精品解析：2025年湖南省娄底市冷水江市中考二模数学试题

2025年初中毕业学业考试冲刺卷（5·20B） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（ ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方以及幂的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个三角形只有一条中位线 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 等腰三角形顶角最大是 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了真假命题的判断．根据三角形中位线、正方形和矩形的判定、等腰三角形等知识进行判断即可． 【详解】A. 一个三角形有三条中位线，故选项是假命题； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项是假命题； C. 等腰三角形顶角可以是钝角，即可以大于，故选项是假命题； D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项是真命题； 故选：D 6. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值．先根据二次根式的混合运算化简式子为，由即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 即的值在1和2之间． 故选：B 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，，， ∴， ∴． 故选：A． 9. 下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中m的值是（ ） A. 420 B. 450 C. 464 D. 479 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据表格可得规律第个表格中，左上数字为，左下数字为，右上数字为，右下数字为，再由得出，计算即可得解． 【详解】解：根据表格可得规律： 第个表格中，左上数字为，左下数字为，右上数字为，右下数字为， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 10. 如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（ ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点． 对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据，，代入函数关系式，即可判断③；根据二次函数的最值，可判断④． 【详解】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知， ∵抛物线与轴交于，， ∴对称轴， ∴． ∴，故①错误； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，， 该函数的对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大， 则，故②错误； 时，， ；故③正确； 对称轴是直线，， 当，有最小值， ， ，故④错误； 综上所述：错误的有①②④，共3个． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若点在第二象限， 则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，各象限中点的坐标特点，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据点P的位置可列不等式组 ，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 13. 已知a是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义．根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2025． 14. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．由平行线的性质可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图， 轴， ∴， ， 而， ， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 16. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 17. 阅读作图过程，并解答问题： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线． 如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可知，再利用角平分线的性质及垂线段最短即可解答． 【详解】解：由作图可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线的定义及性质是解题的关键． 18. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答． 【详解】解：①当时，函数的解析式为， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当时，可得，解得， 与x轴的交点坐标为， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为； ①当时， 函数的图象与x轴只有一个交点， ，即， 解得， 函数的解析式为， 当时，可得， 解得， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为， 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，掌握相应的运算法则是解本题的关键. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先进行括号内同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答问题． （1）这次活动一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在的扇形圆心角等于 度； （4）该学校共有1500名学生，估计该校共有多少名学生喜欢羽毛球？ 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图： （1）从两个统计图中可知，样本中喜欢“足球”的80人，占调查人数的，根据频率频数总数即可求出答案； （2）求出样本中喜欢“篮球”的学生人数即可补全条形统计图； （3）求出样本中喜欢“篮球”的学生所占的百分比即可求出相应的圆心角度数； （4）求出样本中喜欢“羽毛球”的学生所占的百分比，估计总体中喜欢“羽毛球”的学生所占的百分比，再根据频率频数总数进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：250； 【小问2详解】 解：样本中喜欢“篮球”的人数（名）； 【小问3详解】 解：， 故答案为：108； 【小问4详解】 解：（名）， 答：该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球． 22. 如图，在中，、分别是、上的一点，，． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形证明四边形为平行四边形，再结合即可得到结论； （2）根据为矩形，可以求出的长，再判定出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出最后结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， ， , ， 。 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 列方程解应用题： 某商场用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件． （1）这种服装的第一次进价是每件多少元？ （2）若该种服装均以每件100元的售价销售，则全部售完这种服装商场可以盈利多少元？ 【答案】（1）这种服装的第一次进价是每件80元； （2）全部售完这种服装商场可以盈利4500元 【解析】 【分析】（1）设这种服装的第一次进价是每件x元，然后根据题意列出方程求解即可； （2）根据利润=（售价-进价）×数量求解即可． 【小问1详解】 解：设这种服装的第一次进价是每件x元． 根据题意列方程，得 解方程，得， 经检验，是原方程的解， 所以这种服装的第一次进价是每件80元． 【小问2详解】 解：（元） 所以全部售完这种服装商场可以盈利4500元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． 24. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 【答案】任务1：遮阳棚前端到墙面的距离约为；任务2：线段的长度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． 任务1：过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； 任务2：延长交于点，则，在Rt中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 任务2：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， ， ， ， ， 线段的长度约为. 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积的综合问题，全等三角形的构造，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．由得到，可求直线的解析式为：．设，则，即可求解得最大值，即面积最大值； （3）过A作交于点K，作轴于点H，则，证明，求出，再求出直线表达式，与抛物线联立即可求解． 【小问1详解】 解：把点A，C的坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点C的坐标为， ∴． 如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为， 当，则， 解得：或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 故直线的解析式为：． 设， 则， 当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为； 【小问3详解】 解：如图，过A作交于点K，作轴于点H， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为 ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ． 26. 如图，在中，，点是外接圆上的一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接．点为弧上一点，过作于点，求证：； （3）如图3，点是上一动点（不与重合），连．求的值． 【答案】（1） 证明：， 为直径， ， ， ， ， ； （2） 证明：作，交的延长线于，如图2， ， ， 为直径， ， ， 四边形为矩形， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论； （3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，如图3， 由（2）得， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业学业考试冲刺卷（5·20B） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（ ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A. B. C. D. 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个三角形只有一条中位线 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 等腰三角形顶角最大是 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中m的值是（ ） A. 420 B. 450 C. 464 D. 479 10. 如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（ ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若点在第二象限， 则a的取值范围是____________． 12. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 13. 已知a是方程的一个根，则的值为_____． 14. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为_____． 15. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ____． 16. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 17. 阅读作图过程，并解答问题： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线． 如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为_______． 18. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答问题． （1）这次活动一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在的扇形圆心角等于 度； （4）该学校共有1500名学生，估计该校共有多少名学生喜欢羽毛球？ 22. 如图，在中，、分别是、上的一点，，． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 列方程解应用题： 某商场用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件． （1）这种服装的第一次进价是每件多少元？ （2）若该种服装均以每件100元的售价销售，则全部售完这种服装商场可以盈利多少元？ 24. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 26. 如图，在中，，点是外接圆上的一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接．点为弧上一点，过作于点，求证：； （3）如图3，点是上一动点（不与重合），连．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $