区时休息了，然后继续行驶，在离家时到达目的地．如图，表示汽车离家的距离与行驶时间的关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）直线的函数关系式是 ； （2）求中国天眼科普基地距离小伟家多少千米； （3）小伟一家参观“天眼”用时，然后按的速度驾车原路返回．在去程和返程的行驶过程中，语音导航系统各提醒一次：“前方距离服务区还有”，请问这两次提醒的时间分别是离家后的多少小时？ 19. 综合与实践 [问题背景]： 如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且． （1）求证：． [操作探究]： 如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出平移的距离． [拓展创新]： 如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，． （3）当时，请求出的长． 20. 如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当点落在线段上时，求的值； （3）当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数），经过点，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图像G． （1）求抛物线的解析式． （2）若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结，求的面积． （3）当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围． （4）已知点、、，顺次连接得到矩形，当图像G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第三次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 倒数等于的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义解答即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项符合题意； 故选：． 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：． 3. 如图，值日生小东和小明两人共同拉着一根细线对课桌进行对齐，这样做所蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线的性质，解题的关键是理解并运用直线的相关公理． 通过小东和小明两人拉细线这一行为，分析其对应的数学原理． 【详解】小东和小明相当于两个点，他们共同拉着一根细线，这根细线就可以看作是一条直线，体现了两点确定一条直线的数学道理． 故选：C． 4. 把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先移项合并同类项，得，然后把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 则把表示在数轴上，如图所示： ， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除运算即可． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 单项式的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的定义，熟知单项式的定义是解本题的关键，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．根据单项式的定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 9. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据题意分两种情况讨论：当方程是一元一次方程时和当方程是一元二次方程时，然后根据一元二次方程有实数根得到，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：当方程是一元一次方程时， 根据题意得，， ∴； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，旋转性质；由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则，故． 【详解】解：由题意以及旋转的性质知，， ， ， ， 故为等边三角形，即， 则， 故答案为：． 11. 如图，在平行四边形中，，，以为直径的交于点，则的长为________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出的长，再连接求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，， ，， 连接， ， 是等边三角形， ， 又， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 【答案】设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件 【解析】 【分析】设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，根据甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件， 解得： 乙工程队每天铺设桥梁构件为： 答：设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件． 13. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是_____． （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到他们选择同种减压方式的结果数，再利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果， ∴他选择“享受美食”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中他们选择同种减压方式的结果数为4， ∴他们选择同种减压方式的概率为． 14. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，． 【答案】96米 【解析】 【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论． 【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方， ∴是直角三角形， ∴， ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°， 在Rt△ACD中，，CD=90米， ∴米， ∵， ∴ ∴， ∴ 即是直角三角形， ∴， ∴米， ∴米， 答：A，B两点间的距离为96米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 15. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在线段上找一点E，使． （3）如图③，在线段上找一点F，连接，使． 【答案】（1） （2） 所作图形如下： （3） 所作图形如下： 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易知，，然后问题可求解； （2）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图； （3）根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图 【小问1详解】 解：由图可知：，， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． （1）求反比例函数的表达式和a的值； （2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设的表达式为：，利用待定系数法确定的表达式为：，然后分别确定，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在的图像上， ∴代入得， ∴反比例函数关系式为， ∵点在的图像上， ∴代入得， 综上，反比例函数关系式为，； 【小问2详解】 设的表达式为：， 将，代入得：， 解得， ∴的表达式为：， ∵点的横坐标为4，把代入得． ∴， ∵轴， ∴，代入得， ∴， ∴． 17. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生观看春晚的方式（：平板观看：：手机观看；：电视观看：：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为______； （3）该校九年级共有学生1000人，请估计九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 【答案】（1）40， 补充统计图，如图： （2） （3）250人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关系，用样本来估计总体，理解条形统计图和扇形统计图之间的关联是解题的关键． （１）根据部分量对应百分比总量即可求解； （２）根据扇形圆心角＝总分占比求解即可； （３）用样本估计总体，总体数量样本中该部分占比即可求解． 【小问1详解】 解：人， 故答案为：40 （电视观看）人数为人； 【小问2详解】 （手机观看）人数为14人，占比，则圆心角为， 故答案为：； 【小问3详解】 （电视观看）在样本中占比， 该校九年级共1000人， 估计用电视观看春晚的学生约为人． 18. “中国天眼”是世界最大单口径射电望远镜，其设计综合体现了中国高科技创新能力．小伟一家周末从家出发，自驾前往中国天眼科普基地参观，经过途中唯一的服务区时休息了，然后继续行驶，在离家时到达目的地．如图，表示汽车离家的距离与行驶时间的关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）直线的函数关系式是 ； （2）求中国天眼科普基地距离小伟家多少千米； （3）小伟一家参观“天眼”用时，然后按的速度驾车原路返回．在去程和返程的行驶过程中，语音导航系统各提醒一次：“前方距离服务区还有”，请问这两次提醒的时间分别是离家后的多少小时？ 【答案】（1） （2）中国天眼科普基地距离小伟家千米； （3）去时的提醒时间为离家小时，返回时的提醒时间为离家小时． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，从图象中获取信息，理解题意是解本题的关键． （1）设直线的函数关系式为，把代入即可得到答案； （2）先求解时，汽车的速度为：，再进一步计算即可； （3）根据路程除以速度可得去时的提醒时间，根据去时的时间加上返回时离服务区还有10千米的时间可得答案． 【小问1详解】 解：设直线的函数关系式为， 把代入得：， ∴直线的函数关系式为， 【小问2详解】 解：当时，汽车的速度为： ， ∴， ∴中国天眼科普基地距离小伟家千米； 【小问3详解】 解：去时的提醒时间为：（小时）， 返回的提醒时间为： （小时）， ∴去时的提醒时间为离家小时，返回时的提醒时间为离家小时． 19. 综合与实践 [问题背景]： 如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且． （1）求证：． [操作探究]： 如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合． （2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由； ②求出平移的距离． [拓展创新]： 如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，． （3）当时，请求出的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴； （2）①四边形是菱形． 理由：由平移的性质，得，． ∴四边形是平行四边形． 由（1），得． ∴四边形是菱形； ②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移、旋转的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用“”证明，即可得到结论； （2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解； ②先证明，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出长度，即可求解； （3）先证明，再通过三角形的面积求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵， ∴． ∴， 在中，． ∴，解得． ∴平移的距离为； （3）解：∵， ∴，． ∵， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由旋转的性质，得，． 设，则． 在中，根据勾股定理，．解得． ∴． 20. 如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当点落在线段上时，求的值； （3）当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可； （2）利用矩形的性质求解即可； （3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴，即， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图①，当点落在线段上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图②，当时，重叠部分是四边形， ； 如图③，当时，重叠部分是四边形， ． 【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数），经过点，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图像G． （1）求抛物线的解析式． （2）若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结，求的面积． （3）当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围． （4）已知点、、，顺次连接得到矩形，当图像G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或． 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线，用待定系数法即可求解； （2）先求出点B的坐标是，点C的坐标是，，即可求出的面积； （3）由得到图象G的最高点是，由点Q在抛物线上，其横坐标为m，点Q的纵坐标为，则点Q的坐标是，又由点，则图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为是定值，当时，解得即可得到m的范围； （4）分在抛物线顶点上方和在抛物线下方两种情况分别画图，列不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a为常数）经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 当时，， ∴点B的坐标是， 当时，， 解得、 ∴点C的坐标是， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 ∵， ∴图象G的最高点是， ∵点Q在抛物线上，其横坐标为m， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标是， 又∵点， ∴图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为是定值， 当时， 解得 ∴点Q的横坐标m的范围为， 即m的取值范围为． 【小问4详解】 解：当图形G与该矩形的边有两个公共点时， 如图所示，当在抛物线顶点上方时， 可得，解得， 如图所示，当在抛物线顶点下方时， 可得，解得， 综上可知，m的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数和几何综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，不等式组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $