江苏省徐州市六区县2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

书 ２０２４～２０２５学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （考试时间１２０分钟　试卷满分１５０分） 一、单选题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｓｉｎｘ在区间［０，π］上的平均变化率为（　▲　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．π Ｄ．π２ ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（２ｘ＋１）上一点Ｐ（１，ｆ（１）），则在点Ｐ处切线的斜率为（　▲　） Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ．１ Ｄ． ３ ２ ３．已知随机事件Ａ，Ｂ，且Ｐ（Ａ）＝１２，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ １ ３，则Ｐ（ＡＢ）＝（　▲　） Ａ．１６ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ５ ６ ４．已知随机变量Ｘ的概率分布如表所示，且Ｅ（Ｘ）＝１１６，则ｍ＝（　▲　） Ｘ １ ２ ３ Ｐ ｎ ｍ １３ Ａ．１１２ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ３ ５．甲、乙两人向同一目标各射击１次，已知甲命中目标的概率为０．６，乙命中目标的概率为０．５，已 知目标至少被命中１次，则甲命中目标的概率为（　▲　） Ａ．０．５ Ｂ．０．６５ Ｃ．０．７５ Ｄ．０．８ ６．已知ｆ（ｘ）是定义在 （－∞，０）∪ （０，＋∞）上的奇函数，若对于任意的ｘ∈ （０，＋∞）， 都有ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）＜０成立，且ｆ（１）＝１，则不等式ｆ（ｘ）－１ｘ＜０解集为（　▲　） Ａ．（－∞，－１）∪（０，１） Ｂ．（－１，０）∪（０，１） Ｃ．（－∞，－１）∪（１，＋∞） Ｄ．（－１，０）∪（１，＋∞） ７．某校有５名学生打算前往观看电影《哪吒２》，《战狼》，《流浪地球２》，每场电影至少有１名学生 且至多２名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒２》的方案种数有（　▲　） Ａ．３０ Ｂ．４５ Ｃ．６０ Ｄ．７５ 高二数学试题　第 １页（共４页） ８．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的 重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如 下：如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则（ａ，ｂ）内至少存在一个点 ｘ０∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ｘ０）（ｂ－ａ），其中ｘ＝ｘ０称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上的 “中值点”．请问函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－２ｘ在区间［－１，１］上的“中值点”的个数为（　▲　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 二、多选题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．下列函数的导数运算正确的是（　▲　） Ａ．ｌｏｇ３( )ｘ′＝ １ ｘｌｎ３ Ｂ．（ｌｎ３）′＝ １ ３ Ｃ．（ｘｃｏｓｘ）′＝ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ Ｄ．（ｅ－ｘ）′＝－ｅ－ｘ １０．已知（３ｘ＋１）（ｘ－１）ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ ２＋…＋ａ８ｘ ８，其中ａ８≠０，则（　▲　） Ａ．ｎ＝７ Ｂ．ａ５＝１２６ Ｃ．ａ１＋ａ２＋…＋ａ８＝１ Ｄ．ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６＋ａ８＝１２８ １１．数学家棣莫弗发现，如果随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ（ｎ，ｐ），那么当ｎ比较大时，Ｘ近似服从正 态分布Ｎ（μ，σ２），其密度函数为φμ，σ（ｘ）＝ １ ２槡πσ ｅ－ （ｘ－μ）２ ２σ２ ，ｘ∈Ｒ．任意正态分布Ｘ～Ｎ（μ，σ２），可 通过变换Ｚ＝Ｘ－μ σ 转化为标准正态分布Ｚ～Ｎ（０，１）．当Ｚ～Ｎ（０，１）时，对任意实数ｘ，记Φ（ｘ） ＝Ｐ（Ｚ＜ｘ），则（　▲　） Ａ．当ｘ＞０时，Ｐ（－ｘ≤Ｚ＜ｘ）＝１－２Φ（ｘ） Ｂ．Φ（ｘ）＋Φ（－ｘ）＝１ Ｃ．随机变量Ｘ～Ｎ（μ，σ２），当μ，σ都减小时，概率Ｐ（｜Ｘ－μ｜＜σ）增大 Ｄ．随机变量Ｘ～Ｎ（μ，σ２），当μ增大，σ减小时，概率Ｐ（｜Ｘ－μ｜＜σ）保持不变 三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知随机变量Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），若Ｅ（Ｘ）＝１０，Ｄ（Ｘ）＝１５７，则ｐ＝　　▲　　． １３．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫 瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法 有　　▲　　种． １４．若ｅｘ＋ｘ－１≥２ａｘ＋ｌｎ（２ａｘ＋１）恒成立，则实数ａ＝　　▲　　． 高二数学试题　第 ２页（共４页） 四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． １５．（本小题满分１３分） 已知 ｘ＋２( )ｘ ｎ 的展开式中共有１１项． （１）求展开式中含ｘ４的项的系数；（结果用数字作答） （２）求二项式系数最大的项． １６．（本小题满分１５分） 结合排列组合，解决下列问题．（结果用数字作答） （１）将４封不同的信放到３个不同的信箱中，有多少种放法？ （２）将４封不同的信放到３个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （３）将４封标有序号Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的信放到四个标有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的信箱中，恰有一组序号相同，则有 多少种放法？ １７．（本小题满分１５分） 已知函数ｆ（ｘ）＝（ａ－１）ｌｎｘ＋ｘ＋ａｘ（ａ∈Ｒ）． （１）若ａ＝－２，求函数ｆ（ｘ）的单调区间和极值； （２）若存在ｘ∈（１，＋∞），使得ｆ（ｘ）≤ａｘ成立，求ａ的取值范围． 高二数学试题　第 ３页（共４页） １８．（本小题满分１７分） １１分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得１分，先得１１分 且至少领先２分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成１０∶１０后，每一球交换发球权，领先２分 者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局１１分制的乒乓球比赛，比赛开始 前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为３４，乙发球时 乙得分的概率为 ２ ３，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前 比分为１０∶１０，且接下来轮到甲发球． （１）求再打两个球甲新增的得分Ｘ的分布列和均值； （２）求第一局比赛甲获胜的概率ｐ０； （３）现用ｐ０估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率． １９．（本小题满分１７分） 若定义在Ｒ上的函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）分别存在导函数ｆ′（ｘ）和ｇ′（ｘ）．且对任意实数ｘ，都 存在常数ｋ，使ｆ′（ｘ）≥ｋｇ′（ｘ）成立，则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）是函数ｙ＝ｇ（ｘ）的“ｋ－控制函数”，称ｋ 为控制系数． （１）求证：函数ｆ（ｘ）＝３ｘ＋１是函数ｇ（ｘ）＝ｃｏｓｘ的“３－控制函数”； （２）若函数ｆ（ｘ）＝－ｘ４－４ｘ３－１２ｘ２－２０ｘ是函数ｇ（ｘ）＝ｅｘ的“ｋ－控制函数”，求控制系数 ｋ的 取值范围； （３）若函数ｐ（ｘ）＝ｅｘ＋ｍｅ－ｘ，函数ｙ＝ｑ（ｘ）为偶函数，函数ｙ＝ｐ（ｘ）是函数ｙ＝ｑ（ｘ）的“１－控制 函数”，求证：“ｍ＝１”的充要条件是“存在常数ｃ，使得ｐ（ｘ）－ｑ（ｘ）＝ｃ恒成立”． 高二数学试题　第 ４页（共４页） ! 2 0 2 4～ 2 0 2 5 学 年 度 第 二 学 期 期 中 考 试 高 二 数 学 答 题 纸 ! 准 考 证 号 ! 姓 名 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ! 班 级 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ! 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ! 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ! 学 校 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ! 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ! 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ! 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ! 准 考 证 号 ! ! 粘贴条形码处 ! ! ! ! ! ! 1 2 3 4 5 6 7 8 ! A A A A A A A A ! B B B B B B B B ! C C C C C C C C ! D D D D D D D D ! 9 10 11 ! A A A ! B B B ! C C C ! D D D 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1 ! ! 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分） 15．（本题满分 13分） 16．（本题满分 15分） f 一、单项选择题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。) 三、填空题（本大题共 3小题，每题 5分，共 15分，把答案填在下面的横线上。） 12． 13． 14． 二、多项选择题(本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。) ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2! ! 17．（本题满分 15分） 18．（本题满分 17分） 19．