22.3 实际问题与二次函数 第1课时 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题 学习目标 1.能够通过图形的面积关系列出函数解析式.（重点） 2.能用二次函数的知识解决有关面积的实际问题.（难点） 3.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系,体会“数形结合”刻画现实世界的有效模型.（难点） 情境引入 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你知道该物体可以抛的最大高度是多少吗？ 猎豹图书 如图，从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 获取新知 思考 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 1、当自变量 x 为全体实数时 当 a＞0 时，有 ，此时 ； 当 a＜0 时，有 ，此时 · 2.当自变量 x 限定范围时 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 根据此结论，解决引例的问题 跟踪训练 分别求出下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 （1） ∴ 当 时，有 当 时，有 解： 1 -3 （2） ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 x y 获取新知 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积(m2)随矩形一边长(m)的变化而变化. 当是多少米时，场地的面积最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用表示另一边？ 问题3 面积的函数关系式是什么？ 矩形面积 = 长×宽 另一边长为 m (30 −) S = (30−l)l = −l2+30l 问题4 当 l 是多少米时，场地的面积S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l)， 即 S = -l2 + 30l (0＜l＜30). 因此，当 时，有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 变式： 如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. 60 - 2x x x (1) 当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为(60 − 2x) m. 矩形菜园的面积 S =x(60 − 2x)＝ −2x2＋60x. （2）如何确定自变量 x 的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60−2x≤32，即 14≤x＜30. 墙长确定了菜园的长最长为32m. ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x. 由题意得 0＜60−2x≤32，即 14≤x＜30. (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. 问题1 与(1)有什么区别？ 试一试 在(2)中，求自变量的取值范围. 21≤ x＜30. 是否依然在 x = 15 时，S 取得最大值？ 可利用的墙的长度不一样 问题2 当 21≤ x＜30 时，S 的值随x的增大如何变化？当 x取何值时，S 取得最大值？ 当 21≤ x＜30 时，S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值. 注意 二次函数解决几何面积最值问题的步骤： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式，写出二次函数解析式，并化为顶点式； 2.设未知数，用含未知数的代数式表示相关量，根据题意，求出自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画出草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 课堂练习 1.用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　 　) A.一次函数关系、二次函数关系 B.正比例函数关系、二次函数关系 C.二次函数关系、一次函数关系 D.正比例函数关系、一次函数关系 A 2.(教材P52习题T4变式)已知一个直角三角形两条直角边的和是20 cm，则这个直角三角形面积的最大值是(　 　) A.25 cm2 B.50 cm2 C.75 cm2 D.无法确定 B 3.如图，有一张矩形纸片ABCD，AD＝16 cm，AB＝10 cm.将该矩形纸片沿垂直于BC的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为(　 　) A.80 cm3 B.160 cm3 C.320 cm3 D.640 cm3 B 4.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最小值为 (　 　) A.6 B.7 C.8 D.9　　 C 5.某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边靠墙(墙长30 m)，另三边及中间的隔断用总长为88 m的篱笆围成.如图，围成的花圃是矩形ABCD，并在边BC上留有两扇1 m宽的门，则花圃的最大面积是_________m2. 600 6.如图，已知▱ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，设AB＝x cm. (1)▱ABCD的面积y(cm2)关于x(cm)的函数解析式为___________ _____，自变量x的取值范围是_________； (2)当x＝_____时，y的值最大，最大值为____. y＝－x2 0＜x＜4 2 2 ＋2x 7.如图，某校劳动实践基地用总长为80 m 的栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田， 墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、 无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边的长为x(单位：m)， 与墙平行的一边的长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2). (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围). 解：y＝－2x＋80， S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x. 7.如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边的长为x(单位：m)，与墙平行的一边的长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2). (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由. 解：能. ∵0＜y≤42， ∴0＜－2x＋80≤42， ∴19≤x＜40. 当S＝750时，即－2x2＋80x＝750， 解得x1＝25，x2＝15(舍去)， ∴当x＝25 m时，矩形实验田的面积S能达到750 m2. 7.如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边的长为x(单位：m)，与墙平行的一边的长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2). (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 解：∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，19≤x＜40， ∴当x＝20 m时，S有最大值，最大值为800 m2. 8.已知抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于B，C两点(点B在点C的 左侧)，与y轴交于点A. (1)判断△ABC的形状，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： 在y＝－x2＋x＋2中， 令x＝0，则y＝2； 令y＝0，则－x2＋x＋2＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)， ∴BC＝4－(－1)＝5，AB＝＝，AC＝ ＝2， ∴BC2＝AB2＋AC2， ∴△ABC是直角三角形. 8.已知抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于B，C两点(点B在点C的 左侧)，与y轴交于点A. (2)设P(m，n)是抛物线上第一象限内的一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求使S有最大值时点P的坐标和△QHC的面积. 