精品解析：2025年黑龙江省绥化市明水县中考二模数学试题

明水县2024-2025年度中考模拟试卷（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.全卷共四道大题，总分120分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 文化和旅游部4月7日公布2025年清明节假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期3天，国内出游总花费575.49亿元，同比增长6.7%，其中575.49亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年4月11日上午，市委书记张宝伟主持召开市委常委会（扩大）会议中指出，践行“绿水青山就是金山银山”发展理念，严守生态保护红线，提高城市绿化水平．加强同周边国家的合作交流，努力提升绥化对外开放水平．其中“绿水青山”四个美术字中可以看做轴对称图形的是（ ） A. 绿 B. 水 C. 青 D. 山 4. 函数 中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是平行投影 B. 了解一批手机的使用寿命，应采用抽样调查的方式 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定 7. 定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（ ） A. 19 B. 21 C. 16 D. 40 8. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图和俯视图如下图，则所需的小正方体的个数最多是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 六月，南方的水果已然成熟，某果农计划采摘300亩果园以供销售，由于天气炎热，为防水果变质，所以加快了采摘速度，实际每天采摘比原计划多，结果提前4天完采摘完毕，设原计划每天采摘x亩果园，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若矩形的顶点O与坐标系的原点重合，且．若将矩形绕原点旋转一定角度，使A点恰好落在边上的处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为16，则k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 12. 函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（ ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 14. 为一元二次方程的两根，则_______． 15. 因式分解：____． 16. 由半径为，圆心角为的扇形所围成的圆锥体，其底面半径为____． 17. 化简：_______． 18. 已知为直角三角形，，，若将三角形绕点C旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正三角形与大圆内接正四边形的边心距之比是____． 19. 自然状态下人体的脊柱呈“”形，此时各椎间盘所承受的压力较为合理，腰背部肌肉活动度较小，不易感到疲劳．当人体脊柱处于非自然状态时，椎间盘内压力分布不均匀，肌肉活动度就会增加，导致人体腰背部产生酸疼、疲劳等感受，人体工学研究表明，当靠背角度设置在左右时，人体脊柱形态接近于自然弯曲的形态，较为舒适．某人体工学椅（图一）靠背角度为，其抽象示意图（图二），垂直于地面，垂足为，且，当点为中点时，若，．求椅子靠背最高点到地面的距离为____．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 在中，，，，在平面内有一点P，且始终有，则的最小值为____． 21. 在正方形的右侧作正方形，点G在边上且顶点E在的延长线上，已知大正方形的边长是8，，在直线上是否存在点P，可使为直角三角形，则此时的长度为____． 22. 现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为________个． 四、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 是中边上的中线． （1）尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法） （2）当点靠近点时，连接，若，则的面积为________． 24. 随着近日教育部发布消息，中小学生将迎来“睡眠令”，社会各界反响热烈，学生的睡眠时间必须要满足8~10个小时，为响应国家号召，某中学在全校540名学生中随机抽取了30名学生进行调查，了解他们平均每天的睡眠时间（单位：小时）．统计如下： 10，9，7.5，7，8，8，7.5，9，7，8 9，7.5，8，7，10，10，7，9.5，8.5，7.5 7.5，8，8，10，7，8，7，8，8.5，9.5 经整理后，绘制如下统计图与统计表： 组别 分组 频数 A 11 B a C b D 4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）抽取出的30名学生平均每天睡眠时间的中位数落在________组（填组别），并计算出该组对应扇形圆心角度数为________； （3）如果按照教育部规定要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数； （4）若从中抽取两名同学M、N，恰好这两名的睡眠时间都在C组的概率，用画树状图或列表的方法求M与N都在C组的概率． 25. 临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． （1）求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ （2）某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ （3）下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 26. 如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； （3）直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 27. 如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． （1）若与重合时，不难得出线段与的关系为________． （2）若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． （3）当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 28. 如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数表达式； （3）点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限． ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明水县2024-2025年度中考模拟试卷（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.全卷共四道大题，总分120分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2. 文化和旅游部4月7日公布2025年清明节假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期3天，国内出游总花费575.49亿元，同比增长6.7%，其中575.49亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵亿， 故选：C． 3. 2025年4月11日上午，市委书记张宝伟主持召开市委常委会（扩大）会议中指出，践行“绿水青山就是金山银山”发展理念，严守生态保护红线，提高城市绿化水平．加强同周边国家的合作交流，努力提升绥化对外开放水平．其中“绿水青山”四个美术字中可以看做轴对称图形的是（ ） A. 绿 B. 水 C. 青 D. 山 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的字是轴对称图形， 故选：D． 4. 函数 中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为，可得不等式，解不等式可得：． 【详解】解：函数  有意义， ， ． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据运算法则逐一进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式正确，故本选项符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是平行投影 B. 了解一批手机的使用寿命，应采用抽样调查的方式 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影，调查方式，垂径定理，方差的意义解答即可． 【详解】解：A. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影， 本选项错误，不符合题意 B. 了解一批手机的使用寿命，应采用抽样调查的方式， 本选项正确，符合题意 C. 平分弦（非直径的弦）的直径垂直于弦， 本选项错误，不符合题意 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定， 本选项错误，不符合题意 故选：B． 【点睛】本题考查了投影，调查方式，垂径定理，方差的意义，熟练掌握定理和定义是解题的关键． 7. 定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（ ） A. 19 B. 21 C. 16 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 8. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图和俯视图如下图，则所需的小正方体的个数最多是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，根据主视图和俯视图得出这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层最多小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层最多有6个小正方体，第二层最多有4个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个． 故选：C 9. 六月，南方的水果已然成熟，某果农计划采摘300亩果园以供销售，由于天气炎热，为防水果变质，所以加快了采摘速度，实际每天采摘比原计划多，结果提前4天完采摘完毕，设原计划每天采摘x亩果园，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出实际每天采摘亩果园，再根据结果提前4天完成任务建立方程即可． 【详解】解：由题意得：实际每天采摘亩果园， 则可列方程为， 故选：B． 10. 如图，若矩形的顶点O与坐标系的原点重合，且．若将矩形绕原点旋转一定角度，使A点恰好落在边上的处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形、解直角三角形以及勾股定理等知识；过点作，由旋转的性质得：，，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，， 即点的横坐标为，点的纵坐标为，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵四边形是矩形，且， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 即点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为16，则k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于16，解方程即可．本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选A． 12. 函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（ ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用数形结合思想，结合绝对值的意义，函数的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意， 当时，方程有三个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有四个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程没有实数根； 故①错误； 当时，，根据图象，得， 故， 故② 错误； 根据题意，得的对称轴为直线，且，， 故即， 故③ 正确； 当时，，根据图象，得， 故， 当时，抛物线开口向上，故解析式为， 时，根据图象，得， 故， 故即． 故④ 正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与各项系数的关系，绝对值的意义，数形结合思想，方程根于图象的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 为一元二次方程的两根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，由解得定义得出①，②，由一元二次方程根与系数的关系得出，由①②得：，进而可求出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两根， ∴①，②，， 由①②得：， 即， 解得：， 故答案为：． 15. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先添负号，添括号，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为：. 16. 由半径为，圆心角为的扇形所围成的圆锥体，其底面半径为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和圆的周长公式，根据扇形的弧长公式可以求出扇形的弧长为，设圆锥底面半径为，扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式可得：，两边同时除以即可求出圆锥底面半径． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形的弧长为， 设圆锥底面半径为， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：． 17. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算即可． 【详解】解： . 故答案为： 18. 已知为直角三角形，，，若将三角形绕点C旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正三角形与大圆内接正四边形的边心距之比是____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正多边形与圆，解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后确定旋转后大、小圆的半径，最后根据正多边形与圆的关系以及直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将三角形绕点C旋转，将会形成两个同心圆， ∴小圆的半径为6，大圆的半径为8， 如图，设小圆的内接正三角形为，连接、，过C作， 则为小圆内接正三角形的边心距， ∵，， ∴， ∴， 设大圆内接正四边形为，连接、，过C作， 大圆内接正四边形的边心距， ∵，， ∴， ∴， ∴小圆内接正三角形与大圆内接正四边形的边心距之比是， 故答案为：． 19. 自然状态下人体的脊柱呈“”形，此时各椎间盘所承受的压力较为合理，腰背部肌肉活动度较小，不易感到疲劳．当人体脊柱处于非自然状态时，椎间盘内压力分布不均匀，肌肉活动度就会增加，导致人体腰背部产生酸疼、疲劳等感受，人体工学研究表明，当靠背角度设置在左右时，人体脊柱形态接近于自然弯曲的形态，较为舒适．某人体工学椅（图一）靠背角度为，其抽象示意图（图二），垂直于地面，垂足为，且，当点为中点时，若，．求椅子靠背最高点到地面的距离为____．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，矩形的判定与性质，过作，交延长线于点，延长交于点，则有，，故四边形是矩形，，然后求出，通过，即，得出，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，延长交于点， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴椅子靠背最高点到地面的距离为， 故答案为：． 20. 在中，，，，在平面内有一点P，且始终有，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查线段的最值，根据题意知点的运动轨迹是以为直径的圆，得圆心，由勾股定理得，当点三点共线时的值最小，由勾股定理求出，即可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，始终有， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆，如图， 以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则圆心为， ， ∵， 当点三点共线时的值最小，最小值为， 在，， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 21. 在正方形的右侧作正方形，点G在边上且顶点E在的延长线上，已知大正方形的边长是8，，在直线上是否存在点P，可使为直角三角形，则此时的长度为____． 【答案】3或8或或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质等知识．设，分为点、、分别为直角顶点：当时，延长，交于点，可证得，从而，进而得出结果；当时，可得，从而得出，进而得出结果；当，延长，交的延长线于点，可得，，进而得出结果． 【详解】解：如图，设， 当时，延长，交于点，则四边形为矩形， ∴， 则，， ， ， ， ，即； 当时， 同理， ， ，整理得， 解得或， ，； 当， 延长，交的延长线于点， 同理， ， ， ， ， 综上所述：的长度为3或8或或． 故答案为：3或8或或． 22. 现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为________个． 【答案】625 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c，根据题意得出，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 即， 根据题意列方程： 解得：， 故中0的个数为625， 故答案为：625 四、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 是中边上的中线． （1）尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法） （2）当点靠近点时，连接，若，则的面积为________． 【答案】（1） 解：如图所示，点、点即为线段的三等分点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． （1）先作线段的垂直平分线，确定线段的中点，作边上的中线交于点，以点为圆心，为半径作圆交于点，点、点即为所求； （2）连接、，由题意得，由、为线段的三等分点，得，由已知条件得，通过即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接、，如图所示： 是中边上的中线， ， ， 点、点为线段的三等分点， ， ， ， ； 故答案为：． 24. 随着近日教育部发布消息，中小学生将迎来“睡眠令”，社会各界反响热烈，学生的睡眠时间必须要满足8~10个小时，为响应国家号召，某中学在全校540名学生中随机抽取了30名学生进行调查，了解他们平均每天的睡眠时间（单位：小时）．统计如下： 10，9，7.5，7，8，8，7.5，9，7，8 9，7.5，8，7，10，10，7，9.5，8.5，7.5 7.5，8，8，10，7，8，7，8，8.5，9.5 经整理后，绘制如下统计图与统计表： 组别 分组 频数 A 11 B a C b D 4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）抽取出的30名学生平均每天睡眠时间的中位数落在________组（填组别），并计算出该组对应扇形圆心角度数为________； （3）如果按照教育部规定要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数； （4）若从中抽取两名同学M、N，恰好这两名的睡眠时间都在C组的概率，用画树状图或列表的方法求M与N都在C组的概率． 【答案】（1）10，5 （2）B， （3）342人 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，统计表的有关知识，仔细地审题，从图中找到解题的信息．正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）根据30名学生平均每天的睡眠时间再整理即可得出结果； （2）由中位数的定义可得中位数；由乘以这一组的占比即可得到圆心角； （3）由学校总人数该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果． （4）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到M与N都在C组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：所有数据如下： 10，9，7.5，7，8，8，7.5，9，7，8 9，7.5，8，7，10，10，7，9.5，8.5，7.5 7.5，8，8，10，7，8，7，8，8.5，9.5 在中有， 8，8， 8，8，8.5，8，8， 8， 8，8.5， ∴， 在中有： 9， 9，9， 9.5， 9.5 ∴； 【小问2详解】 解：∵共有个数据，，排序后第个，第个数据落在组， ∴该组对应扇形圆心角度数为； 【小问3详解】 解：该校学生中睡眠时间符合要求的人数有（人）. 【小问4详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中M与N都在C组的结果数有1种， ∴M与N都在C组的概率为． 25. 临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． （1）求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ （2）某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ （3）下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 【答案】（1）A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元 （2）24种方案，最少费用为7000 （3）①40，60；②6或15 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元，根据“已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买种礼盒件，则种礼盒件，由题意得：，求出解集，再根据为整数得出方案数，然后设总费用为，求出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质求解； （3）①由图象即可求解速度；②分别求出的函数解析式，然后根据两种筒粽产量相差120盒列出方程求解． 【小问1详解】 解：设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元； 【小问2详解】 解：设购买种礼盒件，则种礼盒件， 由题意得：， 解不等式组得：， ∴， ∵为整数， ∴共有种方案， 设总费用为，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，总费用最少，为元； 【小问3详解】 解：①A种筒粽每小时生产盒，B种筒粽每小时生产盒； ②设，代入得：, 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 当时，同理可得； 当时，设， ∵速度不变， ∴ 代入，得 解得：， ∴当时，， ∴两种筒粽产量相差120盒时，或， 分别解得：或． 26. 如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； （3）直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质结合等边对等角证明，得到，即可得出结论； （2）连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接，由翻折结合圆内接四边形可得，易证为等腰三角形，推出平分，再求出，易证，推出，求出，进而得到，即可求解； （3）连接，当直线l时，最小，此时，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接， ∵四边形内接四边形， ∴， 由翻折的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：连接， ∵，直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线， ∴点到直线的距离为， ∵中，，， ∴， ∴当最小值时，则有最小值， ∵切于点C，， ∴，且为定值， ∴当最小值时，则有最小值， 则当直线l时，最小，即有最小值， 此时， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27. 如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． （1）若与重合时，不难得出线段与的关系为________． （2）若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． （3）当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 解：成立， 理由如下， 如下图所示，连接 并延长，交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 点为对角线交点， ， 、， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 中的关系仍然成立； （3）． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接并延长，交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，因为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证； 连接并延长交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，因为，所以，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可证． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 、， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，连接并延长交的延长线于点， 、， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 28. 如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数表达式； （3）点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限． ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得，进而可得点的横坐标为，得到，即得，即得到，可得，过点作于点，由得，， 即得，最后根据正切的定义计算即可求解；②分和两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得，， ∴，， 设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：①∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， 设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得， ∵对称轴是直线， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分于点， ∴， ∵点是直线与抛物线的对称轴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，； ②当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 此时点和点重合，如图， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴点和的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $