22.3 第1课时 二次函数与图形问题-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数与图形问题的最值求解，通过复习二次函数图像、对称轴及顶点坐标等旧知，以问题链引导学生思考最值决定因素，搭建从性质回顾到实际问题探究的学习支架。 其亮点在于以小球运动、矩形篱笆等现实情境为载体，通过“问题导入-建模分析-变式训练-步骤总结”流程，发展抽象能力、几何直观与模型意识。如矩形面积问题抽象为二次函数模型，体现用数学语言表达现实世界，帮助学生掌握建模方法，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第1课时 二次函数与图形问题 22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 情 境 导 入 第1课时 二次函数与图形问题 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______. 抛物线 直线x=h (h,k) 抛物线 直线 上 低 下 高 复习 情 境 导 入 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 最小值 最大值 情境导入 新课探究 课堂小结 情 境 导 入 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 情境导入 新课探究 课堂小结 新 课 探 究 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分. 这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6). 第1课时 二次函数与图形问题 新课探究 情境导入 课堂小结 因此，当t＝ 时，h有最大值 也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m. 新课探究 情境导入 课堂小结 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？ 解：矩形场地的周长是60m，设一边长为l，则另一边长为 m.场地的面积: (0<l<30). 即S=-l2+30l S=l(30-l) 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 因此，当 时， S有最大值 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 新课探究 情境导入 课堂小结 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 问题1 变式1与例题有什么不同？ 设垂直于墙的边长为x米 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. x x 60-2x 新课探究 情境导入 课堂小结 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 新课探究 情境导入 课堂小结 总结归纳 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 2.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为(　　) A．20 B．40 C．100 D．120 1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm， 则这个直角三角形的最大面积为(　　) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 B D 新课探究 情境导入 课堂小结 3.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 新课探究 情境导入 课堂小结 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S (1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； (2)若S是21cm2时，确定t值； (3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值． 解:(1)∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm， BC＝6cm， ∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t ∴S=S△ABC－S△PBQ =0.5×AB×CB－0.5×PB×QB =0.5×8×6－0.5×（8－2t）×t =t2－4t+24（0≤t≤4） 新课探究 情境导入 课堂小结 解:(2)当S=21时，则t2－4t+24=21， 解得t=1或t=3 (3)∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20， ∴当t=2时，S有最小值20 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S (1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； (2)若S是21cm2时，确定t值； (3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值． 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第1课时 二次函数与图形问题 情境导入 课堂小结 新课探究 抽象 运用 实际问题 问题的解决 二次函数问题 THANK YOU $