解：设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴直线AC的函数解析式为y＝－x＋2. ∵P(m，n)是抛物线上第一象限内的一点，且PH⊥x轴， ∴Q(m，－m＋2)，P(m，－m2＋m＋2)(0＜m＜4)， ∴PQ＝－m2＋2m， ∴S＝S△OAC＋S△PAC＝OC·AO＋PQ×(xC－xA)＝－m2＋4m＋4＝－(m－2)2＋8(0＜m＜4)， ∴当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，S有最大值，此时Q(2，1)，H(2，0)， ∴S△QHC＝QH·CH＝×1×2＝1. 9.如图，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴分别交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，连接BC，P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设△PBC的面积为S.若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有(　 　) A.4个 B.7个 C.11个 D.14个　　 C 10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D是线段CB上的一点(不与点C，B重合)，连接AD，过点B，D分别作AB，AD的垂线，两线相交于点E，则△BDE面积的最大值为_______. 2 11.(2025·北碚区阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，点P从点B出发在射 线BC上运动，速度为1 cm/s，点Q从点C出发在线段CA 上运动，速度为2 cm/s.若点P，Q分别从点B，C同时出 发，点Q运动到点A停止，设运动时间为t s. (1)当t为何值时，P，Q两点之间的距离为2 cm？ 解：根据题意需分成三种情况考虑： ①当0≤t≤5时， BP＝t cm，CP＝(5－t)cm，CQ＝2t cm. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴PQ＝＝ cm. 又∵PQ＝2 cm， ∴＝2，解得t＝1. ②当5＜t≤6时， BP＝t cm，CP＝(t－5)cm，CQ＝2t cm， ∴10 cm＜CQ≤12 cm， 则此时PQ＝一定大于2 cm， ∴该情况下不存在t使PQ＝2 cm，舍去. ③当t＞6时， BP＝t cm，CP＝(t－5)cm，CQ＝12 cm， PQ＝一定大于2 cm， ∴该情况下不存在t使PQ＝2 cm，舍去. 综上所述，当t＝1时，P，Q两点之间的距离为2 cm. 11.(2025·北碚区阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，点P从点B出发在射 线BC上运动，速度为1 cm/s，点Q从点C出发在线段CA 上运动，速度为2 cm/s.若点P，Q分别从点B，C同时出 发，点Q运动到点A停止，设运动时间为t s. (2)若点P在线段BC上运动，当t为何值时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 解：由题意，得0＜t＜5， 则BP＝t cm，CP＝(5－t)cm，CQ＝2t cm， ∴S△PCQ＝CP·CQ＝(5－t)·2t＝－t2＋5t， ∴S四边形BPQA＝S△ABC－S△PCQ＝×12×5－(－t2＋5t) ＝t2－5t＋30＝＋， ∴当t＝时，四边形BPQA的面积最小，最小面积是cm2. 12.[生活情境]为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m、宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). [建立模型]设水池ABCD的边AD加长的长度DM为x m(x＞0)，加长后水池1的总面积为y1 m2，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x＞0).若水池2的边EF的长为x m(0＜x＜6)，面积为y2 m2，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2＋6x(0＜x＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示. [问题解决](1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_____________，水池2面积的最大值是_______m2. 3＜x＜6 9 12.[生活情境]为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m、宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). [建立模型]设水池ABCD的边AD加长的长度DM为x m(x＞0)，加长后水池1的总面积为y1 m2，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x＞0).若水池2的边EF的长为x m(0＜x＜6)，面积为y2 m2，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2＋6x(0＜x＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示. [问题解决] (2)如图3，用字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是__________，此时x的值是_________. C，E　 1，4 12.[生活情境]为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m、宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). [建立模型]设水池ABCD的边AD加长的长度DM为x m(x＞0)，加长后水池1的总面积为y1 m2，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x＞0).若水池2的边EF的长为x m(0＜x＜6)，面积为y2 m2，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2＋6x(0＜x＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示. [问题解决] (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x的取值范围是________________. 0＜x＜1或4＜x＜6 12.[生活情境]为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m、宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). [建立模型]设水池ABCD的边AD加长的长度DM为x m(x＞0)，加长后水池1的总面积为y1 m2，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x＞0).若水池2的边EF的长为x m(0＜x＜6)，面积为y2 m2，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2＋6x(0＜x＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示. [问题解决] (4)在1＜x＜4范围内，求水池1和水池2的面积差的最大值及此时x的值. 解：如图3，在抛物线的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池的面积差. 设F(m，－m2＋6m)(1＜m＜4)，则G(m，m＋4)， ∴FG＝(－m2＋6m)－(m＋4)＝－m2＋5m－4＝－(m－＋. ∵－1＜0，∴当m＝时，FG有最大值，最大值为， ∴在1＜x＜4范围内，水池1和水池2的面积差的最大值为，此时x的值为. 12.[生活情境]为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m、宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1)，同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). [建立模型]设水池ABCD的边AD加长的长度DM为x m(x＞0)，加长后水池1的总面积为y1 m2，则y1关于x的函数解析式为y1＝x＋4(x＞0).若水池2的边EF的长为x m(0＜x＜6)，面积为y2 m2，则y2关于x的函数解析式为y2＝－x2＋6x(0＜x＜6).上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示. [问题解决] (5)假设水池ABCD的边AD的长度为b m，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，且水池3的总面积y3 m2，y3关于x的函数解析式为y3＝x＋b(x＞0).若水池3与水池2的面积相等时，x的值是唯一的，求b的值. 解：∵水池3与水池2的面积相等， ∴y3＝y2， 即x＋b＝－x2＋6x， ∴x2－5x＋b＝0. ∵水池3与水池2的面积相等时，x的值是唯一的， ∴Δ＝(－5)2－4×1×b＝0， 解得b＝. $$