第11章 培优专题 一元一次不等式(知识盘点+13题型+2易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

第11章 培优专题 一元一次不等式 不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 总结： 本题考查的是不等式的解的概念,只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解,反之,则不是这个不等式的解. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)－2x≥3 (2)－4x+12＜0 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 不等式的性质 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）已知，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知实数、，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 求一元一次不等式的解集 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解方程组、解不等式并在数轴上画出解集． (1) (2) 6．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 求一元一次不等式的整数解 7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于的不等式只有4个正整数解，则的取值范围为 ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）不等式的正整数解为 ． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 在数轴上表示不等式的解集 10．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）（1）解方程组： （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 12．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为 ． 求不等式组的解集 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）（1）解方程组： (1) (2)解不等式组： 14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）利用数轴确定不等式组的解集． 15．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 求一元一次不等式组的整数解 16． （23-24七年级下·江苏淮安·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 17． （23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组：，并求出满足条件的整数解的和． 18．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 由一元一次不等式组的解集求参数 19．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列四个不等式组中，解为的不等式组有可能是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 21．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知不等式①与不等式②组成的不等式组的解集为，则不等式②可以是 ．（写出一个即可） 由不等式组解集的情况求参数 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知不等式和关于x 的不等式，若这两个不等式的公共解有且仅有3个整数解，则m 的取值范围为 24．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 不等式组和方程组结合的问题 25．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 27．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 一元一次不等式组的其他应用 28．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建A，B两类展位供当地的农产品展览和销售．1个A类展位的占地面积比1个B类展位的占地面积多4平方米；10个A类展位和5个B类展位的占地面积共283平方米．建A类展位每平方米的费用为120元，建B类展位每平方米的费用为100元． (1)求每个A，B类展位占地面积各为多少平方米？ (2)该村拟建A，B两类展位共40个，B类展位的数量小于A类展位数量的2倍，且建造这40个展位的总费用不超过77000元，求该村共有哪些建设方案？ 30．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）某校将若干间宿舍分配给七年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于30人，若每个房间住4人，则剩下6人没处住；若每个房间住7人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生． 列一元一次不等式 31．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）“数m不小于2”可以用式子表示为 ． 32．（22-23七年级下·江苏南京·期末）x的与x的差为正数，用不等式表示为 ． 33．（22-23七年级下·江苏南京·期末）用不等式表示“与的差是正数”： ． 用一元一次不等式解决实际问题 34．（22-23七年级下·江苏常州·期末）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共元，8副象棋和副围棋共元． (1)求象棋和围棋的单价； (2)考虑到第二年扩招，学校计划用不超过元的经费再次购买象棋和围棋共副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？ 35．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为 ．    36．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某天小明在家锻炼身体第一组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． (1)小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ (2)若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时秒，每个深蹲也耗时秒，小明想要通过分钟的锻炼，消耗至少大卡，至少要做多少个波比跳？ 用一元一次不等式解决几何问题 37．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    38．（21-22七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 39．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 解不等式： 【错误解答】 【纠错解答】 解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 左右两边同除以-2，得，． 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1．是最小的正整数，是最小的非负数，表示不小于且小于3的整数的个数，则 ． 2．已知是互不相等的正整数，它们的和等于159．若其中最小，则的最大值为 ． 3．不等式负整数解有多少个？ 4．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    5． 三峡之巅·诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72-1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进多少件？ 6．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 7．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 培优专题 一元一次不等式 不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 总结： 本题考查的是不等式的解的概念,只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解,反之,则不是这个不等式的解. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示：   ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的性质． 解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)－2x≥3 (2)－4x+12＜0 【答案】 (1)x≤－  (2)x＞3 【详解】整体分析： 根据不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向求解. 解：(1)－2x≥3 两边同时除以-2得，x≤－； 不等式的解集在数轴上表示为： (2)－4x+12＜0 两边同时减去12得，-4x＜-12， 两边同时除以-4得，x＞3. 不等式的解集在数轴上表示为： 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 不等式的性质 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）已知，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，原不等式错误，不符合题意； B、，原不等式错误，不符合题意； C、，原不等式正确，符合题意； D、当时，，原不等式错误，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算、不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解． 【详解】解： ， 所以B，C，D不符合题意，A符合题意， 故选：A. 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知实数、，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键． 根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A.两边都减1，不等号的方向不变，故正确，不符合题意； B.两边都加3，不等号的方向不变，故正确，不符合题意； C.两边都除以3，不等号的方向不变，故正确，不符合题意； D.两边都乘，不等号的方向改变，故错误，符合题意； 故选：D． 求一元一次不等式的解集 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解方程组、解不等式并在数轴上画出解集． (1) (2) 【答案】(1) (2)，数轴见详解 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组； （2）先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，得出不等式的解集，再在数轴上画出解集，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组以及解不等式，运用数轴表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：， ①②，得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）解： 6．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)；数轴见解析 (2)；数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可； （2）去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：    （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故不等式的解集为：； 在数轴上表示为：      求一元一次不等式的整数解 7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于的不等式只有4个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了不等式的整数解，首先确定不等式的正整数解，则a的范围，根据a的取值范围正确确定a与4和5的关系是关键． 【详解】解：关于x的不等式只有4个正整数解， 则正整数解是：1，2，3，4， 则a的取值范围：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）不等式的正整数解为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集． 根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集求出正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴不等式的正整数解为是1， 故答案为：1． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 【答案】，见解析，非负整数解为0，1 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据，去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求整数解即可， 本题考查了，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 在数轴上表示不等式的解集 10．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示解集见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中． 去分母：不等式两端同时乘6，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求解． 【详解】解：去分母得： 去括号： 移项、合并同类项得：． 故答案为：． 不等式的解集在数轴上表示如下： 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）（1）解方程组： （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式的求解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用加减消元法求解二元一次方程组的解即可； （2）根据去括号，移项合并同类项的步骤求解不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 在数轴上表示如下：    12．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到，再由数轴可得不等式的解集为，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得 由数轴可知表示的不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：2． 求不等式组的解集 13．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）（1）解方程组： (1) (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 得： ， ， ， 将代入①得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）， 解不等式①： ， ， ， ， ； 解不等式②： ， ， ， ， ， ； 不等式组的解为：． 14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】数轴表示见解析， 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后在数轴上表示出来，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，即可确定不等式组的解集．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 数轴表示如下所示： ∴不等式组的解集为． 15．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 求一元一次不等式组的整数解 16．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式组解集的求法．先求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即不等式组的解集，最后找到不等式组的整数解，即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，0，1． 17．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组：，并求出满足条件的整数解的和． 【答案】，15 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，先分别解一元一次不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式的解集，即可求得不等式组的整数解，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解分别为1、2、3、4、5， ∴不等式组的整数解的和为． 18．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（1）利用加减消元解法方程组； （2）利用方程组的解得到，然后解关于的m不等式组； （3）利用不等式性质得到，即，加上（2）的结论得到，然后写出此范围内的整数即可， 本题考查了，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是：熟练掌握相关解法． 【详解】（1）解： ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 解得：， （3）解：， ∵原不等式的解集是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 由一元一次不等式组的解集求参数 19．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列四个不等式组中，解为的不等式组有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先根据解的形式得到，进而得到，，，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项的形式满足题意， 故选：B． 20．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确解不等式组是解题关键．分别解不等式，再根据不等式组无解，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 21．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知不等式①与不等式②组成的不等式组的解集为，则不等式②可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集，先解不等式①，根据“大小小大中间找”来确定不等式②的解集，即可求解． 【详解】解：解不等式①可得①， ∵不等式组的解集为， ∴不等式②的解集为， 若不等式②可以是：， 故答案为：（答案不唯一） 由不等式组解集的情况求参数 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解列出关于a的不等式组，解之即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组恰有3个整数解， ∴， ∴， 故选：A． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知不等式和关于x 的不等式，若这两个不等式的公共解有且仅有3个整数解，则m 的取值范围为 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，分别求出两个不等式的解集，根据这两个不等式的公共解有且仅有3个整数解，可得出，即可得出结论． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 这两个不等式的公共解有且仅有3个整数解， ， 解得， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，由不等式组有解集可得，即可求解，理解不等式组有解即是两个不等式的解集有公共部分是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 不等式组和方程组结合的问题 25．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组． （1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 27．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 一元一次不等式组的其他应用 28．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设，则s的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后将c的最大值代入s进行求解． 【详解】，， ，， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ， 解得， 故选：C 29．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建A，B两类展位供当地的农产品展览和销售．1个A类展位的占地面积比1个B类展位的占地面积多4平方米；10个A类展位和5个B类展位的占地面积共283平方米．建A类展位每平方米的费用为120元，建B类展位每平方米的费用为100元． (1)求每个A，B类展位占地面积各为多少平方米？ (2)该村拟建A，B两类展位共40个，B类展位的数量小于A类展位数量的2倍，且建造这40个展位的总费用不超过77000元，求该村共有哪些建设方案？ 【答案】(1)每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米 (2)共有三种方案：方案一建设A类展位14个，建设B类展位26个；方案二建设A类展位15个，建设B类展位25个；方案三建设A类展位16个，建设B类展位24个 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，根据10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米列出方程，解方程即可； （2）设该村拟建造类展位个，建造类展位个，根据总费用两种展位费用之和列出不等式，再结合类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求出的取值范围，根据整数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米， 依题意得：， 解得， （平方米）． 答：每个类展位占地面积为20平方米，每个类展位的占地面积为16平方米； （2）解：设该村拟建造类展位个，建造类展位个， 则， 解得， 类展位的数量不大于类展位数量的2倍， ， 解得， ， 为整数， ，15，16， 该村共有3种建设方案：该村拟建造类展位14个，建造类展位26个；该村拟建造类展位15个，建造类展位25个；该村拟建造类展位16个，建造类展位24个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的不等式组． 30．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）某校将若干间宿舍分配给七年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于30人，若每个房间住4人，则剩下6人没处住；若每个房间住7人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生． 【答案】26 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】设有间宿舍，由题意得，，进行计算即可得，结合实际问题可得，进行计算即可得女生人数． 【详解】解：设有间宿舍， 由题意得，， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：， 为整数， ， 则女生人数为：（名）， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意列出一元一次不等式组并正确计算． 列一元一次不等式 31．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）“数m不小于2”可以用式子表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】解：“数m不小于2”可以用式子表示为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，解题的关键是熟练掌握表示不等关系的词：“不大于”，“不小于”，“大于”，“小于”． 32．（22-23七年级下·江苏南京·期末）x的与x的差为正数，用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】根据运算顺序依次列式即可． 【详解】解：∵的与x的差为正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，正确掌握列不等式的基本方法是解题的关键． 33．（22-23七年级下·江苏南京·期末）用不等式表示“与的差是正数”： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】先表示差，再表示正数． 【详解】解：“与的差是正数”可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查列一元一次不等式，关键是抓住关键词语“是正数”列出不等式． 用一元一次不等式解决实际问题 34．（22-23七年级下·江苏常州·期末）为丰富学生的校园生活，某校准备开展多姿多彩的社团活动，学校根据学生选课的人数及时采购物资，为社团活动的开展提供保障．已知6副象棋和5副围棋共元，8副象棋和副围棋共元． (1)求象棋和围棋的单价； (2)考虑到第二年扩招，学校计划用不超过元的经费再次购买象棋和围棋共副．若单价不变，则至少可以购买多少副象棋？ 【答案】(1)象棋和围棋的单价分别为元，元； (2)至少可以购买副象棋． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设象棋和围棋的单价分别为x元，y元，6副象棋和5副围棋共190元，8副象棋和10副围棋共320元．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买m副象棋，则购买副围棋，根据不超过元的经费列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设象棋和围棋的单价分别为x元，y元， 则 解得 答：象棋和围棋的单价分别为元，元； （2）设购买m副象棋，则购买副围棋， 解得， 答：至少可以购买副象棋． 35．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为 ．    【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满得出不等式，进而得出答案． 【详解】解：设每颗玻璃球的体积为， 根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意正确得出不等关系是解题关键． 36．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）某天小明在家锻炼身体第一组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． (1)小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ (2)若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时秒，每个深蹲也耗时秒，小明想要通过分钟的锻炼，消耗至少大卡，至少要做多少个波比跳？ 【答案】(1)小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡 (2)25个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡，根据第一组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量大卡；第二组运动是做个波比跳，个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量大卡，列二元一次方程组，求解即可； （2）设小明做个波比跳，根据小明想要通过分钟的锻炼，消耗至少大卡，列一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡， 根据题意，得， 解得， 答：小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡； （2）设小明做个波比跳， 根据题意，得， 解得， 取得最小正整数为， 答：至少要做个波比跳． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 用一元一次不等式解决几何问题 37．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 38．（21-22七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)4 (2)同意，AB=4 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论； （2）用a表示出点B的坐标，可得结论； （3）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2）， ∴AB=2-（-2）=4， 故答案为：4； （2）小智同学的观点正确． 理由：∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∴B（a，2a-4）， ∵A（a，2a）， ∴AB=2a-（2a-4）=4， ∴AB的长是定值； （3）如图， 观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2 ∵a=3-2b， ∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2. 解得或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题． 39．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 解不等式： 【错误解答】 【纠错解答】 解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 左右两边同除以-2，得，． 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1．是最小的正整数，是最小的非负数，表示不小于且小于3的整数的个数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的分类、不等式的整数解、有理数的混合运算等知识点，求出a、b、m的值是解题的关键． 先根据有理数和不等式求出a、b、m的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数，b是最小的非负数，不小于且小于3的整数有共7个， ∴， ∴， 故答案为：8． 2．已知是互不相等的正整数，它们的和等于159．若其中最小，则的最大值为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用， 根据最小，表示出其它6个数，再根据和等于159得出不等式，然后求出解集，可得答案． 【详解】解：设， 则． 将上述各式相加，得， 解得， 所以的最大值为19． 故答案为：19． 3．不等式负整数解有多少个？ 【答案】不等式的负整数解为，共3个． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据运算法则求出，即可得到负整数解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 不等式的负整数解为，共3个． 4．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 5．三峡之巅·诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72-1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进多少件？ 【答案】360件 【分析】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 设购进纽荷尔脐橙件，福本脐橙件，则购进奉园脐橙件，根据三种品种的橙子共购进1000件，即可得出关于的二元一次方程，解之可得出，结合纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由取出的件数和套装的件数均为正整数，可得出为3的倍数，结合的取值范围，即可找出的最大值，进而可得出福本脐橙最多购进的数量． 【详解】解：设购进纽荷尔脐橙件，福本脐橙件， ∵将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园脐橙4个、纽荷尔脐橙2个， ∴购进奉园脐橙件． 依题意得：， ， 又， ， 解得：． 又∵取出的件数和套装的件数均为正整数， ∴为3的倍数， ∴的最大值为18， ∴福本脐橙最多购进件． 6．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴． ∵是大于的最小整数， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵表示不大于的最大整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴； ∵表示大于的最小整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 故答案为：，； （3）解：解方程组得， 表示不大于的最大整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 表示大于的最小整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 7．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为： 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$