第11章 一元一次不等式 期末压轴30题-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

第11章 一元一次不等式 期末压轴30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 二、填空题 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若定义一种新的取整符号[ ]，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④方程的解有无数多个．其中正确的是 （填序号）． 6．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x的不等式组 （a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S33.6，则所有这样的a的和为 ． 7．（22-23七年级下·江苏南京·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有 个． 8．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 三、解答题 9．（22-23七年级下·江苏南京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 10．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”，例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． (1)下列三角形一定是二倍角三角形的是（填序号）______； ①等腰三角形  ②直角三角形  ③等边三角形  ④等腰直角三角形 (2)若为二倍角三角形，，则这个三角形中最小的角为______°； (3)已知是二倍角三角形，其中是最小的角，求的最大值； (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当______°时，是二倍角三角形．    11．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 12．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 14．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 15．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的二元一次方程 （1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围； （2）求代数式的值． 17．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”． （1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”． （2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值． 18．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知（a≠0）是关于x，y的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含a的代数式表示）； （2）若x﹣2y＞0，求a的取值范围； （3）若x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，直接写出a的取值范围． 19．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如： ，； ，． 解决下列问题： （1）填空：______； （2）若，求的取值范围； （3）①若，那么______； ②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）； ③运用②解决问题：若，求的值． 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 21．（22-23七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 22．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)___________． (2)请回答下列问题： ①如果，求x． ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填a，b，c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：若，则___________． 23．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图1，点A的坐标为，将点A向右平移b个单位得到点B，其中关于x的一元一次不等式的解集为，过点B作轴于C． （1）求B点坐标及； （2）如图2，点Q自O点以1个单位/秒的速度在y轴向上运动，点P自C点以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，设运动的时间为t秒，是否存在一段时间，使得？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，求． 24．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某商场有A、B两种商品，每件的进价分别为15元、35元.商场销售5件A商品和2件B商品，可获得利润45元;销售8件A商品和4件B商品，可获得利润80元. (1)求A、B两种商品的销售单价; (2)如果该商场计划购进A、B两种商品共80件，用于进货资金最多投入2 000元，但又要确保获利至少590元，请问有那几种进货方案? 25．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知实数x、y满足2x+3y=1． (1)用含有x的代数式表示y； (2)若实数y满足y＞1，求x的取值范围； (3)若实数x、y满足x＞﹣1，y≥﹣，且2x﹣3y=k，求k的取值范围． 26．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 27．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：． （1）已知． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围； （2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式． 学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 29．（22-23七年级下·江苏南通·期末）某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表： 甲型 乙型 价格(万元/台) x y 处理污水量(吨/月) 300 260 经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元． （1）求x，y的值； （2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案； （3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 30．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知关于 x 、 y 的方程组 （1）求该方程组的解（用含 a 的代数式表示）； （2）若方程组的解满足 x＜0 ， y＞0 ，求 a 的取值范围． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 一元一次不等式 期末压轴30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 【答案】B 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组至少有1个整数解，得到， 解得：， 解方程组，得， 关于，的方程组的解为正整数， 或或， 解得或或， 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 二、填空题 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 【答案】26 【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】联立， 把a看作常数，解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴当时，；当时，； ∴． 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组求出，根据解的情况得到；再根据和得到，再由变形得，得到，解题即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组，得， 由题意，得， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，不等式的解法，综合性较强，能用m表示其他未知量并解关于m的不等式组是解题的关键． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若定义一种新的取整符号[ ]，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④方程的解有无数多个．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义的含义，解不等式组，能够根据题意得到各数的取值范围是解题的关键．①直接根据新定义计算即可；②取特殊值验证，证实或证伪；③把方程问题转化为不等式问题解决即可；④先根据得到方程的一部分解，，，可得答案． 【详解】解：①，故原说法正确； ②由，故原说法不正确； ③由，得，即，故原说法正确； ④∵， ∴， 当，，，方程都成立，原说法正确； 故答案为①③④． 6．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x的不等式组 （a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S33.6，则所有这样的a的和为 ． 【答案】5 【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】， ∵解不等式①得：x＞a﹣1， 解不等式②得：x≤a+5， ∴不等式组的解集为a﹣1＜x≤a+5， ∴不等式组的整数解a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5， ∵所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6， ∴21.6≤6a+15≤33.6， ∴1.1≤a≤3.1， ∴a的值为2，3， ∴2+3＝5， 故答案为5． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 7．（22-23七年级下·江苏南京·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有 个． 【答案】12 【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：， ， ，是正整数， ， 解得，即只能取1，2，3， 当时，， 正整数解为：，，，，，， 当时，， 正整数解为：，，，， 当时，， 正整数解为：，； 综上，它的正整数解有12个． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键． 8．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【答案】/3≥a＞2 【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：由①与②进行如下运算： ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴， ∵，， ∴， 故， ∵x只能取两个整数， 故令整数的值为n，n+1， 则，， 故， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键． 三、解答题 9．（22-23七年级下·江苏南京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 10．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”，例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． (1)下列三角形一定是二倍角三角形的是（填序号）______； ①等腰三角形  ②直角三角形  ③等边三角形  ④等腰直角三角形 (2)若为二倍角三角形，，则这个三角形中最小的角为______°； (3)已知是二倍角三角形，其中是最小的角，求的最大值； (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当______°时，是二倍角三角形．    【答案】(1)④ (2)或40 (3)的最大值为 (4)或或或或． 【分析】（1）根据“二倍角三角形”的定义进行判断即可； （2）分两种情况求出最小的角即可； （3）设，则另外两个角为，，根据为最小的角得出，求出，即可得出答案； （4），用表示出，，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：等腰三角形、直角三角形中不一定有一个角是另外一个角的2倍，等边三角形的三个内角都相等，一定不存在一个角是另外一个角的2倍，因此等腰三角形、直角三角形不一定是“二倍角三角形”，等边三角形一定不是“二倍角三角形”； ∵等腰直角三角形的三个内角度数分别为，，， ∴等腰直角三角形中一定存在一个角是另外一个角的2倍，一定是“二倍角三角形”． 故答案为：④． （2）解：当为二倍角中较大的那个角，则较小的那个角为，第三个角为， ∴此时最小的角为； 当和为二倍关系的两个角时，较小的那个角为，较大的角为， ∴此时最小的角为； 综上分析可知，这个三角形中最小的角为或． 故答案为：或40． （3）解：设，则另外两个角为，，根据题意得： ， 解得：， ∴的最大值为． （4）解：设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∵为二倍角三角形， ∴有以下6种情况： ①当时，则： ，解得：， ∴； ②当时，则： ，解得：， ∴； ③当时，则： ，解得：， ∴； ④当时，则： ，此方程无解； ⑤当时，则： ，解得：， ∴ ⑥当时，则： ，解得：， ∴； 综上分析可知：或或或或时，为二倍角三角形． 故答案为：或或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的有关计算，不等式的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，注意分类讨论． 11．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． 12．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 【答案】(1)4，； (2)； (3)2或； (4)或． 【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，． （2）∵， ∴x的取值范围是．   故答案为：． （3）∵， ∴． 解得： ∵是整数．   ∴或．   故答案为：2或． （4）∵，其中， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，2． 当时，，； 当时，，； ∴或． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 【答案】18 【分析】根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，分析求得，根据小旭年龄超过12岁，判断符合题意，从而可以计算求解． 【详解】解：根据题意可得原两位数为， 将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为， 故小旭年龄为， ∵年龄为整数， 故为4的倍数， 即或或或， 即或或或， 又∵十位上的数字为， ∴， ∴， ∵小旭年龄超过12岁， 即， 解得：， 与不矛盾， 当时，小旭年龄为（岁）， 故小旭年龄为岁． 【点睛】本题考查了列代数式，解一元一次不等式等，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 14．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 【答案】(1)6 (2)19 (3)该车最多停放了165分钟 (4)①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】（1）根据表格中的信息进行解答即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得出答案； （4）分5种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时，分别求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵连续停放6小时封顶， ∴夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费：（元）； 故答案为：6． （2）解：， 白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费： ． 故答案为：19． （3）解：小型车连续停放分钟需要缴费（元）， ， 设小型车连续停放时间为a分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：该车最多停放了165分钟． （4）解：∵， ∴大型车在夜间停车超过小时， ∴大型车夜间收费为（元）， ①当时，大型车停车费用为元， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ②当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ③当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ④当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ⑤当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴． 综上分析可知，①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， ． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 15．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 【答案】(1)①17；② (2) (3) 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②依据新定义的方法判断即可； （2）设百位数字为m，则个位数字为，根据题意列出不等式求解即可； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b，根据新定义列式计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：17； ②， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴是“映文数”． 故答案为：； （2）设百位数字为m，则个位数字为， ∴数M为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b， ∵“映文数”M， ∴， ∴ ∵M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数， ∴， ∴， ∴， ∴，解得； ∴， ∵为7的整数倍， ∴当时，无满足题意的n的值； 当时，n取4，， ∴； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； ∴． 【点睛】题目主要考查新定义的数字规律问题及整式的加减运算，理解题意是解题关键． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的二元一次方程 （1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2）-17 【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案； （2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案． 【详解】解：（1）解方程组得， ∵， ∴, 解得； （2）由①+②得2x+y=-3， ∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9， ∴=-9-8=-17． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键． 17．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”． （1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”． （2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值． 【答案】（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为 【分析】（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”； （2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围为即可求解． 【详解】解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝， 由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3， ∴x﹣y＝， ∴﹣1≤x﹣y≤1， ∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”； （2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1， 由，解得， ∵两个方程是“友好方程”， ∴﹣1≤x﹣y≤1， ∴﹣1≤≤1， ∴ ∴k的最小值为﹣，最大值为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知（a≠0）是关于x，y的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含a的代数式表示）； （2）若x﹣2y＞0，求a的取值范围； （3）若x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）a＜﹣；（3）﹣≤a≤且a≠0． 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将（1）的结果代入x﹣2y＞0，解一元一次不等式即可； （3）分类讨论，分和两种情况讨论，列一元一次不等式组即可解决问题． 【详解】解：（1）， ①+②得：3x+3y＝6， ∴x+y＝2③， ①﹣③得：x＝1﹣2a， ②﹣③得：y＝1+2a， ∴方程组的解为； （2）∵x﹣2y＞0， ∴1﹣2a﹣2（1+2a）＞0， ∴1﹣2a﹣2﹣4a＞0， ∴﹣6a＞1， ∴a＜﹣； （3）①当a＞0时，x＝1﹣2a＜1，y＝1+2a＞1， ∴， ∴0＜a≤； ②当a＜0时，x＝1﹣2a＞1，y＝1+2a＜1， ∴， ∴﹣＜a＜0； 综上，﹣≤a≤且a≠0． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式（组）的应用，正确的计算是解题的关键． 19．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如： ，； ，． 解决下列问题： （1）填空：______； （2）若，求的取值范围； （3）①若，那么______； ②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）； ③运用②解决问题：若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①1，②，③ 【分析】（1）先求出这些数的值，再根据运算规则即可得出答案； （2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案； （3）根据题中规定的表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，列出方程组即可求解． 【详解】（1）， ， 故答案为：-4； （2）由题意得： ， 解得：， 则x的取值范围是：； （3）， ， ， ； 若，则； 根据得： ， 解得：， 则， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，根据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力． 20．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 21．（22-23七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)4 (2)同意，AB=4 (3)或 【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论； （2）用a表示出点B的坐标，可得结论； （3）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2）， ∴AB=2-（-2）=4， 故答案为：4； （2）小智同学的观点正确． 理由：∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∴B（a，2a-4）， ∵A（a，2a）， ∴AB=2a-（2a-4）=4， ∴AB的长是定值； （3）如图， 观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2 ∵a=3-2b， ∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2. 解得或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题． 22．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)___________． (2)请回答下列问题： ①如果，求x． ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填a，b，c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：若，则___________． 【答案】(1)； (2)①；②；③ 【分析】（1）找到三个中的最小的数即可求解； （2）①，若，则是中最小的一个，即：，据此即可求得x的值； ②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出； ③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∵， ∴是中最小的一个， ∴，解得：， ∴； ②证明：由，不妨令，即； 又∵， 解之得：，； 把代入可得； 把代入可得； ∴； 将代入得； ∴， 故答案为：； ③由②可得， 解之得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理解新定义“”与“”的意义是解题的关键． 23．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图1，点A的坐标为，将点A向右平移b个单位得到点B，其中关于x的一元一次不等式的解集为，过点B作轴于C． （1）求B点坐标及； （2）如图2，点Q自O点以1个单位/秒的速度在y轴向上运动，点P自C点以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，设运动的时间为t秒，是否存在一段时间，使得？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，求． 【答案】（1）（4，2），8；（2）存在，；（3）4 【分析】（1）先求出一元一次不等式的解集，推出点的值，由平移规律即可写出点的坐标，由题意可知四边形为矩形，可直接求出其面积； （2）分别用含的代数式表示出和的面积，解不等式即可； （3）在（2）的条件下，通过可直接求出的值． 