江苏省徐州市六区县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

书 ２０２４～２０２５学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间１２０分钟　试卷满分１５０分） 一、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．复数ｚ满足（１－ｉ）ｚ＝１＋ｉ，则 ｚ－的虚部为（　▲　） Ａ．ｉ Ｂ．－１ Ｃ．－ｉ Ｄ．１ ２．若ａ＝（１，槡３），ｂ＝（－１，槡３），则ａ与ｂ的夹角为（　▲　） Ａ．π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． ２π ３ ３．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｃ＝ａｃｏｓＢ，则△ＡＢＣ的形状为（　▲　） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰或直角三角形 ４．下列关于向量ａ，ｂ，ｃ，说法正确的是（　▲　） Ａ．若ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ Ｂ．若ａ·ｂ＝ａ·ｃ，则ｂ＝ｃ Ｃ．若ａ·ｂ＜０，则ａ与ｂ夹角为钝角 Ｄ．（３ａ＋２ｂ）·（３ａ－２ｂ）＝９ａ２－４ｂ２ ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ－８ｃｏｓｘ，则ｆ（ｘ）的值域为（　▲　） Ａ．［－９，＋∞） Ｂ．［－７，＋∞） Ｃ．［－７，９］ Ｄ．［－９，９］ ６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝２，△ＢＣＥ、△ＡＤＦ均为边长 ２的等边三角形，Ｐ为六边形 ＡＢＥＣＤＦ边上的动点（含端点），则→ＡＢ·→ＡＰ的取值范围为（　▲　） Ａ．［－６，１５］ Ｂ．［ 槡－３３， 槡９＋３３］ Ｃ．［－６， 槡９＋３３］ Ｄ．［ 槡－３３，１５］ ７．已知ｃｏｓα＋ｃｏｓβ 槡＝３，ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝槡 ２ ２，则ｃｏｓ（２α－２β）＝（　▲　） Ａ．１８ Ｂ．－ ７ ８ Ｃ．－ １ ４ Ｄ． 槡１５ ４ ８．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，△ＡＢＣ的面积为Ｓ，且满足条件ａ２＋ｃ２－ｂ２＝－ 槡４３３Ｓ， Ｄ为ＡＣ边上一点，ＤＢ⊥ＡＢ，ＡＢ＝２，ＢＤ 槡＝３，则ＢＣ的边长为（　▲　） 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．３ Ｄ．４ 高一数学试题　第 １页（共４页） 二、选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．已知复数ｚ＝（ｍ２＋ｍ－６）＋（ｍ－２）ｉ，其中ｍ为实数，ｉ为虚数单位，则（　▲　） Ａ．若ｚ为纯虚数，则ｍ＝２或－３ Ｂ．若复平面内表示复数ｚ的点位于第四象限，则ｍ＜－３ Ｃ．若ｍ＝３，则ｚｚ－＝３６－ｉ Ｄ．若ｚ＝ａ－ｉ（ａ∈Ｒ），则｜ｚ 槡｜＝ １７ １０．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＡＤ＝３，点 Ｐ满足 →ＤＰ＝λ→ＤＣ，其中λ∈ ０，[ ]３４ ，设→ＰＡ＝ａ，→ＰＢ＝ｂ， 则下列说法正确的有（　▲　） Ａ．｜ａ＋ｂ｜∈［６，１０］ Ｂ．｜ａ＋ｂ｜∈ 槡２１３，[ ]１０ Ｃ．ａ·ｂ∈［－３，９］ Ｄ．ａ·ｂ∈［－７，９］ １１．尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有 限次的操作步骤完成几何图形的构造．已知△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝７，ＡＢ＝１０，现需用尺规 作图作出该三角形，下列说法正确的有（　▲　） Ａ．可以作出两个不同的三角形 Ｂ．作出的三角形中没有锐角三角形 Ｃ．作出的三角形中，三角形的面积不变 Ｄ．作出的三角形中，∠Ｃ可能为锐角，也可能为钝角 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知ａ＝（０，１），ｂ＝（１，槡３），则ａ在ｂ方向上的投影向量为　　▲　　 （用坐标表示） １３．已知ｔａｎα＝２，则 ２ｓｉｎαｃｏｓα ｃｏｓ４α－ｓｉｎ４α ＝　　▲　　 １４．在△ＡＢＣ中，Ｏ是ＢＣ边上靠近Ｂ的四等分点，过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢ，ＡＣ于不同的两点 Ｍ，Ｎ，设→ＡＢ＝ →ｍＡＭ，→ＡＣ＝ →ｎＡＮ，其中ｍ＞０，ｎ＞０，则ｌｎｍ＋ｌｎｎ的最大值为　　▲　　 四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． １５．（本小题满分１３分） 已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝４，｜ｂ｜＝２，ａ与ｂ的夹角为２π３． （１）求｜ａ－ｂ｜； （２）当λ为何值时，向量３ａ＋２ｂ与λａ＋ｂ垂直？ 高一数学试题　第 ２页（共４页） １６．（本小题满分１５分） 已知向量ｍ＝（２ｓｉｎｘ２，槡２３），ｎ＝（ｃｏｓ ｘ ２，ｓｉｎ ２ ｘ ２），函数ｆ（ｘ）＝ｍ·ｎ 槡－３． （１）求函数ｆ（ｘ）的周期，最大值，最小值； （２）若ｆ（ｘ）＝１，求ｓｉｎ（２ｘ－π６）的值． １７．（本小题满分１５分） 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝１４，ａ 槡＝ １５． （１）若ｃ＝２，求角Ｃ； （２）若∠ＢＡＣ的平分线与边ＢＣ交于点Ｄ，且ＢＤ＝２ＤＣ，求△ＡＢＣ的面积． 高一数学试题　第 ３页（共４页） １８．（本小题满分１７分） 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，△ＡＢＣ为锐角三角形，已知ｂ＝２，且满足条件 （ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）＝３ａｃ． （１）求∠Ｂ的大小； （２）求ａｃ取值范围； （３）求△ＡＢＣ的内切圆半径ｒ的最大值． １９．（本小题满分１７分） 设Ｏｘ，Ｏｙ是平面内相交成α（０＜α＜π）的两条射线，ｅ１，ｅ２分别是与Ｏｘ，Ｏｙ同向的单位向量，定义 平面坐标系ｘＯｙ为α－仿射坐标系，在α－仿射坐标系中，若→ＯＰ＝ｘｅ１＋ｙｅ２，则记 →ＯＰ＝（ｘ，ｙ）． （１）在α－仿射坐标系中 ①若ａ＝（ｍ，ｎ），求｜ａ｜； ②若ａ＝（１，－２），ｂ＝（２，－１）且ａ与ｂ的夹角为π３，求α； （２）如图所示，在π４－仿射坐标系中，Ｂ，Ｃ分别在ｘ轴、ｙ轴正半轴上，且 →ＢＣ ＝２，点Ｄ、Ｅ、Ｆ分别 为ＯＣ、ＢＤ、ＢＣ的中点，求→ＯＥ·→ＯＦ的最大值． 高一数学试题　第 ４页（共４页） ! 2 0 2 4～ 2 0 2 5 学 年 度 第 二 学 期 期 中 考 试 高 一 数 学 试 题 答 题 纸 ! 准 考 证 号 ! 姓 名 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ! 班 级 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ! 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ! 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ! 学 校 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ! 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ! 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ! 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ! 以 上 填 涂 准 考 证 号 ! ! 粘贴条形码处 ! ! ! ! ! 1 A B C D 5 A B C D ! 2 A B C D 6 A B C D ! 3 A B C D 7 A B C D ! 4 A B C D 8 A B C D ! 9 A B C D ! 10 A B C D ! 11 A B C D 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ! 1 ! 四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分） 16．（本小题满分 15 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分. 12． 13． 14． 二、选择题；本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选 对的得部分分，有选错的得 0分． ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ! 2 ! 17．（本小题满分 15 分） 18.（本小题满分 17 分） 19．（本小题满分 17 分） 20242025学年度第二学期期中考试 高一数学参考答案 一、单项选择题： 1.B 2.C 3.B 4.D 5.c 6.B 7.A 8.D 二、多项选择题 9.BD 10.AD 11.ABD 三、填空题 12.(停，引 13.-音 14.n 四、解答题 15解：Da6=问eos行=4x2x(=4 …2 后-=2-2a.6+6°=16-2×4+4=28 …5 a-=27 ……6 (2):(3a+2b)⊥(2ā+b) (3a+2b).(ā+b)=31ā2+(3+2)ā.6+262 …9 =3×16+(3+21)×(-4)+2×4 =40元-4=0 …12 1=1 …13 10 16.解：（)f)=mn-V5=2sin5cos5+2W5sin2-V5 2 =sinx+231-cosx =sinx-√3cosx …2 =2n-到 函数f(x)的周期为2π：f(x)的最大值为2：f(x)的最小值为-2 …7 高一数学答案第1页共7页 2)=2smg-写l -到引 ……9 m2x=m{-}月引-o2x-号 *……12 =1-2sm-) 4…]4 =1-2 444…15 I7.解：(I)在AABC中，cos∠BAC= 4 sin∠BAC=V-cos2∠BAc=5 …2 由正弦定理得： a 52 sin4 sinC即 15 sin C 4 sc-号 C为三角形内角，且a>c “C- *0…6 6 (2)AD平分∠BAC 投 =2:c=2b由面积法可得同样分) 0…………8 在△ABC中，由余弦定理得： a2 =b2+c2-2bc cos A=b2+(2b)2-2b.2bcos A ****444*3”10 高一数学答案第2页共7页 即15=4b2 .b=V15 …12 2 AM8C的面积5=cs血A=mA5店-55 …15 4416 18.解：(1)(a+b+ca-b+c)=3ac .(a+c}-b2=a2+c2-b2+2ac=3ac 即：a2+c2-b2=ac 由余弦定理得： cos B= a2+c2-b2=ac=1 2ac 2ac 2 B∈(0，π) B= 3 +444404444*4…3 (2):由正弦定理得： a b C2-45 sin A sin B sin C 33 2 .a= 5mc-号5nC *4 =3sin 4.43sin c a.c 3 3 8sin Acos4+sin4 8 高一数学答案第3页共7页 43sin24+ .8 1-cos24 3 2 5m2 4 cs2.+3 8 4 32 sin 24-cos24+3 2 :△4BC为锐角三角形 0<A< 2 → 匹<A< …4…4449 0<C<π 2-A< 6 2 0< 2 3 2 <2A-2<5 6 66 48. 33 <sin 2A- π 6月 8-3 8 <ac≤4 所以c的取值范围为(（，④（如用基本不等式求最大值给2分）…1止 (3)S=(a+b+cr=acsin B 1 5 3 Gs、2ae r-2+a+c≤2+20 …12 令1=ac+1 21= …14 5上 ………16 高一数学答案第4页共7页 当t=3时，即ac=4.a=c=2 …17 19.解：(1)①由a=(m,n)可得，a=me+ne, * 则1aP=(me+n吗)2=m2g+2mmeg+n2g=+n2+2mcow, 即1a=√m2+n2+2 mncos a: …3 ②由题意得a=(L,-2),万=(2，-1)带入(1)得到的坐标公式，可得 la=5-4cosa,B=5-4cosa, 4**…4 a-6=(g-2e）2e-6)）=2g-5eg+2e =4-5cosa 4…5 因为a与b的夹角为无，则由cos<a,6> 丽 1_4-5cosC,解得c0sa=2 可得25-4cos0 因为ae(0,π)得a= 7 3 (2)设0B=m,OC=nm>0,n>0),则0B=m,0C=ne. 因为D、F分别为OC、BC的中点， 得oF-号o丽+0c-2+.0-0c- …8 2 2 2 又因为点E是BD的中点， 所u0死=o+0D=贤5+3 …9 2 电腿利-1云石-号 =m2e2mn一 .mn一 n22 -+ 4 ee+- 8 -ee2+ -e 高一数学答案第5页共7页 =m23mn2,n2 4828 m2 3v2mn n2 十 4168 在△BOC中，∠BOC=T,OB=m,OC=n 4 由余弦定理得BC2=OB2+OC2-2OB·OCc0s∠BOC 即4=m+m-2mm×5整理得2mm=m2+2-4 2 所以0死.0示=m+之xm2+-4+ 416 8 7m2.5n23 …13 16164 在AB0C中，设∠BC0=0(0<0<3江)，由正弦定理得 4 BC OB OC *+…14 sin∠BOC sin0sin7+e) 4 得m=2√2sin0,n=22sin(0+) 16 2xl-cos29,51o20+23 22 4 9√74 …16 因为0<0<3 3π ,得-T<20-9< 4 2 2 所以20-0=号时0正.0下取最大值为9+，厅 4 高一数学答案第6页共7页 所以0正.0F最大值为9+V74 ………17 4 高一数学答案第7页共7页