精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若(－1＋2i)z＝－5i，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先(－1＋2i)z＝－5i，化简求出，进而可求出值 【详解】由(－1＋2i)z＝－5i，可得 所以 故选：D 2. 下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ） A. 点平面 B. 直线平面 C. 直线平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，线，面的位置关系，结合符号语言，即可判断. 【详解】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面； BCD.正确. 故选：A 3. 已知中，向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解. 【详解】， 由向量加法的平行四边形法则可得，． 故选：C 4. 正方形边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为. 故选：C. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 8 C. 或 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 6. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若,则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形法则，作出图形即可得到结果. 【详解】如图，做出平行四边形，，根据已知条件可知 ， ，所以，即，所以， 故选：A. 7. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积公式计算即得. 【详解】圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线长， 所以该圆台的侧面积. 故选：C 8. 已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域. 【详解】解：由题可知，函数， 则， 由于的最小正周期为， ， ， 又已知的图象关于轴对称， ，，则， 在区间上单调递增， 可以令，此时， 则函数， 所以在区间上，则，， 得，，所以，， 即值域为，. 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数的单调性、周期、对称性和值域，还运用辅助角公式进行化简，考查化简运算能力. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 直四棱柱直平行六面体 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照棱柱和直四棱柱、直平行六面体的定义判断即可. 【详解】A选项，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，错， B选项，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定平行，错， C选项，它符合棱柱的定义，对， D选项，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，错， 故选：ABD. 10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 已知复数且，则 D. 若复数是纯虚数，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】分别对A，B，C，D各选项的条件进行分析，探讨相应结论的正确性即可得解. 【详解】对于A选项：，A正确； 对于B选项：，对应点位于第三象限，B不正确； 对于C选项：因，，则，化简得，C正确； 对于D选项：因是纯虚数，则得，D不正确. 故选：AC 11. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的夹角及向量的模的公式的坐标表示，结合向量的线性运算及向量的数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系如图所示， 因为正八边形ABCDEFGH， 所以, 作,则, 因为， 所以， 所以， 同理可得其余各点坐标：, ,,,， 对于A，由，，得 ， 而， 所以与的夹角不为，故A错误 对于B，由，得，故B正确； 对于C，由，所以，故C正确； 对于D，由，得，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________． 【答案】 【解析】 【详解】画出图形，如图所示. 设扇形的半径为rcm，由sin60°=，得r=4cm， ∴l==×4= cm. 13. 若，为虚数单位，则的实部为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先进行除法运算求出,再求复数的实部. 【详解】解：由,得 , 的实部为． 故答案为：． 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念,属于基础题. 14. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，D，E分别为的中点，与底面所成角为，二面角的正切值为，则几何体的体积为_____________；四棱锥的外接球的表面积为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用与底面所成角为，二面角的正切值为计算出的长度，计算出来过后就可以求三棱柱的体积，然后再求出三棱台的体积，两个体积求差就可以得出几何体的体积；找四棱锥外接球时，先找底面的外接圆圆心，再利用外接圆圆心和外接球球心位置的关系，确定外接球球心和半径，然后计算出其的表面积即可. 【详解】在平面上作一直线垂直于且平面，∵平面平面且平面平面，∴平面，又∵平面平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，又∵平面，∴平面，∵平面∴ ∵与底面所成角为，∴与底面所成角为，过作于点 过F作于点，连接，∴且 ，而，∴， 而，∴，∴， ,， ∴． 四边形为等腰梯形，平面 取中点M，则，过M作平面， ∴外球球心O在上，由 ∴． 故填：；． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知点A、B的横坐标分别，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由两点的横坐标求得其纵坐标，再根据三角函数的定义求解即可； （2）先由三角函数的定义求值，再用诱导公式进行化简计算即可. 【小问1详解】 因为点A、B是单位圆上的点，，，且、为锐角，如图， 所以A、B两点的纵坐标分别为，， 故由三角函数的定义可知，. . 【小问2详解】 由三角函数的定义可得，，则， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，棱底面，且，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】(1) 见解析(2) 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明平面； （2）由（1）知，是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积. 【详解】（1）证明:取中点，连接， 如图所示： 因为底面，底面， 所以，又且， 所以平面，又平面， 所以. 又∵，H为PB的中点， ，又， 平面， 在中,分别为中点，， 又，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则 平面 （2）由（1）知， ∴，又，且， 平面， 是三棱锥的高， 又四边形为矩形,且，， 所以， =. 17. 在中，，. （1）求； （2）若的周长为求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由同角间的三角函数关系求出，从而结合诱导公式可求得可得角； （2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为，所以. 若，则，从而，均为钝角.这不可能， 故，，. 所以 ， 因为.所以. （2）由（1）知， 由正弦定理得. 设，则，，则的周长为， 解得，从而，， 故的面积. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题． 18. 如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于. （1）试用反证法证明直线与是异面直线； （2）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； （3）当最小时，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2），值域；（3） 【解析】 【分析】（1）假设直线与是共面直线，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明； （2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域； （3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案． 【详解】（1）证明：假设直线与是共面直线， 设直线与都在平面上，则、、、． 因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点， 即平面和平面重合（都与平面重合）， 这与长方体的相邻两个面不重合矛盾， 于是，假设不成立， 直线与是异面直线； （2）解：正方体的棱长为2，， 设，则，得， ，，得， ， 当时，有最小值为，当时，， 函数的值域为； （3）当时，最小，此时， 在底面中，，，， 又，为异面直线与所成角的角， 在中，为直角，， ， ∴异面直线与所成角的大小为． 【点睛】本题属于和主要考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，考查函数与方程思想的应用，属于中档题． 19. 已知，，且为偶函数. （1）求实数的值； （2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求； （2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由，可知， 又为偶函数，所以有，即， 化简得，即， 所以，得. 经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数. 故所求的值为2. 【小问2详解】 由（1）可知，即方程有且只有一个实数解， 显然，所以上述方程可化为， 即方程有且只有一个实数解， 令且， 则关于的方程有且只有一个不为1和的正根， ， ①当时，. （i）若，则方程化为， 此时方程的解为，符合题意. （ii）若，则方程化为， 此时方程的解为，不符题意，故舍去. ②当时，需满足即解得. 当时，即1为方程的解时，. 当时. 所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，. 综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级5月月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若(－1＋2i)z＝－5i，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ） A. 点平面 B. 直线平面 C. 直线平面 D. 平面平面 3. 已知中，向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方形边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 8 C. 或 D. 2或8 6. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若,则（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体叫棱柱 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 直四棱柱是直平行六面体 10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C 已知复数且，则 D. 若复数纯虚数，则或 11. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________． 13. 若，为虚数单位，则的实部为_____． 14. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，D，E分别为的中点，与底面所成角为，二面角的正切值为，则几何体的体积为_____________；四棱锥的外接球的表面积为_____________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知点A、B的横坐标分别，． （1）求，的值； （2）求的值． 16. 如图，在四棱锥中，棱底面，且，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 在中，，. （1）求； （2）若的周长为求的面积. 18. 如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于. （1）试用反证法证明直线与是异面直线； （2）设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； （3）当最小时，求异面直线与所成角大小. 19. 已知，，且为偶函数. （1）求实数的值； （2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $