专题05 一元一次不等式（考题猜想，易错压轴必刷84题21种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

专题05 一元一次不等式（易错压轴必刷84题21种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义与解集 · 题型二 不等式的基本性质 · 题型三 一元一次不等式的相关概念 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 一元一次不等式的整数解 · 题型六 一元一次不等式的最值 · 题型七 一元一次不等式组的相关概念 · 题型八 一元一次不等式组的解集 · 题型九 解特殊不等式组 · 题型十 求一元一次不等式组的整数解 · 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 · 题型十二 不等式组和方程组相结合的问题 · 题型十三 列一元一次不等式组 · 题型十四 不等式组的实际问题 · 题型十五 用一元一次不等式解决实际问题 · 题型十六 用一元一次不等式解决几何问题 · 题型十七 一元一次不等式压轴题 · 题型十八 一元一次不等式组含参问题压轴 · 题型十九 一元一次不等式组的实际应用压轴 · 题型二十 一元一次不等式的新定义压轴 · 题型二十一 不等式组与方程组结合压轴 题型一 不等式的定义与解集 1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 3．已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 4．求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 题型二 不等式的基本性质 5．下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 6．已知实数a，b满足，，则在下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质.求出，，代入即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 整理得：，， 只有B符合题意， 故选：B. 7．已知关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，将和分别进行讨论，看是否与解集一样，再进行解题即可．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意； 故， 即． 故答案为：． 8．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 【详解】（1）证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； （2）证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 题型三 一元一次不等式的相关概念 9．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一元一次不等式，故该选项符合题意； B、不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C、是一元一次方程，属于等式，故该选项不符合题意； D、是二元一次不等式，故该选项不符合题意， 故选A． 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 11．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B． 12．若是关于的一元一次不等式．则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键． 题型四 一元一次不等式的解集 13．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴； （2） ， ， ， ∴． 14．解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 15．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； （2）去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：    （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：      题型五 一元一次不等式的整数解 17．已知关于的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质． 先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解． 【详解】解：解不等式得到：， 正整数解为，，， ， 解得． 故选：C． 18．关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键． 由不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 19．关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先解不等式即，然后根据条件即可确定的取值范围，即可作答．本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有且只有三个负整数解， 则其负整数解为， ∴的取值范围为： ∴ 故答案为：． 20．解不等式，并写出其负整数解． 【答案】，不等式的负整数解为 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后求出其负整数解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的负整数解为． 题型六 一元一次不等式的最值 21．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 22．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 23．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 【答案】(1)； (2)-2 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序依次计算； （2）根据题意列出一元一次不等式，先求出不等式的解，再进一步得到最大的数. 【详解】（1）解： （2）解：设污染了的实数为x，则有 解之得， 所以被污染的实数最大是-2． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，能够根据题意列出不等式是解决问题的关键. 24．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 题型七 一元一次不等式组的相关概念 25．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 26．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不符合题意； C、含有两个未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 27．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 28．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 题型八 一元一次不等式组的解集 29．（1）解不等式组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． （1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 30．解不等式组：，并求其整数解． 【答案】，整数解为，， 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集是． 该不等式组的整数解为，，． 31．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解：， ∴所有整数解的和为：． 32．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组的解集是解答的关键． （Ⅰ）根据不等式的性质解不等式①即可； （Ⅱ）根据不等式的性质解不等式②即可； （Ⅲ）将（Ⅰ）和（Ⅱ）表示在数轴上即可，注意端点为实心点； （Ⅳ）根据数轴可得不等式组的解集． 【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示： （Ⅳ）由数轴得，原不等式组的解集为． 题型九 解特殊不等式组 33．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 34．解不等式； 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 35．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 36．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 37．若，则不等式组的整数解的和为 ． 【答案】36 【分析】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解题的关键是求出不等式组的解集，难度适中． 根据新定义列出不等式组，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：根据， 将不等式组整理得， 解得：， 所以整数，2，3，4，5，6，7，8，其和为， 故答案为：36． 38．不等式组的所有非负整数解的和是（   ） A．3 B．7 C．6 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解求和即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3， ∴所有非负整数解的和是． 故选：C． 39．不等式组的整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是2． 故答案为：2． 40．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的解集即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为． 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 41．若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由不等式组解集情况求参数，解不等式①得，解不等式②得，由不等式组解集的判断方法得，即可求解；能熟练利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得， ， 原不等式组无解， ， 解得：， 故选：A． 42．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，结合三个整数解直接求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解共有个， ∴ 故选：B． 43．已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．首先解不等式组得到，再根据不等式组至少有2个整数解即可解答． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组至少有2个整数解， ， ， 故选：B． 44．已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有三个正整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组只有三个正整数解， ， 解得， 故答案为：． 题型十二 不等式组和方程组相结合的问题 45．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 46．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 47．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 48．关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 题型十三 列一元一次不等式组 49．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 50．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 51．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 52．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 题型十四 不等式组的实际问题 53．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 54．某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 55．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 (2)有3种购买方案，分别为：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解，即可得出符合题意的方案． 【详解】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得： ， 解得， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； （2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得： 解得：， 取正整数为20，21，22． 故有3种购买方案，分别为： 购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个； 购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 56．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 题型十五 用一元一次不等式解决实际问题 57．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 【答案】(1)每个种哪吒纪念挂件的进货是6元 (2)至少购买种挂件个 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解． （1）设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元，根据题意可列式，求解即可． （2）设购买种挂件个，则购买种挂件个，根据题意可列不等式，解得，再取其中的最小整数值，即可求解． 【详解】（1）解：设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元． 由题意可得：， 解得：， ， 即每个种哪吒纪念挂件的进货是元，每个种哪吒纪念挂件的进货是元， 答：每个种哪吒纪念挂件的进货是元． （2）解：设购买种挂件个，则购买种挂件个． 由题意可得：， 解得：， 取整数， 最小为， 答：至少购买种挂件个． 58．高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元 (2)最多购买29个篮球 【分析】此题考查了二元一次方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和一元一次不等式是关键． （1）设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元．购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元．据此列出方程组即可； （2）设购买a个篮球，根据总费用少于5200元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元． 根据题意得：     解方程组得： 答：购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元． （2）解：设购买a个篮球， 根据题意得： 解不等式得： ∵a为整数， ∴a的最大值为29 答：最多购买29个篮球 59．中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 【答案】(1)可以编吉祥结2个，如意结6个 (2)最多可以编3个吉祥结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设可以编吉祥结x个，如意结y个，结合编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳，且小华现在共有12段红绳，14段金绳，进行列方程组，即可作答． （2）因为红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，则可以编a个吉祥结，则可以编如意结个，再列出不等式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设可以编吉祥结x个，如意结y个， 根据题意，得， 解得， （2）解：设可以编a个吉祥结，则可以编如意结个， ∴， 解得， ∴的最大值为3， 答：最多可以编3个吉祥结． 60．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 【答案】最多可购买种植施肥机械类农机台 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设最多可购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台，根据全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，再建立不等式求解即可． 【详解】解：设购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台， ， 解得：． ∴最多可购买种植施肥机械类农机台 题型十六 用一元一次不等式解决几何问题 61．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 62．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 63．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【答案】A 【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧， ， 即， 解得， 为正整数， ∴的最小值为， 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键． 64．【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）；2 （2）2米 （3） 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据长方形的面积列出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）设小路宽为，根据题意列出关于x的一元一次不等式求解即可． （3）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可． 【详解】解：（1）根据题意可列方程为 解得：， 故答案为：，2 （2）设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽不能超过2米； （3）则花坛的总面积为： ， 故答案为： 题型十七 一元一次不等式压轴题 65．阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“子方程”判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“子方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 不在范围内， 不是不等式组的“子方程”； （2）解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得． 66．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，不等式的性质，熟练将所求的式子用一个字母表示是解题的关键． （1）根据可得，可用表示，再将其代入所求式子即可； （2）根据题意得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， 得，即， 把代入①，可得， 可得， ； （2）解：，解得：， ，解得：， ， 则， ，即． 67．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 68．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 题型十八 一元一次不等式组含参问题压轴 69．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 70．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或， 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式，二元一次方程组； （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可求解． （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果； 【详解】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2） ①+②得， ∴ ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为正整数， ∴或 （3）解： 得， ∴ ∴ ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴， ∴或， 71．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一） (2)， (3)或 【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）； （2）∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵ ∴， ∵当时，， 当增大时，先减小到0，然后再增大， ∴当时，方程取得最小“关联值”， ∴联立，解得 ∴方程的最小“关联值”为； 当关联值为时，即， ∴， ∴ ∴①当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ②当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ③当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ④当，时，即，时， ∴，解得， ∴； 综上所述，当或时，关联值为． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． 72．对于不等式且当时，当时， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)解关于x的不等式： (2)解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可； （2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）∵， ∴ 移项合并得：； 当，即时，解得：（可以取遍所有正整数，不合题意）； 当，即时，化简得（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）； 当，即时，解得：， ∵解集中无正整数解， ∴， 去分母得：，（，不等号改变方向） 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与不等式的性质是解题的关键． 题型十九 一元一次不等式组的实际应用压轴 73．某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【答案】(1)①方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒；②方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒 (2) 【分析】本题考查了不等式的实际应用； （1）①方阵A所有人员队列长度加上即为撤离行驶的路程，再除以撤离速度即可； ②先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间． （2）先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间，即为礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【详解】（1）解：①因为撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒，考虑方阵A（同理方阵D）师生的撤离，该方阵最后一个人到达安全出口1即为完全撤离，所用时间为： （秒） 答：方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒； ②需判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米 因为，所以方阵的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一人离开A号门还没有0.75米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门0.75米，队伍再继续行进，这时方阵B所有人员完全撤离所用时间为： （秒） 答：方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒； （2）解：设礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处所用时间为秒，因为每个方阵有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米秒，先考虑方阵A师生的撤离，该方阵最后一个人达到安全出口1即为完全撤离，所用时间为； 方阵B最后一个人达到安全出口1所用时间为， 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，分两种情况： 情况一： 当方阵B的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人不影响方阵B师生的撤离，这种情形出现的条件是，这时两个方阵的人员完全撤离所用时间为： ； 情况二： 当方阵B的第一个人行进至A号门时，方阵A的最后一人离开A号门还没有米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门米时，队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个方阵内的人员完全撤离所用时间为： ， 综上，． 74．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 75．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 76．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； (2)①至少要租用辆甲型客车；②共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，根据题意列出不等即可求解；②由题意可得，解得，进而结合①可得的取值范围为，据此即可得出所有可能的租车方案，再求出每一种方案的租车费用即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴至少要租用辆甲型客车； ②由题意得，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴或4或5， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 题型二十 一元一次不等式的新定义压轴 77．定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 78．【新定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】 方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 (1)方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的“关联方程”，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． （1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解； （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解； （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到m的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到mm的范围，两者取公共部分，即可求解， 【详解】（1）解：方程是不等式组的“关联方程”． 理由：由方程， 解得： 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵在的范围内 ∴方程是不等式组的“关联方程”． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 由方程， 解得：． ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得： （3）解：由关于的方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ∴． ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， ∴的取值范围：． 79．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． （1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，不满足，故舍去； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 80．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 题型二十一 不等式组与方程组结合压轴 81．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断． 【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数， ∴当时， ∴①不正确； ②、若，则x的取值范围是，故②是正确的； ③、当时，[， 当时，， 当时，，综上③是正确的； ④、∵， ∴， 解得：． ∵ ∴， 解得： ∴x的取值范围为 故④是错误的． 故正确的是：②③，共两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键． 82．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 83．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解． 【详解】解： ①＋②得， 将代入①，得 ，是正整数， ， 解得， 解不等式③得： 解不等式④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 当时，，不合题意，故舍去 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 84．综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2)或 (3)m的值为0或1或2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【详解】（1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． $$ 专题05 一元一次不等式（易错压轴必刷84题21种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的定义与解集 · 题型二 不等式的基本性质 · 题型三 一元一次不等式的相关概念 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 一元一次不等式的整数解 · 题型六 一元一次不等式的最值 · 题型七 一元一次不等式组的相关概念 · 题型八 一元一次不等式组的解集 · 题型九 解特殊不等式组 · 题型十 求一元一次不等式组的整数解 · 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 · 题型十二 不等式组和方程组相结合的问题 · 题型十三 列一元一次不等式组 · 题型十四 不等式组的实际问题 · 题型十五 用一元一次不等式解决实际问题 · 题型十六 用一元一次不等式解决几何问题 · 题型十七 一元一次不等式压轴题 · 题型十八 一元一次不等式组含参问题压轴 · 题型十九 一元一次不等式组的实际应用压轴 · 题型二十 一元一次不等式的新定义压轴 · 题型二十一 不等式组与方程组结合压轴 题型一 不等式的定义与解集 1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 3．已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 4．求证：当时，一定比小． 题型二 不等式的基本性质 5．下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知实数a，b满足，，则在下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 8．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)尝试证明：若，则． 题型三 一元一次不等式的相关概念 9．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 11．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 12．若是关于的一元一次不等式．则的值为（    ） A． B． C． D．或 题型四 一元一次不等式的解集 13．解下列不等式： (1)； (2)． 14．解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 15．解不等式： (1)； (2)． 16．解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 题型五 一元一次不等式的整数解 17．已知关于的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．关于的不等式有且只有三个负整数解，则的取值范围为 ． 20．解不等式，并写出其负整数解． 题型六 一元一次不等式的最值 21．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 22．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 23．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 24．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 题型七 一元一次不等式组的相关概念 25．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 27．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 28．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型八 一元一次不等式组的解集 29．（1）解不等式组： （2）解不等式组： 30．解不等式组：，并求其整数解． 31．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 32．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 题型九 解特殊不等式组 33．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 34．解不等式； 35．解不等式． 36．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 37．若，则不等式组的整数解的和为 ． 38．不等式组的所有非负整数解的和是（   ） A．3 B．7 C．6 D．0 39．不等式组的整数解是 ． 40．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解． 题型十一 由不等式组解集的情况求参数 41．若不等式组无解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 42．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．已知关于的不等式组只有三个正整数解，则k的取值范围是 ． 题型十二 不等式组和方程组相结合的问题 45．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 46．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 47．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 48．关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 题型十三 列一元一次不等式组 49．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 50．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 51．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 52．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 题型十四 不等式组的实际问题 53．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 54．某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 55．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 56．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 题型十五 用一元一次不等式解决实际问题 57．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到亿（含预售），某商家推出两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要元． (1)求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ (2)若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共个，那么至少购买种挂件多少个？ 58．高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 59．中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 60．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 题型十六 用一元一次不等式解决几何问题 61．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 62．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 63．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 64．【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 题型十七 一元一次不等式压轴题 65．阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： (1)判断方程是不是不等式组的“子方程”． (2)若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 66．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 67．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 68．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 题型十八 一元一次不等式组含参问题压轴 69．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 70．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 71．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 72．对于不等式且当时，当时， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)解关于x的不等式： (2)解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围 题型十九 一元一次不等式组的实际应用压轴 73．某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 74．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 75．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 76．某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 题型二十 一元一次不等式的新定义压轴 77．定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 78．【新定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． 【举例】 方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． 【问题】 (1)方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 79．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如：的“换参方程”为或． (1)方程与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“换参方程”，求的值． 80．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 题型二十一 不等式组与方程组结合压轴 81．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 82．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 83．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 84．综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$