（本题满分 17分） 2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求 题号 1 2 3 4 6 8 答案 C B B D C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分 分，有选错的得0分. 题号 0 10 11 答案 AD ACD BD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 12.11 13.260 14 4月 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 15.解：(1)由题意得n+1=11,解得n=10 2分 可知x+2） 展开式的通项为T4=Cx0 2 2*Cx0-2 -4分 令10-2k=4,解得k=3,则T=2'Cx=960x 6分 故展开式中x的系数为960. -8分 (2)根据题意可得二项式系数最大的项为T。=2Cx”=8064, -13分 16.解：(1)以信的角度去看第一封信有3个选择，第二封信有3个选择，，所以共有 3=81种放法： -5分 (2)先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即C?种， 再将其进行排列，即A种排法.故共有CA=36种放法； -10分 (3)若A组的序号相同，则B信封此时有两个选择（C,D信箱)，从而C,D信封只剩下1 种信箱的选择，同理可知其它序号相同时各有2种选择，故共有4×2=8种放法.-15分 试卷第1页，共4页 17.解：(1)若a=-2,则f0=-3mx+x-2x>0, -1分 fw=-3+1+2=-3x+2_《-x-2 3分 令f'(x)>0,可得0<x<1或x>2:令f(x)<0,可得1<x<2, -5分 所以该函数增区间为(0,1)和(2+∞)，减区间为(1,2)，-- 一7分 当x=1时取得极大值-1，当x=2时取得极小值1-3n2.- -9分 (2)因为存在x∈(L+o),有fx)s8成立，所以存在x∈(L+m),有f0-9≤0成立， 即存在x∈(L,+oo),(a-)lnr+xs0, 因为nx>0,所以存在xe1,+o),(a-D≤二 -11分 Inx 设h=二，其中xe(L,,则i=n+. Inx (m02 因为x∈(L,+o),所以nx)2>0,当-nx+1≥0时，h(x)≥0. 因此h(x)在(1，c】上单调递增，在(e,+o)上单调递减，所以h(x)=h(e)=-e,一--13分 所以a-1≤-e,即a≤1-e,故a的取值范围为(-o,l-e]- -15分 18.解：(1)依题意，X的所有可能取值为0,1,2 -1分 PX=0)=1x2_1 -2分 436 PX=)=3x2+x1-7 -3分 434312 311 P氏X=2)=2×5= -4分 434 所以X的分布列为 X 0 1 7 6 故X的均值E(X)=0×+1× 7 113 +2× 5分 6 12 412 (2)设第一局比赛甲获胜为事件B, 则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)=P(B),P(B|X=2)=1 -7分 试卷第2页，共4页 由D知，PK=0吵-若PK=小7PK=2 由全概率公式，得 P(B)=P(X=0)P(BX=0)+P(X=1)P(BIX=1)+P(X=2)P(BX=2) 60品P+ -9分 解得P()=?,即第一局比赛甲获脏的概率% 3 -11分 5 3 (3)由(2)知P= 故估计甲每局获胜的概率均为兮 根据五局三胜制的规则， 设甲获胜时的比赛总局数为Y,因为每局的比赛结果相互独立， 所以Y的所有可能取值为3,4,5， -13分 因此可得 P(Y=3) 648 3125 -15分 故该场比赛甲获胜的概率P=P(Y=3)+PY=4)+PY=5)=213 -17分 3125 19.解：(1)f"'(x)=3,g'(x)=-sinx,则g'(x)e[-1,1],故f"(x)-3g'(x)=3+3sinx≥0， 即f"()23g'(恒成立，故函数f()=3x+1是函数8()=c0sr的3-控制函数：-3分 (2)有f(x)=-x-4r3-12x2-20x,g(x)=e, 则f'(x)=-4x3-122-24x-20,g'(x)=e>0, 令h=9.-4-122-24x-20 g(x) 则r=l2r2-24-24-(-4-12r2-24x-20） e 4(x2-_4(x-10(x2+x+ -5分 e 12 .3 由x2+x+1 +24,0 x e e 试卷第3页，共4页 故当x∈(-m,)时，h(x)<0,，当x∈(L,+o)时，(x)>0, 即h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 放h()≥h0=4-12-24-20_60 即有f"()2-60g(, -7分 则当k≤-0时，函数f)=-式-4-12-20x是函数g()=e的发-控制函数， s、60 即 e: -10分 (3)充分性：若存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立， 则p(x)=q(x)+c为偶函数， 因为函数y=q(x)为偶函数，所以q(x)=q(-x), 则p(x)=p(-x),即c+me=e+e', 所以(m-1)(e-e*)=0恒成立，所以m=1: -13分 必要性：若m=1,则p(x)=e+e=p(-x),所以函数p(x)为偶函数， 函数y=p(x)是函数y=q(x)的1-控制函数”， 因此p'(x)≥q(x),又q(-x)=q(x),p(-x)=p(x), 因此函数y=p(-x)是函数y=g(-x)的1-控制函数”， 所以-p'(-x)≥-q(-x),即p(-x)≤q(-x)恒成立， 用-x代换x有p'(x)≤q(x) 综上可知p'(x)=q(x),记h(x)=p(x)-q(x), 则(x)=p'(x)-g(x)=0, 因此存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立， -16分 综上可得，“m=1"的充要条件是“存在常数c使得p()-g()=c恒成立”.一一一-17分 试卷第4页，共4页