精品解析：2025年安徽省安庆市怀宁县怀宁县部分学校联考中考二模数学试题

2025年安徽中考模考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 9. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 12. 婷婷有一个圆柱形水杯，底面直径6cm，高20cm，为它做一个布套（无盖），至少要用_________布料．（结果保留） 13. 如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为________米． 14. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 计算：． 16. （1）计算：； （2）． 17. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为分、分、分、分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； （3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为_____． 18. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 19. 综合与实践 主题：二次函数与刹车距离的探究 素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离． 素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系． 素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米． 请根据上述素材，解答下列问题． （1）求与的二次函数关系式． （2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间） 20. 如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 21. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求面积； （3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 22. 如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； （2）矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； （3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽中考模考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，请观察下图窗花图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．据此求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将9540000写成其中，n为整数的形式即可． 详解】解：． 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法则，幂的乘方，负整数指数幂，零次幂等知识点．利用幂的乘方，同底数幂的乘除法则，负整数指数幂，零次幂逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据大于向右，有等号为实心点，即可得出答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下： ． 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“积的乘方，先把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”根据积的乘方的性质进行计算即可的解． 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查了积的乘方的性质，熟记性质，理清指数的变化规律是解题的关键． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：B． 7. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 8. 如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 9. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．根据题意方程两边同时乘以最简公分母，再移项合并同类项计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 即：， 检验：当时，原分式方程有解， ∴时分式方程的根， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 根据的定义和可知或，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形． 【详解】解：∵， ∴或． 如图， ①当时，点P满足或， 在图象上，线段即为图中正方形的右边，线段即为图中正方形的左边； ②当时，点P满足，或， 在图象上，线段即为图中正方形的上边，线段即图中正方形的下边． 则所有满足该条件的点围成的图形为边长为4的正方形， ∴所有满足该条件的点围成的图形的面积为， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 把代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， 故答案为：． 12. 婷婷有一个圆柱形水杯，底面直径6cm，高20cm，为它做一个布套（无盖），至少要用_________布料．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由题可得布套为圆柱的侧面积和一个底面面积之和，进而即可求解． 【详解】解：∵底面直径6cm， ∴底面半径为3cm， 则底面面积为： ， 底面周长为： ， 则侧面面积为： ， 则面积和为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和底面面积，求出圆柱的表面积是解题的关键． 13. 如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为________米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵米， ∴米． 故答案为∶50． 14. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂公式，立方根，绝对值，特殊角的三角函数值计算，解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂公式，立方根，特殊角的三角函数，绝对值化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 16. （1）计算：； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数运算综合能力，涉及三角函数、二次根式化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，以及整式的乘法与合并同类项． （1）利用特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可． （2）利用完全平方式，乘法分配律计算后合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为分、分、分、分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； （3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为_____． 【答案】（1），， （2）推荐甲班，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据加权平均数的计算方法进行计计算即可得，根据中位数的定义求得，根据众数的定义求得； （2）根据中位数和众数可知，乙班成绩的众数和中位数大于甲班成绩，即可求解； （3）乙原来的中位数为，那么需要从甲最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲数据的中位数． 【小问1详解】 解：， 甲班人数为：人 甲班的成绩的中位数为第和个的平均数，即， 根据扇形统计图可得：乙班级的人数最多，即众数为，则 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：推荐甲班， 理由是：甲班成绩的中位数和众数都高于乙班， 【小问3详解】 解：乙原来中位数为，乙班全部数据中分的有人，分的有人，少于分的有人 中位数为第和个的平均数即， 新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则新数据中的中位数最少应为， 设甲班抽取的数据中选取个分， ∴，解得： 故答案为：． 18. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 19. 综合与实践 主题：二次函数与刹车距离的探究 素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离． 素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系． 素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米． 请根据上述素材，解答下列问题． （1）求与的二次函数关系式． （2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间） 【答案】（1） （2）刹车时速度不能超过 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，从而结合素材内容列出方程求出后即可判断得解； （2）依据题意，可得要求刹车距离不超过，从而结合（1）可令，故，求出后即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为， ∵当时， ∴． ∴． 又 ∵当时，；当时，， ∴． ∴． ∴解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米， ∴令． ∴． ∴解得正根（负根舍去）． ∴刹车时速度不能超过． 20. 如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，求出，证明，得出是的切线； （2）设，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ∵为的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：设，， ，，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 21. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用． （1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式； （2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是， ，， 一次函数的图象过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方． 22. 如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； （2）矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），； （2）能，18； （3）当时，有最大值，的最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将代入函数中，求出值，结合题意解答即可； （3）先求出的取值范围，将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故，． 【小问2详解】 解：令，则， 解得：， ， 当时，，不合题意，舍去， ， ． 【小问3详解】 解：， 由得， 由得， ， 在中，随的增大而减小， 当时，有最大值， ，即的最大值是， 答：当时，有最大值，的最大值是． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； （3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点为A的横坐标为2，得到，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）过点A作于点D，作轴交直线l于点E，结合一次函数解析式得到，，利用勾股定理求出，结合二次函数解析式得到顶点A的坐标为，进而求出，再证明，最后利用相似三角形性质和二次函数最值求解，即可解题； （3）通过抛物线的解析式可得对称轴为直线，过点，对a分情况讨论或求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． 【小问3详解】 解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数性质，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，二次函数一般式化顶点式，相似三角形的性质和判定，二次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于理解题意列出不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$