精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高三下学期5月冲刺数学试卷

南宁二中·2025年5月高三冲刺考 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. （ ） A. B. C. D. 5. 小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A. 144 B. 120 C. 84 D. 116 6. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 7. 某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（ ） （其中，计算结果小数点请保留到） A. B. C. D. 8. 由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 27 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 10. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D. 以为直径的圆与相切 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 函数与的图象关于对称 C. 函数与的图象关于点对称 D. 在有2个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为________. 14. 设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则______，若是方程的实数解，则______． 四、解答题本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 16. 已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． （1）求椭圆E的方程； （2）已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 19. 已知首项为1的正项数列满足，函数． （1）求函数的单调区间； （2）探究数列的单调性并说明理由； （3）证明；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中·2025年5月高三冲刺考 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意解出集合A，再利用集合的运算即可求解. 【详解】， ∵，解得， ∴，又， 所以 故选：C 2. 已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 3. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设条件可得，再由离心率定义和的关系式即可求得. 【详解】因双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程易得， 于是C的离心率为：. 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】解： 故选：D 5. 小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A. 144 B. 120 C. 84 D. 116 【答案】B 【解析】 【分析】分选取的数字只有一个1和有两个1两种情况讨论，即可得解. 【详解】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种； 若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种. 故共有种不同的设置方法. 故选：B. 6. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【解析】 【分析】利用图像求出函数的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断，对于C利用，得，即可求得的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变换即可判断. 【详解】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 7. 某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（ ） （其中，计算结果小数点请保留到） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得扇形面积，又均分成三块，即，再利用三角形面积公式可求解. 【详解】设， 即 故选：B. 8. 由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】设有个模型合格，道题为难题，得到，再结合，求得范围即可求解. 【详解】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D. 以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据焦点弦的公式求解A，根据锐角三角函数，结合抛物线的性质可得，，即可求解B,联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合斜率公式即可求解C，利用抛物线的定义，结合相切的性质即可求解D. 【详解】对于A：设．当时，由，得，故， 由于直线过点，故，A正确； 对于B：如图，不妨设位于第一象限，设直线倾斜角为， 由，故， 同理，故，B错误； 对于C：，联立，得， 所以，则． 因为，所以，所以三点共线，所以C正确； 对于D：由题意知是抛物线的准线，过点A作垂直于点， 过点B作垂直于点，取的中点M， 过点M作垂直于点，所以， 所以以为直径的圆与准线相切，D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时， B. 函数与的图象关于对称 C. 函数与的图象关于点对称 D. 在有2个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对函数求导，令，可解得单调递增区间； 令，可解得单调递减区间，即可判断选项A；根据图象的对称性判断与是否相等即可判断选项B；根据图象的对称性判断是否成立即可判断选项C；令，可整理变形为，令，求导研究在上的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点；当时，，此时函数无零点，综上即可判断选项D. 【详解】由题意得，，令，解得， 令，解得； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为.故选项A正确； 因为，. 又，所以， 故函数与的图象不关于对称.故选项B错误； 由B可知，所以函数与的图象关于点对称.故选项C正确； 令，则，整理得， 令，则， 当时，，，所以在上单调递减. 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，此时函数无零点， 所以在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1.故选项D正确. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，则， 若，则，解得. 故答案为：. 13. 已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将该正三棱台补成正三棱锥，结合题意可得三棱台的上、下底面边长，则可得正三棱锥的侧棱长，再计算出三棱锥的高后结合体积公式计算即可得解. 【详解】如图，延长三棱台的侧棱交于一点O，可以得到正三棱锥， 设三棱台的上底面边长为，下底面边长为， 则有，即，则正三棱锥的侧棱长为， 过点O作平面ABC，交平面于点， 记的中点为，则， 故三棱锥的高为， 故三棱台的体积为. 故答案为：. 14. 设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则______，若是方程的实数解，则______． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】由，及，可得，由可得，进而可得，分类结合可得. 【详解】若，则，故 因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或． 故答案为：，或或 四、解答题本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【小问1详解】 由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得，  所以. 16. 已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． （1）求椭圆E的方程； （2）已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据焦距，短轴概念，计算即可； （2）（ⅰ）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得出与的值，再根据公式算出其值.最后根据三角形面积公式求出面积. （ⅱ）本题先设出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到与的表达式.再根据已知条件列出等式，通过化简等式并结合韦达定理求出的值，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 由题意知 椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，. 因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得. 将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得. 把代入得. 整理得. 17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 【答案】（1）更适宜 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数型函数图象的特征、一次函数图象的特征进行判断即可； （2）运用对数的运算性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【小问1详解】 由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长， 所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为； 18. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）若平面三角形为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积． 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②的最小值为，截面面积为 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解， （2）①由余弦定理求解边长，结合勾股定理即可化简求解；②根据球的性质可得线线垂直，进而可证明平面，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解，利用点面距离的向量法公式求解球心O到平面距离，即可利用勾股定理求解截面圆半径得解. 【小问1详解】 若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． 【小问2详解】 ①略 ②由是球的直径，则， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 且，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 由于，则， 由， 以C为坐标原点，以所在直线为x，y轴， 过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 可得， 则 设平面法向量，则， 取，则，可得， 设平面法向量，则， 取，则，可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等，则取最大值，为最小值， 此时点，可得， 设平面中的法向量，则， 取，则，可得， , 可得球心O到平面距离为， 设平面截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为． 19. 已知首项为1的正项数列满足，函数． （1）求函数的单调区间； （2）探究数列的单调性并说明理由； （3）证明；． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 数列为递减数列，理由如下： 由题意可得，则， 令函数，则， 得到在上单调递减，则， 令，则， 故，即数列为递减数列； （3） 由题意得， 令函数， 令函数，则， 当时，，当时，， 得到在上单调递减，在上单调递增， 故，则，即， 则，故在定义域上单调递增，且， 令，则，得到， 且，故，又因为，所以， 得到，故， 当时，得到．即， 当时，．故． 综上，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）先对求导，判断导数的单调性，最后求解单调区间即可. （2）先利用作差法得到，再构造，利用导数判断其单调性，结合函数值判断正负，再判断的正负，得到数列的单调性即可. （3）合理构造函数，利用导数得到，再合理变形得到，再对的范围分类讨论，利用累乘法结合放缩法得到当时成立，显然得到当时成立即可. 【小问1详解】 因为，所以， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $