5.1.2瞬时变化率——导数学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5．1.2　瞬时变化率——导数(1) 1. 结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义． 2. 会求简单函数在某点处的导数及切线方程． 3. 理解导数与平均变化率的区别与联系． 活动一 了解导数的几何意义 1. 函数的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势？ 2. 已知函数f(x)＝x3，点P(1，1)，Q(1＋Δx，1＋Δy)在曲线y＝f(x)上． (1) 分别求在下列条件下直线PQ的斜率． ①Δx＝2; ②Δx＝1; ③Δx＝0.5; ④Δx＝0.1. (2) 割线的概念： (3) 试画出曲线及相应的割线PQ，哪条割线在点P附近更逼近曲线？ (4) 在点P附近你能作出一条比上述割线更加逼近点P处曲线的直线l吗？ (5) 用直线l的什么量来刻画曲线经过点P 时上升或下降的变化趋势？ (6) 切线的概念： 思考1►►► 直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点吗？过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条吗？ (7) 求当Δx无限趋近于0时，直线PQ的斜率． 思考2►►► 结合上述问题，试给出曲线上某一点处的切线的斜率的定义． 活动二 理解切线斜率的定义 例1　已知l为经过曲线y＝x2上点P(1，1)和点Q(3，9)的直线． (1) 求直线l的斜率； (2) 当点Q沿曲线向点P靠近时，直线l的斜率变大还是变小？ 例2　已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率． 活动三 掌握曲线的切线方程的求法 例3　已知曲线f(x)＝. (1) 求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2) 求满足斜率为－的曲线的切线方程． 求曲线的切线方程的一般步骤： (1) 求出切点P的坐标； (2) 求出过点P的切线斜率； (3) 利用点斜式求出切线方程． 例4　已知曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，求切点的坐标，并求这条切线的方程． 1. 已知函数f(x)＝x2图象上的四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是(　　) A. k1<k2<k3 B. k2<k1<k3 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2 2. (2024南京五校联盟期末)已知曲线C：y＝x2－2上一点P，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 3. (多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A. (0，0) B. (1，－1) C. (－1，1) D. (1，1) 4. (2025启东汇龙中学月考)已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为________． 5. (2024南京五校联盟期末)已知函数f(x)＝x2. (1) 求f(x)在区间[2 024，2 025]上的平均变化率； (2) 求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (3) 求曲线y＝f(x)过点(2，0)的切线方程． 5．1.2　瞬时变化率——导数(2) 1. 理解导数的实际意义，能熟练地求出瞬时速度和瞬时加速度． 2. 通过瞬时速度和瞬时加速度，理解瞬时变化率的概念，领悟逼近的思想． 活动一 了解瞬时速度的概念 1. (1) 物理上的平均速度是如何定义的？已知物体做运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s(t)，现有两个时刻t0，t0＋Δt，那么从t0到t0＋Δt这段时间内，物体的平均速度是多少？ (2) 跳水运动员从10 m跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. ①求运动员在t∈[2，2.1]的平均速度； ②求运动员在t∈[2，2＋Δt]的平均速度； ③求运动员在t∈[2－Δt，2]的平均速度； ④求运动员在t＝2s时的瞬时速度． 2. 瞬时速度． 结合上例给出运动物体的瞬时速度的定义： 活动二 掌握瞬时速度的求解方法 例1　一质点的运动方程为S＝t2＋10(位移单位：m，时间单位：s)，试求该质点在t＝3 s的瞬时速度． 例2　已知自由落体运动的方程为S＝gt2(位移单位：m，时间单位：s，g为常数)，求： (1) 落体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度； (2) 落体在t＝10 s这一时刻的瞬时速度． 　(2024无锡月考)在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)的关系是s(t)＝10t＋5t2.求： (1) t＝5s，Δt＝0.1s时的Δs与； (2) t＝5s时的瞬时速度． 活动三　了解瞬时加速度的概念　 3. 瞬时加速度． 思考►►► 类比上述求瞬时速度的方法，思考如何求出某一时刻物体运动的瞬时加速度？ 例3　已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)＝t2＋3，求当 t＝t0 s时轿车的瞬时加速度a. 活动四 了解瞬时变化率的概念 例4　已知函数f(x)＝－. (1) 函数f(x)在区间[1，2]，[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ (2) 函数f(x)在x＝1时的瞬时变化率是多少？ 一般地，当Δx无限趋近于0时，函数f(x)的平均变化率叫作函数f(x)在 x＝x0时的瞬时变化率． 1. (2024苏州中学期中)设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过ts后的距离为s(t)＝t4－4t3＋16t2(单位：m)，则列车运行10s的平均速度为(　　) A. 10m/s B. 8m/s C. 4m/s D. 0m/s 2. (2024徐州期末)若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为(　　) A. 40π cm2/s B. 42π cm2/s C. 44π cm2/s D. 46π cm2/s 3. (多选)(2024连云港期末)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则下列结论中正确的是(　　) A. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为－2.4℃/min C. 当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－1.2℃/min D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为－3℃/min时的时刻t＝(2－5)min 4. 质点的速度大小按v＝t2(v，t分别为速度和时间)作加速运动，则该质点在t＝2时的瞬时加速度为________． 5. 如图，投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大． (1) 当半径r从a增加到a＋d时，求圆面积S相对于r的平均变化率； (2) 当半径r＝a时，求圆面积S相对于r的瞬时变化率． 5．1.2　瞬时变化率——导数(3) 1. 了解导数的背景，理解导数的概念． 2. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3. 进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程，同时又对变量数学的思想方法有新的感悟. 活动一 掌握导数的概念 1. 复习回顾 (1) 如何求曲线上任意一点的切线的斜率？ (2) 如何求某一时刻物体运动的瞬时速度？ (3) 如何求某一时刻物体运动的瞬时加速度？ 思考1►►► 以上三个问题有哪些共同特征？(从代数式、求解的目标等进行分析) 2. 导数的定义． 思考2►►► 结合上述三个问题探求函数f(x)在x＝x0处的导数． 思考3►►► 试从导数的定义，归纳求函数f(x)在x＝x0处导数的方法． 思考4►►► 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 活动二　掌握求函数在x＝x0处的导数的方法　 例1　已知f(x)＝x2＋2. (1) 求f(x)在x＝1处的导数f′(1)； (2) 求f(x)在x＝a处的导数f′(a). 根据f′(x0)的几何意义及求解过程，体会极限的思想，求得函数f(x)在x＝x0处的导数． 　已知f(x)＝2x2－x，求f(x)在x＝2处的导数． 活动三 掌握导函数的定义及求法 3. 导函数的定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).导函数f′(x)也简称为f(x)的导数． 思考5►►► “函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”两者之间有哪些区别和联系？ 思考6►►► f′(1) 与f(1) 的含义有什么不同？f′(1) 与f′(x)之间有什么联系？ 4. 求导函数： 例2　设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． (1) ； (2) . 　(1) (2024南京一中期末)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 ＝，则f′(2)的值为(　　) A. －1 B. － C. 1 D. (2) (2024盐城八校期末联考)已知函数f(x)在x＝x0处可导，且 ＝3，则f′(x0)的值为(　　) A. －3 B. －2 C. － D. 2 例3　已知f(x)＝2x3－1，f′(x0)＝6，求x0的值． 活动四　掌握导数的几何意义及实际意义 思考7►►► 结合导数的定义，探求在曲线上任意一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度与导数有何联系？ 例4　求曲线y＝x2－2x上点P(a，0)处的切线方程． 1. (2025庐江期末)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A. 2x B. 2 C. 2＋d D. 1 2. (2024温州期末)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式中正确的是(　　) A. <f′(1)<f′(3) B. f′(3)<<f′(1) C. f′(3)<f′(1)< D. f′(1)<<f′(3) 3. (多选)若 ＝－1，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝－4 B. ＝－2 C. 曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－1 D. 曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－2 4. 若函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，则x0＝________． 5. (2024北京期中)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(0，－2)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1) 利用导数定义求函数y＝x2＋x－2的导数； (2) 求直线l1，l2的方程． 5．1.2　瞬时变化率——导数(1) 【活动方案】 1. 如果将某点附近的曲线放大，可以发现曲线在该点附近将逼近一条直线，因此，在该点附近我们可以用这条直线来代替曲线(即在很小范围内以直代曲)，所以我们可以用这条直线的斜率来刻画曲线在该点处的上升或下降的“变化趋势”． 2. (1) 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx， 所以直线PQ的斜率为k＝＝(Δx)2＋3Δx＋3. ①当Δx＝2时，k＝22＋3×2＋3＝13. ②当Δx＝1时，k＝12＋3×1＋3＝7. ③当Δx＝0.5时，k＝0.52＋3×0.5＋3＝4.75. ④当Δx＝0.1时，k＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31. (2) 设Q为曲线上不同于点P的一点，直线PQ称为曲线的割线． (3) 图略；当Δx＝0.1时，割线在点P附近更逼近曲线． (4) 能，图略． (5) 用直线l的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的变化趋势． (6) 设Q为曲线上不同于点P的一点，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 思考1：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．过曲线外一点作已知曲线的切线不一定只有一条，如过圆外一点与圆相切的直线有两条． (7) 当Δx无限趋近于0时，PQ的斜率无限趋近于常数3. 思考2：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率． 例1　(1) 直线l的斜率为kPQ＝＝4. (2) 变小． 例2　设点P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为kPQ＝＝4＋Δx. 当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4， 所以曲线y＝f(x)在点P(2，4)处的切线斜率为4. 例3　(1) ＝＝， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－. 设过点A(1，0)的切线的切点为P(x0，)， 则该切线的斜率为k＝－. 因为点A(1，0)，P(x0，)在切线上， 所以＝－，解得x0＝， 所以切线的斜率k＝－4， 所以曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0. (2) 设斜率为－的切线的切点为Q(a，)， 由(1)知，－＝－，得a＝±， 所以切点坐标为(，)或(－，－)， 所以满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)， 即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0. 例4　设切点为P(a，a2)，另一点Q(a＋Δx，(a＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为kPQ＝＝2a＋Δx. 当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2a， 即曲线y＝f(x)在点P(a，a2)处的切线斜率为2a. 又曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4， 所以2a＝－4，解得a＝－2，所以点P(－2，4)， 则切线方程为y－4＝－4(x＋2)，即4x＋y＋4＝0. 【检测反馈】 1. A　因为k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，所以k1<k2<k3. 2. B　设f(x)＝x2－2，P，Q(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝＝＝＝Δx＋1，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，所以曲线y＝x2－2在点处切线的斜率为1，则倾斜角为45°. 3. BC　设f(x)＝x3－2x，切点为P(x0，y0)，另一点Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则＝＝(Δx)2＋3x＋3x0·(Δx)－2.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x－2.由题意，得3x－2＝tan ，解得x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－1；当x0＝－1时，y0＝1.综上，满足题意的点的坐标为(1，－1)或(－1，1).故选BC. 4. (2，1)　设切点P(m，n)，切线斜率为k.由＝＝4m＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4m，所以k＝4m.由题意，得4m＝8，所以m＝2，代入y＝2x2－7，得n＝1，故所求切点P的坐标为(2，1). 5. (1) 因为f(x)＝x2， 所以f(x)在区间[2 024，2 025]上的平均变化率为 ＝2 0252－2 0242＝(2 025－2 024)×(2 025＋2 024)＝4 049. (2) 设切点P(2，f(2))，曲线上另一点Q(2＋Δx，f(2＋Δx))， 则＝＝＝Δx＋4， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4， 所以曲线y＝x2在点(2，f(2))处切线的斜率为4， 则切点坐标为(2，4)，切线斜率为4， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4. (3) 易知直线x＝2与曲线y＝f(x)不相切， 故设切点为P(x0，x)(x≠2)，曲线上另一点Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))， 则＝＝2x0＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0， 则2x0＝，即x0(x0－4)＝0，解得x0＝0或x0＝4， 当x0＝0时，切点为(0，0)，2x0＝0， 此时满足题意的切线方程为y＝0，显然它过点(2，0)； 当x0＝4时，切点为(4，16)，2x0＝8， 此时满足题意的切线方程为y－16＝8(x－4)，即y＝8x－16，显然它过点(2，0)， 综上所述，满足题意的切线方程为y＝0或y＝8x－16. 5．1.2　瞬时变化率——导数(2) 【活动方案】 1. (1) 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．＝. (2) ①＝＝－13.59(m/s). ②＝＝(－4.9Δt－13.1)m/s. ③＝＝(4.9Δt－13.1)m/s. ④当Δt无限趋近于0时，平均速度无限趋近于常数－13.1，所以运动员在t＝2s时的瞬时速度为－13.1m/s. 2. 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度． 例1　在3s到(3＋Δt)s的时间内，该质点的平均速度为＝＝＝(6＋Δt)m/s， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6，即v＝6 m/s， 所以当t＝3s时该质点的瞬时速度为6m/s. 例2　(1) 落体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度为＝＝＝(gt0＋gd)m/s. (2) 落体在[10，10＋Δt]这段时间的平均速度为 ＝＝＝(10g＋gΔt)m/s， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于10g， 所以落体在t＝10 s这一时刻的瞬时速度为10g m/s. 跟踪训练　(1) Δs＝s(5＋△t)－s(5)＝10(5＋0.1)＋5(5＋0.1)2－10×5－5×52＝6.05(m). ＝＝60.5(m/s). (2) ＝ ＝ ＝ (5Δt＋60)＝60(m/s)， 则在t＝5s时的瞬时速度为60m/s. 思考：首先求出运动物体的速度变化量Δv＝v(t0＋Δt)－v(t0)，和时间变化量Δt，然后求出运动物体速度的平均变化率，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度． 例3　在t0到t0＋Δt的时间内，轿车的平均加速度为＝＝＝＝2t0＋Δt，　 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t0，即a＝2t0，所以当t＝t0s时轿车的瞬时加速度为2t0. 例4　(1) 函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝3； 函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝4； 函数f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝. (2) 在x＝1到x＝1＋Δx内，函数f(x)的平均变化率为＝， 当Δx无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于6， 即函数f(x)在x＝1时的瞬时变化率是6. 【检测反馈】 1. A　s(10)＝－4×103＋16×102＝100，故列车运行10s的平均速度为＝10(m/s). 2. A　设在ts时，气球的半径为rcm，则r＝2＋t，气球的表面积S(t)＝4πr2＝4π(2＋t)2，因为＝＝4π(Δt＋10)，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于40π，故当t＝3时，该气球表面积的增长速度为40π cm2/s. 3. ABC　对于A，当t＝0时，T(0)＝＋15＝39，当t＝5时，T(5)＝＋15＝27，所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39－27＝12(℃)，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为＝＝－2.4(℃/min)，故B正确；对于C，因为＝＝－，当Δt无限趋近于0时，－无限趋近于－，当t0＝5时，－＝－1.2，所以当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率为－1.2 ℃/min，故C正确；对于D，令－＝－3，解得t＝2－5，故D错误．故选ABC. 4. 4　＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4，所以该质点在t＝2时的瞬时加速度为4. 5. (1) 圆面积S相对于半径r的平均变化率为＝＝π(2a＋d). (2) 在表达式π(2a＋d)中，当d无限趋近于0时，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa. 5．1.2　瞬时变化率——导数(3) 【活动方案】 1. 略 思考1：代数式都是的形式，其中Δx表示自变量x的改变量，Δy表示相应的函数的改变量．都求的是函数在某一点处的瞬时变化率． 思考2：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0). 思考3：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②求平均变化率＝； ③令Δx→0，可得→A，则常数A即为函数f(x)在x＝x0处的导数，通常也可表示为 ＝A. 思考4：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 例1　 (1) 因为＝＝＝2＋Δx， 所以当Δx→0时，2＋Δx→2， 即 ＝ (2＋Δx)＝2， 故f(x)在x＝1处的导数为2，即f′(1)＝2. (2) 因为＝＝ ＝2a＋Δx， 所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a， 即 ＝ (2a＋Δx)＝2a， 故f(x)在x＝a处的导数为2a，即f′(a)＝2a. 跟踪训练　因为＝＝＝2Δx＋7， 所以当Δx→0时，2Δx＋7→7， 即 ＝ (2Δx＋7)＝7， 故f(x)在x＝2处的导数为7，即f′(2)＝7. 思考5：联系：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 区别：导函数是函数，f(x)在x＝x0处的导数是数值． 思考6：f′(1)表示函数f(x)在x＝1处的导数，f(1)表示函数f(x)在x＝1处的值，f′(1)表示导函数f′(x)在x＝1处的值． 例2　(1) 原式＝ ＝－ ＝－f′(x0). (2) ＝ ＝[ ＋ ] ＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0). 跟踪训练　(1) C　由导数的定义，得f′(2)＝ ＝2 ＝1. (2) A　由导数的定义，得f′(x0)＝ ＝－ ＝－3. 例3　因为＝ ＝ ＝6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2， 所以当Δx→0时，→6x， 即 ＝[6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2]＝6x， 即f′(x0)＝6x. 又f′(x0)＝6，所以x0＝1或x0＝－1. 思考7：曲线上任一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度即为相应的函数在该点的导数． 例4　由点P在曲线上，得a2－2a＝0， 解得a＝0或a＝2. 由导数的定义，得 y′＝ ＝ ＝ ＝ (2x＋Δx－2)＝2x－2. 当a＝0时，y′|x＝0＝2×0－2＝－2， 所以曲线在点P1(0，0)处的切线方程为y－0＝－2(x－0)，即2x＋y＝0； 当a＝2时，y′|x＝2＝2×2－2＝2， 所以曲线在点P2(2，0)处的切线方程为y－0＝2(x－2)，即2x－y－4＝0. 综上，曲线上点P处的切线方程为2x＋y＝0或2x－y－4＝0. 【检测反馈】 1. B　函数的平均变化率为＝＝2＋Δx，当Δx趋近于0时，2＋Δx趋近于2，即f(x)＝x2在x＝1处的导数为2. 2. B　根据导数的几何意义，如图，f′(1)，f′(3)分别表示曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))，B(3，f(3))处切线的斜率，又kAB＝＝，所以由图可知f′(3)<<f′(1). 3. AD　由 ＝－1，得 ＝－2，即f′(1)＝－2，所以曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－2，故C错误，D正确； ＝[2×]＝2f′(1)＝－4，故A正确，B错误．故选AD. 4. 1　根据导数的定义知，f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ (4x0＋2Δx＋4)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1. 5. (1) 因为y＝x2＋x－2， 所以y′＝ ＝ ＝ (Δx＋2x＋1)＝2x＋1. (2) 因为点(0，－2)满足曲线y＝x2＋x－2，即为直线l1的切点， 所以直线l1的斜率为y在x＝0时的导数，即k1＝1， 故直线l1的方程为y－(－2)＝x－0，即x－y－2＝0. 又直线l2为该曲线的另一条切线，设该切线的切点的坐标为(a，b)，则k2＝2a＋1. 因为l1⊥l2，所以2a＋1＝－1，解得a＝－1，所以b＝(－1)2－1－2＝－2， 即切点的坐标为(－1，－2)，切线的斜率为－1， 故直线l2的方程为y－(－2)＝－(x＋1)，即x＋y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$