【详解】解：（1）解不等式， 得，， ， ， ， ， ， ，， 由题意知，四边形为矩形， ； （2）存在一段时间使， 由题意知，， ，， 当时， ， 解得，， 时，； （3） 的值为4． 【点睛】本题考查了平移的规律，一元一次不等式的解集，用含字母的代数式表示几何图形的面积等，解题关键是能够熟练运用字母表示几何图形的面积． 24．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某商场有A、B两种商品，每件的进价分别为15元、35元.商场销售5件A商品和2件B商品，可获得利润45元;销售8件A商品和4件B商品，可获得利润80元. (1)求A、B两种商品的销售单价; (2)如果该商场计划购进A、B两种商品共80件，用于进货资金最多投入2 000元，但又要确保获利至少590元，请问有那几种进货方案? 【答案】（1）A、B两种商品的销售单价分别为20，45. （2）第一种方案：A种商品进40件，B种商品进40件 第二种方案：A种商品进41件，B种商品进39件 第三种方案：A种商品进42件，B种商品进38件 【分析】（1）设A、B两种商品的销售单价分别为x,y;再根据题意列二元一次方程组即可. （2）设A种商品进了m件，则可得B种商品进了80-m件.根据题意列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）设A、B两种商品的销售单价分别为x,y; 根据题意可得： 解得 所以A、B两种商品的销售单价分别为20，45. （2）A种商品进了m件，则可得B种商品进了80-m件. 根据题意可得： 解得： 所以可得 因此可得当m=40时，A种商品进40件，B种商品进40件 当m=41时，A种商品进41件，B种商品进39件 当m=42时，A种商品进42件，B种商品进38件 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的应用问题，关键在于根据题意列出方程. 25．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知实数x、y满足2x+3y=1． (1)用含有x的代数式表示y； (2)若实数y满足y＞1，求x的取值范围； (3)若实数x、y满足x＞﹣1，y≥﹣，且2x﹣3y=k，求k的取值范围． 【答案】（1）y=；（2）x＜﹣1；（3）﹣5＜k≤4． 【分析】（1）解关于y的一元一次方程即可； （2）根据y＞1，将（1）中的式子列成不等式即可； （3）先解关于x、y的方程组，再根据x＞﹣1，y≥﹣，列不等式组即可. 【详解】解：（1）2x+3y=1， 3y=1﹣2x， y=； （2）y=＞1， 解得：x＜﹣1， 即若实数y满足y＞1，x的取值范围是x＜﹣1； （3）联立2x+3y=1和2x﹣3y=k得：， 解方程组得：， 由题意得：， 解得：﹣5＜k≤4． 【点睛】本题目是一道方程、方程组、不等式、不等式组的综合运用.第（3）问有难度，先解关于x、y的方程组，再根据x＞﹣1，y≥﹣，列不等式组即可. 26．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b． 【分析】（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值； ②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围； （2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ； 【详解】 （1）①由题意可得 ，解得； ②由题意得，解得 ，因为原不等式组有2个整数解，所以， 所以 ； （2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ， 所以ax+2by-1= ay+2bx-1, 所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0, 所以a=2b 27．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求，的值； （2）求． （3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； （2）利用题中的新定义将，代入计算即可； （3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出的范围，再解不等式组即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）由（1）得： ∴； （3）根据题意得：， 由①得：；由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有4个整数解，即，1，2，3， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键． 28．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：． （1）已知． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围； （2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式． 学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 【答案】（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n 【分析】（1）①构建方程组即可解决问题； ②根据不等式即可解决问题； （2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题． 【详解】解：（1）①由题意得， 解得， ②由题意得， 解不等式①得p＞-1． 解不等式②得p≤， ∴-1＜p≤， ∵恰好有3个整数解， ∴2≤＜3． ∴42≤a＜54； （2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x）， ∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2， ∵对任意有理数x，y都成立， ∴m=2n． 【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 29．（22-23七年级下·江苏南通·期末）某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表： 甲型 乙型 价格(万元/台) x y 处理污水量(吨/月) 300 260 经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元． （1）求x，y的值； （2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案； （3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）；（2）该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备；（3）最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备． 【分析】（1）由一台A型设备的价格是x万元，一台乙型设备的价格是y万元，根据题意得等量关系：购买一台甲型设备-购买一台乙型设备=2万元，购买4台乙型设备-购买3台甲型设备=2万元，根据等量关系，列出方程组，再解即可； （2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由题意得不等关系：购买甲型设备的花费+购买乙型设备的花费≤91万元，根据不等关系列出不等式，再解即可； （3）由题意可得：甲型设备处理污水量+乙型设备处理污水量≥2750吨，根据不等关系，列出不等式，再解即可． 【详解】（1）依题意，得：， 解得：． （2）设该治污公司购进m台甲型设备，则购进(10﹣m)台乙型设备， 依题意，得：10m+8(10﹣m)≤91， 解得：m≤5． 又∵m为非零整数， ∴m=0，1，2，3，4，5， ∴该公司有6种购买方案， 方案1：购买10台乙型设备； 方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备； 方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备； 方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备； 方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备； 方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备． （3）依题意，得：300m+260(10﹣m)≥2750， 解得：m≥3，∴m=4，5． 当m=4时，总费用为10×4+8×6=88(万元)； 当m=5时，总费用为10×5+8×5=90(万元)． ∵88＜90， ∴最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程（组）和不等式． 30．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知关于 x 、 y 的方程组 （1）求该方程组的解（用含 a 的代数式表示）； （2）若方程组的解满足 x＜0 ， y＞0 ，求 a 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据题意列出关于a的不等式组，解之可得． 【详解】解：（1）， ②-①，得：x=2a+1， 将x=2a+1代入①，得：2a+1y=a1， 解得y=a+2， 所以方程组的解为； （2）根据题意知 ， 解不等式2a+1＜0，得a＞， 解不等式a+2＞0，得a＜2， 解得：＜a＜2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$