5.2.1基本初等函数的导数学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.2.1　基本初等函数的导数 1. 能根据定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3, y＝，y＝ 的导数． 2. 掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 活动一 函数y＝xn的求导公式的推导 1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的过程． 思考1►►► f′(x0)与f′(x)相同吗？ 2. 探求函数y＝xn的求导公式． 问题1：求函数y＝f(x)＝C(C为常数)的导数． 问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数： ①f(x)＝kx＋b(k，b为常数); ②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝. 问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？ (C)′＝________(C为常数)， (xn)′＝________(n为常数). 活动二　掌握函数y＝(xn)′的导数公式的应用　 例1　求下列函数的导数： (1) y＝x12；(2) y＝；(3) y＝. 例2　设曲线y＝xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　) A. 　　　　B. C. D. 1 活动三　掌握基本初等函数的求导公式　 3. 求导公式： (1) (xα)′＝________(α为常数)； (2) (ax)′＝________(a>0，且a≠1)； (3) (logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)； (4) (ex)′＝________； (5) (ln x)′＝________； (6) (sin x)′＝________； (7) (cos x)′＝________． 例3　求函数在下列各点处的导数． (1) y＝cos x，x＝； (2) y＝ex，x＝3； (3) y＝，x＝8; (4) y＝log3x，x＝2. 活动四　利用求导公式解决问题　 例4　(1) 求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程； (2) (2024湖州期中)已知直线y＝kx与函数f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为________，切点的坐标为________． 思考2►►► 如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？ 　(2024盐城五校期末联考)若直线y＝kx＋1是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则k的值为(　　) A. B. e2 C. 2 D. 　求曲线y＝x3过点(1，1)的切线方程． 　求过曲线f(x)＝cos x上的一点P(，)，且与曲线在这点的切线垂直的直线方程． 1. 函数y＝x-1的导函数是(　　) A. y′＝－x-1 B. y′＝－x-2 C. y′＝x-2 D. y′＝x-1 2. (2024南京六校联合期末调研)曲线y＝2ln x在点(e，2)处的切线方程为(　　) A. y＝ex－2 B. y＝x＋1 C. y＝ex－e2＋2 D. y＝x 3. (多选)(2024海门期末)下列导数运算中，正确的是(　　) A. ′＝0 B. ′＝－ C. (x5)′＝5x4 D. (2x)′＝x2x-1 4. (2024北京期中)已知曲线y＝x2的一条切线的倾斜角为，则切点的横坐标为________． 5. (2024北京延庆期末)求满足下列条件的直线l的方程． (1) 直线l为曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线； (2) 直线l的斜率为e且与曲线y＝ex相切； (3) 直线l过原点且与曲线y＝ln x相切． 5.2.1　基本初等函数的导数 【活动方案】 1. 导数的定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0). 求导数的过程：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②求平均变化率＝； ③令Δx→0，可得→A，则常数A即为函数f(x)在x＝x0处的导数，通常也可表示为 ＝A. 思考1：不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f(x)在x＝x0处的导数的值． 2. 问题1：常数函数的导数是0. 问题2：①因为＝＝k， 所以 ＝k，故f′(x)＝k. ②因为＝＝2x＋Δx， 所以 ＝2x，故f′(x)＝2x. ③因为＝＝3x2＋3x(Δx)＋(Δx)2， 所以 ＝3x2，故f′(x)＝3x2. ④因为＝＝－， 所以 ＝－，故f′(x)＝－. ⑤因为＝＝， 所以 ＝，故f′(x)＝. 问题3：0　nxn-1 例1　(1) y′＝(x12)′＝12x11. (2) y′＝()′＝(x-4)′＝－4x-5＝－. (3) y′＝()′＝(x)′＝x－. 例2　B　对y＝xn+1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝. 3. (1) αxα-1　(2) ax ln a　(3) logae　　(4) ex (5) 　(6) cos x　(7) －sin x 例3　(1) 因为y′＝(cos x)′＝－sin x， 所以y′|x＝＝－sin ＝－. (2) 因为y′＝(ex)′＝ex，所以y′|x＝3＝e3. (3) 因为y′＝()′＝(x)′＝x－， 所以y′|x＝8＝×8－＝. (4) 因为y′＝(log3x)′＝， 所以y′|x＝2＝. 例4　(1) 因为y′＝()′＝x－， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. (2) e　(1，e)　设切点的坐标为(x0，y0).因为f′(x)＝ex，所以所以＝y0，解得x0＝1，代入，得k＝y0＝e1＝e，故k的值为e，切点的坐标为(1，e). 思考2：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 跟踪训练1　D　设切点的坐标为(x0，ln x0)，易知y′＝，所以k＝，所以切线的方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝x－1＋ln x0，所以－1＋ln x0＝1，即ln x0＝2，所以x0＝e2，所以k＝＝. 跟踪训练2　由题意，得y′＝3x2. 若(1，1)是切点，则切线的斜率k＝3， 故切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0； 若(1，1)不是切点，设切点为(m，m3)(m≠1)， 则切线的斜率k＝3m2＝， 解得m＝－或m＝1(舍去)， 故切点为(－，－)，k＝， 则切线方程为3x－4y＋1＝0. 综上，曲线过点(1，1)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 跟踪训练3　因为f(x)＝cos x， 所以f′(x)＝－sin x， 所以曲线f(x)＝cos x在点P(，)处的切线的斜率为f′()＝－sin ＝－， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为y－＝(x－)， 即y＝x－π＋. 【检测反馈】 1. B　由(x-1)′＝－x-1-1＝－x-2，得y′＝－x-2. 2. D　由y＝2ln x求导，得y′＝，则当x＝e时，y′＝，所以曲线y＝2ln x在点(e，2)处的切线方程为y－2＝(x－e)，即y＝x. 3. ABC　′＝0，故A正确；′＝(x-1)′＝－1·x-2＝－，故B正确；(x5)′＝5x4，故C正确；(2x)′＝2x ln 2，故D错误．故选ABC. 4. －　设切点的横坐标为x0.由y＝x2，得y′＝2x，故2x0＝tan ＝－1，解得x0＝－. 5. (1) 由f(x)＝x3，得f′(x)＝3x2. 因为切点的坐标为(1，f(1))， 所以当x＝1时，切线斜率k＝3，f(1)＝1， 所以切线的方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. (2) 由y＝ex，得y′＝ex. 因为切线的斜率为e，令y′＝ex＝e，则x＝1，y＝e， 则切点的坐标为(1，e)， 所以切线的方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex. (3) 由y＝ln x，得y′＝(x>0). 设切点的坐标为(m，ln m)，切线的方程为y＝kx， 所以切线的斜率k＝，切线的方程为y＝x. 因为切点的坐标为(m，ln m)，所以ln m＝·m＝1，所以m＝e， 所以切线的方程为y＝x. 学科网（北京）股份有限公司 $$