第11章 培优专题 一元一次不等式组的9种易考题型(知识盘点+9题型+2易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

第11章 培优专题 一元一次不等式组的9种易考题型 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，例如 注意 理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点:(1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式;(2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个(3)不等式组里的不等式至少要有两个。 （2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 不等式组的解集 1.不等式组的解集的概念 一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫作由它们所组成的不等式组的解集。 2. 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上的表示 (图示) 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大单间找 无解 大大小小无解了 【提示】对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号,界点画实心圆点;无等号,界点画空心圆圈。 （2024秋•柯桥区期末）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤第一步:分别求出不等式组中各个不等式的解集第二步:在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集,这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集第三步:写出不等式组的解集。 注意 用数轴表示不等式组的解集时,要时刻牢记:大于向右画,小于向左画,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈. 方法技巧 确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法:运用数轴法确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集·如果没有公共部分,则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想,既直观又明了。 (2)口诀法:求不等式组的解集时,可记住以下规律:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了. （2024春•荣昌区校级月考）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤:审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组一检验→答。 注意 列不等式组解决实际问题时,求出不等式组的解集后,要结合问题的实际背景,在解集中找出符合题意的答案 （2024春•新县期末）某大型企业为了保护环境，准备购、两种型号的污水处理设备共10台，一台型设备的单价为12万，一台型设备的单价为10万元．经了解，一台型设备每月可处理污水220吨，一台型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 题型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 2．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 3．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 4．已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 5．若m是整数,且关于x,y的方程组的解满足x≥0,y<0,试确定m的值. 题型二、列一元一次不等式组 6．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 7．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 8．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 9．已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 10．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 题型三、一元一次不等式组的其他应用 11．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 13．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 14．现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 15．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 题型四、由一元一次不等式组的解集求参数 16．若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 17．若关于的不等式组的解集为，则 ． 18．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 19．解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 20．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 题型五、求不等式组的解集 21．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 23．解不等式组，并写出所有整数解． 24．关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ． 25．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 题型六、绝对值、含参不等式 26．已知，则的取值范围是 ． 27．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 28．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 29．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 30．我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 题型七、求一元一次不等式组的整数解 31．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 32．解不等式组，并求出整数解的和． 33．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 34．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 35．（1）解方程组： （2）解不等式组：，并写出它的正整数解． 题型八、由不等式组解集的情况求参数 36．如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 40．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 题型九、不等式组和方程组结合的问题 41．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 42．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 43．若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 44．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 45．已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【例1】解不等式组． 【例2】不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 1．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 2．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 3．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 4．如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 5．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 6．已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 7．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 8．已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 9．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 培优专题 一元一次不等式组的9种易考题型 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，例如 注意 理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点:(1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式;(2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个(3)不等式组里的不等式至少要有两个。 （2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【解答】解：是一元一次不等式组． 故选：． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解本题的关键． 不等式组的解集 1.不等式组的解集的概念 一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫作由它们所组成的不等式组的解集。 2. 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上的表示 (图示) 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大单间找 无解 大大小小无解了 【提示】对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号,界点画实心圆点;无等号,界点画空心圆圈。 （2024秋•柯桥区期末）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式组， 整理得：， 解得：， 解集表示在数轴上，如图所示： ． 故选：． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤第一步:分别求出不等式组中各个不等式的解集第二步:在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集,这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集第三步:写出不等式组的解集。 注意 用数轴表示不等式组的解集时,要时刻牢记:大于向右画,小于向左画,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈. 方法技巧 确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法:运用数轴法确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集·如果没有公共部分,则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想,既直观又明了。 (2)口诀法:求不等式组的解集时,可记住以下规律:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了. （2024春•荣昌区校级月考）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），数轴表示见解析； （2），数轴表示见解析． 【分析】（1）先求不等式组的解集，再表示在数轴上； （2）先求不等式组的解集，再表示在数轴上． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【点评】本题考查解一元一次不等式组和利用数轴表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤:审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组一检验→答。 注意 列不等式组解决实际问题时,求出不等式组的解集后,要结合问题的实际背景,在解集中找出符合题意的答案 （2024春•新县期末）某大型企业为了保护环境，准备购、两种型号的污水处理设备共10台，一台型设备的单价为12万，一台型设备的单价为10万元．经了解，一台型设备每月可处理污水220吨，一台型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业投入106万购买这两种设备不可行．理由见解答部分． 【分析】设购买型污水处理设备台，利用“该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨”列出不等式组，并解答即可． 【解答】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， 根据题意，得． 解得且， 故该不等式组无解． 所以该企业投入106万购买这两种设备不可行． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出正确数量关系是解题关键． 题型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 2．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）利用已知的新定义化简，比较即可； （3）已知等式利用题中的新定义化简，求出a的值即可． 【详解】解：（1）； ； （2）设， 则，， ∴； （3）当时， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：； 当， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及乘方的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 4．已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 【答案】﹣1＜k＜﹣ 【分析】解方程组，令①+②得x﹣y=2k+2，再由题意得∴0＜2k+2＜1，再解出这个不等式组即可. 【详解】解方程组， ①+②，得：3x﹣3y=6k+6， 两边都除以3，得：x﹣y=2k+2， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜2k+2＜1， 解得：﹣1＜k＜﹣． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解法，根据题目发现其特点列出不等式是解题的关键. 5．若m是整数,且关于x,y的方程组的解满足x≥0,y<0,试确定m的值. 【答案】m=-1,0,1,2,3 【分析】】把m当作已知数，解方程组求出方程组的解（x、y的值）根据已知得出不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】， ①+②，得2x=2m+3， 解得x=， 把x=代入②， 解得y=， ∵x≥0，y<0， ∴≥0，即m≥-，<0，即m<， ∴解集为-≤m<， ∵m是整数， ∴m=-1,0,1,2,3. 【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，关键是根据题意求出关于m的不等式组． 题型二、列一元一次不等式组 6．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 7．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 8．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 9．已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)． (2)存在，使成立． (3)时，不等式的解集为． 【分析】（1）解关于和的二元一次方程，根据题意可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到的取值范围． （2）根据的取值范围取值范围，可将化简，得到关于关于的一元一次方程，求解即可得到答案． （3）将不等式移项并合并同类项，根据题目要求，可知，解不等式，即可得到的取值范围，取符合条件的整数即可． 【详解】（1）解关于和的二元一次方程 解得 由于为非正数，为负数，得不等式组 解得 ． （2）， ，． ，． 化简，得 ， 解得 ． 经检验，满足． 所以，存在，使成立． （3）将移项并合并同类项，得 解集为， ． 解得 ． 又， 的解集为． 的整数值为． 时，不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法、绝对值的性质等，熟悉绝对值的性质，牢记二元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键 10．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔 【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当时，， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）解：若为自然数， 则有：，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为正整数）， ∴，解得， 又∵是3的倍数， ∴的取值为1或4． ∴的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 题型三、一元一次不等式组的其他应用 11．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 12．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 13．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 14．现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 【答案】方案一∶购买商品5件， 商品5件；方案二∶购买商品6件， 商品4件， 方案一费用最低． 【分析】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品件，根据关系式列出二元一次不等式组．求解再比较两种方案． 【详解】解∶设小静购买商品件，则购买商品件，由题意，得 解得 ∵取正整数， ∴或 ∴有两种购买方案∶ 方案一∶购买商品5件， 商品5件，购买费用为∶ (元)； 方案二∶购买商品6件， 商品4件，购买费用为∶ (元)． ，方案一费用低 答∶有两种购买方案，方案一费用最低． 15．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为500元 (2)该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设第一天，该经营户批发菠萝，苹果，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； （2）解：设购进菠萝，则购进苹果， 根据题意：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取94， ∴该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果． 题型四、由一元一次不等式组的解集求参数 16．若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有个整数解即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 17．若关于的不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 首先求出含有和的不等式组解集，再根据不等式组的解集为，求出和的值，即可得解． 【详解】解：解关于的不等式组得， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：． 18．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 19．解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 20．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五、求不等式组的解集 21．若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组有解， ，即， 故选：C． 22．（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并求它的非正整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可； （2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可． 【详解】解：（1） 不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得 该不等式组得解集为， 非正整数解为，0． 23．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 24．关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 25．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 题型六、绝对值、含参不等式 26．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 27．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 28．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 29．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 30．我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 题型七、求一元一次不等式组的整数解 31．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 32．解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【分析】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是关键； 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间大大小小是无解”求出不等式组的解，进而即可得到答案 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 此不等式组的解集为． ∵整数解 ∴，2，3 那么整数解的和为： 33．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 34．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)1，2，3； 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； 【详解】（1）解：，若，则的核心范围是 故答案为：，． （2）解：因为，所以． 因为有且只有三个正整数解， 所以整数解应为1，2，3． 所以 35．（1）解方程组： （2）解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】（1）；（2），正整数解为1、2、3 【分析】本题考查解二元一次方程组与解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法是解题的关键， （1）将方程组中的，得到新的方程组，再利用加减消元法解即可求得答案； （2）分别解不等式①和不等式②，取解集的公共部分，求得不等式组的解集为，从而得到它的正整数解为1、2、3． 【详解】（1）解： 得，③， 得，④， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴原二元一次方程组的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的正整数解为1、2、3． 题型八、由不等式组解集的情况求参数 36．如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】解：不等式组化为， 解集是， ， 解得：， 故选：D． 37．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 38．已知关于x的不等式组解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解答本题的关键． 先解不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集的情况，再结合不等式组的解集规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选C． 39．已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 40．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 题型九、不等式组和方程组结合的问题 41．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 42．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． (1)求a的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． 43．若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 44．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 45．已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 【例1】解不等式组． 【答案】． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【例2】不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 1．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 2．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 3．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 4．如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与不等式，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∵为整数， ∴； 故答案为：4． 5．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，，，， 【分析】本题考查求一元一次不等式组的所有整数解，解题的关键在于掌握解一元一次不等式组的方法与步骤．先分别解一元一次不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，进而求解其所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解①得：，， 解②得： ， 一元一次不等式组是解集为：， 它的所有整数解为，，，，． 6．已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 7．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．先分别求解两个不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因为该不等式组的解集是， 所以， 所以． 8．已知关于的不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集是． 不等式组只有两个整数解，是0和1． 根据题意，得， 解得． 9．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 【答案】(1) (2)购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台 【分析】本题主要考查了购买方案问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，是解决问题的关键． （1）根据表中数据，结合“一台甲型设备比一台乙型设备多2万元， 2台甲型设备比3台乙型设备少6万元”列二元 一次方程组解答； （2）根据“资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨”列一元一次不等式组解答． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， 故x、y的值分别是12和10； （2）设买甲型设备a台，买乙型设备台， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵a为整数， ∴或， ∴或． 故该公司应该购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$