精品解析：广东省阳江市第三中学2024--2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题

阳江三中2024--2025学年度第二学期高三第三次模拟测试 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年5月24日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到，根据交集概念求出交集. 【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e． 故. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算以及垂直向量的坐标表示，求得参数值，利用向量模长的坐标计算公式，可得答案. 【详解】由，且，则，解得， 即，可得，所以. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解. 【详解】由与联立，结合可解得： ，，， 再由二倍角公式可得， 故选：B. 5. 5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为 （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】总的检验方法数易求，恰好检验4次就停止，说明前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，分别求出方法数后可得概率． 【详解】检验4次的方法总数为， 因为恰好检验4次就停止， 所以前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，共种方法， 或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，共种方法， 所以满足题意的概率为． 故选：C． 6. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得，求得，进而检验即可. 【详解】由函数为偶函数，可得，即， 解之得，则， ， 故为偶函数，符合题意. 故选：D. 7. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，以及前项和公式，结合已知条件，计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，故两式作差可得：，即，； 又，故. 故选：B. 8. 过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案. 【详解】对于A，在中，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD. 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据的标准差为3 C. 数据的分位数为10 D. 记，随机变量，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解A，根据二项式展开式的通项特征，可求解，根据百分位数以及方差的计算公式即可求解BC，根据正态分布的对称性即可求解D. 【详解】对于选项A：令，则，故A正确， 对于选项BC：因为的展开式的通项为，即， 可得， 数据为， 则平均数为， 方差为， 所以标准差为3，故B正确； 将数据按升序排列为，且， 故分位数为第3个数5，故C错误， 对于选项D：因为， 故，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13. 已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得. 【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离， 因，代入，解得， 故. 故答案为：2. 14. 德阳市去年完工的华强沟水库是坝斜面与水平面所成的二面角为，堤坝斜面上有一条直道与堤脚的水平线的夹角为，小李同学沿这条直道从处向上行走到10米时，小李升高了__________米. 【答案】 【解析】 【分析】取上一点，过点作直线所在的水平面的垂线，垂足为，则线段的长就是所求的高度，在河堤斜面内，作，垂足为，连接，在中即可求解. 【详解】取上一点，设米，过点作直线所在的水平面的垂线，垂足为，则线段的长就是所求的高度， 在河堤斜面内，作，垂足为，连接，由三垂线定理的逆定理有， 所以就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角，即， 所以， 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 得，所以， 由，得. 【小问2详解】 如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 16. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. （2）1 【解析】 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以， . 则. 17. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函数的解析式，即可得出实数的值； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）解不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. 【小问2详解】 因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 由（2）可得，解得， 又因为，故实数的取值范围是. 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 19. 已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. （1）已知，，判断数列，是否具有性质； （2）若数列具有性质，证明：的各项均为整数； （3）若，求具有性质的数列的个数. 【答案】（1）数列具有性质；数列不具有性质 （2）设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在， 同理存在，两式相减得， 即，因为，所以.所以的各项均为整数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列具有性质的定义即可求解. （2）设数列的公差为，由题意知存在，同理存在，两式相减，根据等差数列的定义即可得证. （3）由题意结合（2）知数列的各项均为整数，所以为整数.首先证明为正整数，其次证明为的约数，从而即可得解. 【小问1详解】 ，，即，所以数列具有性质. ，令，则，不符合，则不具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数. 假设为负整数，则为递减数列，所以中各项最大值为， 由题意，中存在某项，且，所以， 而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，为正整数. 由得，， 所以， 所以为整数，即为的约数. 由为正整数，所以为的正约数， ，所以的正约数共有个，则，具有性质的数列的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳江三中2024--2025学年度第二学期高三第三次模拟测试 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年5月24日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为 （    ） A. B. C. D. 6. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 7. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 12 8. 过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据的标准差为3 C. 数据的分位数为10 D. 记，随机变量，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 13. 已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则______． 14. 德阳市去年完工的华强沟水库是坝斜面与水平面所成的二面角为，堤坝斜面上有一条直道与堤脚的水平线的夹角为，小李同学沿这条直道从处向上行走到10米时，小李升高了__________米. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 16. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 17. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 19. 已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. （1）已知，，判断数列，是否具有性质； （2）若数列具有性质，证明：的各项均为整数； （3）若，求具有性质的数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $